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Regla del producto

Regla del producto

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:

\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]

Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:

\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]

Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.

¿Qué es la regla del producto?

Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]

Fórmula general de la derivada del producto

Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:

\[(u·v)'=u'v+uv'\]

Regla del producto: ejemplos

Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=(3x^2)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[u'=(6x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]

Simplificando esto se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]

Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\cos(x)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener:

\(u'\) y \(v'\).

\[u'=-\sin(x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]

Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:

\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]

Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[v=(\ln(x))\]

\[u={{1}\over{x}}\]

Podemos, entonces, expresar la función inversa:

\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[v'={{1}\over{x}}\]

\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]

Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=x\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\ln(x)\]

\[v=x\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).

\[u'={{1}\over{x}}\]

\[v'=1\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:

\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\ln(x)+1\]

Regla del producto - Puntos clave

  • La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
  • La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
  • Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
    • \[(u·v)'=u'v+uv'\]
  • Y/o en forma de notación de funciones:
    • \[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
  • También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
  • La fórmula de la regla del producto es:
    • \[(u·v)'=u'v+uv'\]

Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x2+2

f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x2+2)

Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.

La formula es:

d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)

Cuestionario final de Regla del producto

Pregunta

La regla del producto se aplica cuando:

Mostrar respuesta

Answer

Se tiene un producto de dos funciones.

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Pregunta

La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

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Pregunta

¿Cuál es la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

\( {{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \).

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Pregunta

Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

Mostrar respuesta

Answer

Expandirlos y obtener la derivada del polinomio resultante.

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Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, cualesquiera funciones.

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Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?

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Answer

Sí.

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Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)={{1}\over{x^2}}\)  y  \(g(x)=\cos(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)=-\sin(x), f’(x)= {{-2}\over{x^3}}\)

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Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)=x^3+2x+3\)  y \(g(x)=ln(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)={{1}\over{x}}, f’(x)= 3x^2+2\)

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Pregunta

¿Se podría aplicar la regla del producto a las funciones: \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) y \(f(x)=\tan(x)\)?

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Answer

Sí, si se toma la función \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) como \(g(x)=x^{-5}\).

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Pregunta

Deriva las siguientes funciones: \(f(x)=x^4+2x+x^3\) por \(g(x)=ln(x)\).

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Answer

\(2 + x^2 + x^3 + (2 + 3 x^2 + 4 x^3) \ln(x)\)

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Pregunta

¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

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Answer

Sí, debido a que es más ordenado.

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Pregunta

¿Se puede obtener la derivada de \(\tan(x)\) usando la regla de producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que \(\tan(x)\) es igual a \({{\sin(x)}\over{\cos(x)}}=\sin(x)\cos^{-1}(x)\).

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Pregunta

Escribe la forma general de la regla del producto

Mostrar respuesta

Answer

\((uv)'=u'v+uv'\)

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Pregunta

Se puede obtener la derivada de la función \(\sin^2(x)\) usando la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, usando el hecho de que \(\sin^2(x)=\sin(x)\sin(x)\).

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Pregunta

¿De qué manera podrías usar la regla del producto para hacer la derivada del siguiente cociente más sencilla?

\({\sin^2(x)}\over{\cos(x)}\).

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Answer

Se puede dividir como  \({\sin(x)\sin(x)}\over{\cos(x)}\) , que es igual a \(\tan(x)\sin(x)\).

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