Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:
\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]
Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:
\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]
Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.
¿Qué es la regla del producto?
Regla del producto de funciones
La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.
En general la fórmula del producto es la siguiente:
\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
Fórmula general de la derivada del producto
Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:
\[(u·v)'=u'v+uv'\]
Regla del producto: ejemplos
Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=(3x^2)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[u'=(6x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]
Simplificando esto se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]
Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\cos(x)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener:
\(u'\) y \(v'\).
\[u'=-\sin(x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]
Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:
\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]
Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[v=(\ln(x))\]
\[u={{1}\over{x}}\]
Podemos, entonces, expresar la función inversa:
\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[v'={{1}\over{x}}\]
\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]
Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=x\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\ln(x)\]
\[v=x\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).
\[u'={{1}\over{x}}\]
\[v'=1\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:
\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\ln(x)+1\]
Regla del producto - Puntos clave
- La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
- La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
- Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
- Y/o en forma de notación de funciones:
- \[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
- También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
- La fórmula de la regla del producto es:
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