Regla del producto

ÍNDICE DE TEMAS :

ÍNDICE DE TEMAS

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:

\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]

Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:

\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]

Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.

¿Qué es la regla del producto?

Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]

Fórmula general de la derivada del producto

Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:

\[(u·v)'=u'v+uv'\]

Regla del producto: ejemplos

Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=(3x^2)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[u'=(6x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]

Simplificando esto se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]

Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\cos(x)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener:

\(u'\) y \(v'\).

\[u'=-\sin(x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]

Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:

\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]

Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[v=(\ln(x))\]

\[u={{1}\over{x}}\]

Podemos, entonces, expresar la función inversa:

\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[v'={{1}\over{x}}\]

\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]

Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=x\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\ln(x)\]

\[v=x\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).

\[u'={{1}\over{x}}\]

\[v'=1\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:

\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\ln(x)+1\]

Regla del producto - Puntos clave

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
- \[(u·v)'=u'v+uv'\]
Y/o en forma de notación de funciones:
- \[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
La fórmula de la regla del producto es:
- \[(u·v)'=u'v+uv'\]

Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x²+2

f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x²+2)

Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.

La formula es:

d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)

Cuestionario final de Regla del producto

Regla del producto Quiz - Teste dein Wissen

Pregunta

La regla del producto se aplica cuando:

Mostrar respuesta

Answer

Se tiene un producto de dos funciones.

Show question

Pregunta

La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

\( {{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \).

Show question

Pregunta

Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

Mostrar respuesta

Answer

Expandirlos y obtener la derivada del polinomio resultante.

Show question

Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, cualesquiera funciones.

Show question

Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)={{1}\over{x^2}}\) y \(g(x)=\cos(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)=-\sin(x), f’(x)= {{-2}\over{x^3}}\)

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)=x^3+2x+3\) y \(g(x)=ln(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)={{1}\over{x}}, f’(x)= 3x^2+2\)

Show question

Pregunta

¿Se podría aplicar la regla del producto a las funciones: \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) y \(f(x)=\tan(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, si se toma la función \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) como \(g(x)=x^{-5}\).

Show question

Pregunta

Deriva las siguientes funciones: \(f(x)=x^4+2x+x^3\) por \(g(x)=ln(x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2 + x^2 + x^3 + (2 + 3 x^2 + 4 x^3) \ln(x)\)

Show question

Pregunta

¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que es más ordenado.

Show question

Pregunta

¿Se puede obtener la derivada de \(\tan(x)\) usando la regla de producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que \(\tan(x)\) es igual a \({{\sin(x)}\over{\cos(x)}}=\sin(x)\cos^{-1}(x)\).

Show question

Pregunta

Escribe la forma general de la regla del producto

Mostrar respuesta

Answer

\((uv)'=u'v+uv'\)

Show question

Pregunta

Se puede obtener la derivada de la función \(\sin^2(x)\) usando la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, usando el hecho de que \(\sin^2(x)=\sin(x)\sin(x)\).

Show question

Pregunta

¿De qué manera podrías usar la regla del producto para hacer la derivada del siguiente cociente más sencilla?

\({\sin^2(x)}\over{\cos(x)}\).

Mostrar respuesta

Answer

Se puede dividir como \({\sin(x)\sin(x)}\over{\cos(x)}\) , que es igual a \(\tan(x)\sin(x)\).

Show question

Conoce más sobre Regla del producto

Resúmenes

Flashcards

Regla del producto

Regla del producto

¿Qué es la regla del producto?

Regla del producto de funciones

Fórmula general de la derivada del producto

Regla del producto: ejemplos

Regla del producto - Puntos clave

Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

Cuestionario final de Regla del producto

Regla del producto Quiz - Teste dein Wissen

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

Biología

Física

La investigación científica

Química

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Cuestionarios

Flashcards

Apuntes

Sets de estudio

Documentos

Análisis de estudio

Objetivos semanales

Recordatorios

Premios

Magic Marker

Formato inteligente

¡Acceso a la educación para todos!

This is still free to read, it's not a paywall.

You need to register to keep reading

This is still free to read, it's not a paywall.

You need to register to keep reading

Regla del producto

Regla del producto

¿Qué es la regla del producto?

Regla del producto de funciones

Fórmula general de la derivada del producto

Regla del producto: ejemplos

Regla del producto - Puntos clave

Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

¿Qué nos dice la regla del producto?

¿Cuál sería un ejemplo de la regla del producto?

¿Qué es la derivada de un producto?

¿Cuál es la fórmula de la derivada de un producto?

Cuestionario final de Regla del producto

Regla del producto Quiz - Teste dein Wissen

Conoce más sobre Análisis matemático

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

Biología

Física

La investigación científica

Química

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Cuestionarios

Flashcards

Apuntes

Sets de estudio

Documentos

Análisis de estudio

Objetivos semanales

Recordatorios

Premios

Magic Marker

Formato inteligente

¡Acceso a la educación para todos!

This is still free to read, it's not a paywall.

You need to register to keep reading

This is still free to read, it's not a paywall.

You need to register to keep reading

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

StudySmarter bietet alles, was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!