Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|
Regla del producto

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las…

Content verified by subject matter experts
Free StudySmarter App with over 20 million students
Mockup Schule

Explore our app and discover over 50 million learning materials for free.

Regla del producto

Regla del producto

Guarda la explicación ya y léela cuando tengas tiempo.

Guardar
Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:

\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]

Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:

\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]

Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.

¿Qué es la regla del producto?

Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]

Fórmula general de la derivada del producto

Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:

\[(u·v)'=u'v+uv'\]

Regla del producto: ejemplos

Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=(3x^2)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[u'=(6x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]

Simplificando esto se obtiene:

\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]

Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\cos(x)\]

\[v=\cos(x)\]

Por lo cual, podemos obtener:

\(u'\) y \(v'\).

\[u'=-\sin(x)\]

\[v'=-\sin(x)\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]

Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:

\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]

Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[v=(\ln(x))\]

\[u={{1}\over{x}}\]

Podemos, entonces, expresar la función inversa:

\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):

\[v'={{1}\over{x}}\]

\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:

\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]

Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.

Deriva la siguiente función:

\[h(x)=x\ln(x)\]

Solución

Aquí las funciones son:

\[u=\ln(x)\]

\[v=x\]

Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).

\[u'={{1}\over{x}}\]

\[v'=1\]

Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:

\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]

Simplificando esto, se obtiene:

\[h'(x)=\ln(x)+1\]

Regla del producto - Puntos clave

  • La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
  • La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
  • Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
    • \[(u·v)'=u'v+uv'\]
  • Y/o en forma de notación de funciones:
    • \[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
  • También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
  • La fórmula de la regla del producto es:
    • \[(u·v)'=u'v+uv'\]

Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x2+2

f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x2+2)

Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.

La formula es:

d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)

Cuestionario final de Regla del producto

Regla del producto Quiz - Teste dein Wissen

Pregunta

La regla del producto se aplica cuando:

Mostrar respuesta

Answer

Se tiene un producto de dos funciones.

Show question

Pregunta

La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

\( {{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \).

Show question

Pregunta

Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

Mostrar respuesta

Answer

Expandirlos y obtener la derivada del polinomio resultante.

Show question

Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, cualesquiera funciones.

Show question

Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)={{1}\over{x^2}}\)  y  \(g(x)=\cos(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)=-\sin(x), f’(x)= {{-2}\over{x^3}}\)

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)=x^3+2x+3\)  y \(g(x)=ln(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)={{1}\over{x}}, f’(x)= 3x^2+2\)

Show question

Pregunta

¿Se podría aplicar la regla del producto a las funciones: \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) y \(f(x)=\tan(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, si se toma la función \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) como \(g(x)=x^{-5}\).

Show question

Pregunta

Deriva las siguientes funciones: \(f(x)=x^4+2x+x^3\) por \(g(x)=ln(x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2 + x^2 + x^3 + (2 + 3 x^2 + 4 x^3) \ln(x)\)

Show question

Pregunta

¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que es más ordenado.

Show question

Pregunta

¿Se puede obtener la derivada de \(\tan(x)\) usando la regla de producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que \(\tan(x)\) es igual a \({{\sin(x)}\over{\cos(x)}}=\sin(x)\cos^{-1}(x)\).

Show question

Pregunta

Escribe la forma general de la regla del producto

Mostrar respuesta

Answer

\((uv)'=u'v+uv'\)

Show question

Pregunta

Se puede obtener la derivada de la función \(\sin^2(x)\) usando la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, usando el hecho de que \(\sin^2(x)=\sin(x)\sin(x)\).

Show question

Pregunta

¿De qué manera podrías usar la regla del producto para hacer la derivada del siguiente cociente más sencilla?

\({\sin^2(x)}\over{\cos(x)}\).

Mostrar respuesta

Answer

Se puede dividir como  \({\sin(x)\sin(x)}\over{\cos(x)}\) , que es igual a \(\tan(x)\sin(x)\).

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Regla del producto... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

How would you like to learn this content?

Creating flashcards
Studying with content from your peer
Taking a short quiz

How would you like to learn this content?

Creating flashcards
Studying with content from your peer
Taking a short quiz

Free matematicas cheat sheet!

Everything you need to know on . A perfect summary so you can easily remember everything.

Access cheat sheet

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

Empieza a aprender con StudySmarter, la única app de estudio que necesitas.

Regístrate gratis
Illustration