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Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:
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Regístrate gratisLa regla del producto se aplica cuando:
La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?
¿Cuál es la regla del producto?
¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?
Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?
¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?
¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?
La regla del producto se aplica cuando:
La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?
¿Cuál es la regla del producto?
¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?
Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?
¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?
¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?
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Enviar comentarios\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]
Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:
\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]
Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.
La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.
En general la fórmula del producto es la siguiente:
\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:
\[(u·v)'=u'v+uv'\]
Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=(3x^2)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[u'=(6x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]
Simplificando esto se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]
Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\cos(x)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener:
\(u'\) y \(v'\).
\[u'=-\sin(x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]
Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:
\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]
Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[v=(\ln(x))\]
\[u={{1}\over{x}}\]
Podemos, entonces, expresar la función inversa:
\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[v'={{1}\over{x}}\]
\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]
Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=x\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\ln(x)\]
\[v=x\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).
\[u'={{1}\over{x}}\]
\[v'=1\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:
\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\ln(x)+1\]
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¿Qué nos dice la regla del producto?
La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.
¿Cuál sería un ejemplo de la regla del producto?
Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x2+2
f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x2+2)
¿Qué es la derivada de un producto?
Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.
¿Cuál es la fórmula de la derivada de un producto?
La formula es:
d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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