Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Cuando un objeto se representa mediante una función con dos variables \(x,y\), a veces esto resulta un poco lioso y no sabemos cómo tratarlo. Esto puede simplificarse si utilizamos las ecuaciones paramétricas.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Ecuaciones paramétricas
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentariosUna ecuación paramétrica es una forma de mapear múltiples variables en una sola variable. Por tanto, en lugar de coordenadas \(x\) y \(y\), utilizamos coordenadas \(t\).
Las ecuaciones paramétricas son muy útiles en diversas situaciones, como algunos problemas de física en los que el tiempo se utiliza como una variable, y la velocidad o la distancia se toma en términos de ella.
Comencemos con un ejemplo:
Tenemos \(y=x^2\), que es una ecuación cartesiana con coordenadas \((x,y)\). Podemos cambiarla, suponiendo que \(x=t\) y \(y=t^2\). Ahora tenemos las coordenadas \((t,t^2)\). Esto está en forma paramétrica.
Hay algunas parametrizaciones clave que podemos aprender para hacernos la vida más fácil, a la hora de escribir ecuaciones. Vamos a enfocarnos en las circunferencias y las elipses, en particular.
Las circunferencias tienen una ecuación general cartesiana. Esta ecuación es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), para una circunferencia con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\).
Una identidad clave que podemos usar al elevar al cuadrado dos valores importantes diferentes es la identidad de la circunferencia unitaria: \(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).
Veamos un ejemplo de parametrización de una circunferencia.
Encuentra una parametrización adecuada para la circunferencia.
Solución:
Utilizando la siguiente expresión:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Queremos encontrar una forma de escribir:
\[16\sin^2(t)+16\cos^2(t)=16\]
Así, si dejamos que el cuadrado de \(x\) sea igual a:
\[x^2=16\cos^2(t)\]
significa que: \(x=4\cos(t)\).
De la misma manera, si dejamos que el cuadrado de \(y\) sea:
\[y^2=16\sin^2(t)\]
significa que:
\[y=4\sin(t)\]
Así que nuestras respuestas son:
\[x=4\cos(t)\]
\[y=4\sin(t)\]
Una elipse es un poco diferente a una circunferencia, pues tiene una forma ovalada como la siguiente:
La elipse tiene la siguiente ecuación general:
\[\left(\dfrac{x}{a}\right)+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1\]
También podemos parametrizar esto utilizando la siguiente fórmula:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Practiquemos:
Encuentra una parametrización adecuada para la elipse dada por:
\[\left(\dfrac{x}{9}\right)+\left(\dfrac{y}{25}\right)^2=1\]
Solución:
Esta vez, queremos que el denominador anule la constante.
Dejemos que \(x\) y \(y\) sean:
\[x^2=9\cos^2(t)\]
\[y^2=25\sin^2(t)\]
Esto significa que:
\[\left(\dfrac{x^2}{9}\right)+\left(\dfrac{y^2}{25}\right)=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\]
Por lo tanto:
\[x=3\cos(t)\]
\[y=5\sin(t)\]
Hasta ahora hemos visto la transferencia de la forma cartesiana a la forma paramétrica. Esto significa pasar de nuestra relación estándar de \(x\) e \(y\) a una relación con \(t\). A continuación, vamos a mirar al revés: pasar de la forma paramétrica a la forma cartesiana.
Para expresar la ecuación de una recta, usando un parámetro, se requieren dos cosas:
El vector es conocido como el vector director y le da sentido y dirección a la recta; este vector debe ser:
Lo podemos ver en la siguiente gráfica, donde la recta es \(y=x+2\):
Fig. 2: Recta en azul y vector director en cyan.
En este caso, se hace lo siguiente:
Se tiene un punto sobre la recta \((a,b)\) y un vector desde el origen hasta el punto \((c,d)\); las ecuaciones que describen cada punto de la recta se expresan como:
\[x=a+\lambda c\]
\[y=b+\lambda d\]
Aquí \(\lambda\) es cualquier número real.
Al sustituir un número en la recta numérica, obtendrás cualquier punto de la recta.
Un plano también posee una ecuación paramétrica; en este caso, la ecuación es de la siguiente forma:
\[f=\text{punto}+\text{vector}\]
Aquí, el punto se encuentra dentro de vector y tiene coordenadas:
\[P(x,y,z)\]
Los vectores, en este caso, viven sobre el plano. Por esto, solo tienen componentes \(X\), \(y\) y \(z\). En este caso, consideramos que la tercera coordenada es nula y que el plano es el \(xy\).
Eso significa que se tienen tres ecuaciones, que son:
\[x=x_0+au_x+bv_y\]
\[y=y_0+au_x+bv_y\]
\[z=z_0+au_x+bv_y\]
Si quieres saber más acerca de estas ecuaciones para el plano y la recta puedes revisar nuestros artículos acerca de Ecuaciones de la recta y el plano.
Podemos utilizar algunas identidades trigonométricas y trabajar hacia atrás: desde las ecuaciones en forma paramétrica hasta las ecuaciones en forma cartesiana. Las identidades trigonométricas que podemos utilizar son:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
\[\dfrac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}=\tan(\theta)\]
\[\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)\]
\[\cot^2(\theta)+1=\csc^2(\theta)\]
Veamos un ejemplo, un poco más complejo, de esto.
Una curva \(C\) tiene ecuaciones paramétricas, que son:
\[x=\tan(t)\]
\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)\]
Con \(0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}\).
Encuentra la ecuación cartesiana de la curva \(C\).
Solución:
Utilicemos fórmulas de adición para escribir la ecuación original de una manera más sencilla:
\[3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\left(\sin(t)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\]
El seno y coseno de estos valores son:
\[\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\]
\[\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\]
Por lo que podemos escribir:
\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos(t)\]
\[y^2=9\cos^2(t)\]
\[\dfrac{9}{y^2}=\sec^2(t)\]
\[x^2=\tan(t)\]
Y, también:
\[\tan^2(t)+1=\sec^2(t)\]
\[x^2+1=\dfrac{9}{y^2}\]
\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]
Así, la ecuación cartesiana de la curva \(C\) es:
\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]
Hemos visto cómo convertir ecuaciones paramétricas a la forma cartesiana, de una manera que puede facilitarnos el proceso de búsqueda cuando se trata de intersecciones poco claras. Veremos más a fondo cómo esto nos ayuda, en la siguiente sección.
Las intersecciones son las soluciones cuando dos ecuaciones son iguales.
Los puntos de intersección se pueden encontrar a partir de ecuaciones paramétricas. Esta es la misma idea que la de resolver ecuaciones mirando las intersecciones en las gráficas; pero, esta vez vamos a usar métodos algebraicos para ayudarnos. Esto se puede hacer cambiando entre la forma cartesiana y la paramétrica, y resolviendo como lo haríamos con las ecuaciones simultáneas.
Las ecuaciones paramétricas para \x\) y \(y\) generalizan la curva \(C\):
\[y=\sin(t)\]
\[x=5\cos^2(t)-1\]
Esta curva está en el siguiente intervalo:
\[-90\leq t \leq 90\]
Una recta se encuentra con la curva \(C\) en el punto \(P\). La recta está dada por la ecuación:
\[5x+4y=6\]
¿Existe el punto \(P\)?
Solución:
En primer lugar, debemos sustituir en la ecuación cartesiana \(x\) y \(y\):
\[25\cos^2(t)-5+4\sin(t)=6\]
Luego, podemos utilizar la identidad trigonométrica:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
\[25(1-\sin^2(t))-5+4\sin(t)=6\]
\[25-25\sin^2(t)-5+4\sin(t)=6\]
\[25\sin^2(t)-4\sin(t)-14=0\]
Ahora, resolvamos para \(t\):
\[a=\sin(t)\]
\[25a^2-4a-14=0\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-(4·25·(-14)}}{50}\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{16+1400}}{50}\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{1416}}{50}\]
A continuación, para encontrar x:
\[\arcsin\left(\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)=56{,}37º\]
\[\arcsin\left(\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)=-42{,}27º\]
Ahora, encontremos \(x\) y \(y\), a partir de nuestros valores de \(t\):
\[y=\sin(56{,}37º)=\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\]
\[x=5\cos^2(56{,}37º)=0{,}53\]
Así que nuestro primer punto de intersección es:
\[\left(0{,}53,\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)\]
Para encontrar nuestro siguiente punto de intersección, sustituye nuestro otro valor \(t\):
\[y=\sin(-42{,}27º)=\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\]
\[x=5\cos^2(-42{,}27º)-1=1{,}74\]
Así que nuestro segundo punto de intersección es:
\[\left(1{,}74,\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)\]
Los puntos de intersección son solo un tipo de punto en la geometría de coordenadas que nuestros nuevos métodos pueden ayudarnos a encontrar. Otro tipo de punto es el punto de inflexión. Los puntos de inflexión se encuentran normalmente por diferenciación, pero esto puede resultar difícil en curvas que no tienen una forma cartesiana fácil. Por suerte, disponemos del método que veremos a continuación.
Como ya hemos mencionado, la parametrización convierte una función del tipo \(y=f(x)\) a una función en forma de:
\[x=f_x(t)\]
\[y=f_y(t)\]
Debido a esto, la derivada de la función del tipo
\[\dfrac{d}{dx}f(x)\]
no puede ser calculada normalmente.
En estos casos, lo que sucede es que cada variable se deriva por separado:
\[\dfrac{d}{dx}x=\dfrac{d}{dt}f_x(t)\]
\[\dfrac{d}{dy}y=\dfrac{d}{dt}f_y(t)\]
Esto nos da dos derivadas; si queremos obtener \(\dfrac{dy}{dx}\), lo único que debemos hacer es dividir ambas derivadas:
\[\dfrac{\dfrac{d}{dx}}{\dfrac{d}{dy}}\]
Curiosamente esto nos da la expresión:
\[\dfrac{dy}{dx}\]
Así que, básicamente, para hacer la derivada paramétrica debes:
Usando esto, veamos algunos ejemplos de diferenciación paramétrica:
\[x=2t^2\]
\[y=\sin(t)\]
Solución:
\[\dfrac{dx}{dt}=4t\]
\[\dfrac{dy}{dt}=\cos(t)\]
Esto es, porque:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\cos(t)\dfrac{1}{4t}=\dfrac{\cos(t)}{4t}\]
Por la identidad: \(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\), entonces:
\[\cos^2(t)=1-y^2\]
Y, además:
\[x=2t^2\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{x}{2}}\]
Esto significa que:
\[\dfrac{\cos(t)}{4t}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1-y}{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{2-2y^2}{x}}\]
Las ecuaciones paramétricas se pueden utilizar en el cálculo de trayectorias curvas, debido a que el movimiento parabólico presenta esta trayectoria. Por tanto, es normal que puedas encontrar trayectorias parametrizadas en movimientos de proyectiles. Otra aplicación se da en el cálculo de osciladores armónicos, donde el movimiento está parametrizado con respecto al tiempo.
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Qué son las ecuaciones paramétricas?
La ecuación paramétrica es una ecuación que se expresa en forma de un parámetro, o varios, en lugar de sus variables.
¿Cómo se obtiene la ecuacion paramétrica de una recta?
Para expresar la ecuación de una recta usando un parámetro, se requieren:
En este caso, se hace lo siguiente:
Se tiene un punto sobre la recta (a,b) y un vector desde el origen hasta el punto (c,d). Las ecuaciones que describen cada punto de la recta se expresan como:
x=a+ßc
y=b+ßd
Sustituyendo un número en la recta numérica, obtendrás cualquier punto de la recta.
¿Qué es la ecuacion paramétrica del plano?
Es la ecuación del plano que requiere un punto del plano y un vector para poder expresar cualquier valor dentro del plano.
¿Cuál es la ecuación paramétrica de la circunferencia?
La ecuación paramétrica de la circunferencia es:
(a·cos(t))2+(b·sen(t))2=c2
x=a·cos(t).
y=b·sen(t).
¿Cuál es la ecuación paramétrica de la elipse?
La ecuación paramétrica de la elipse es:
(a·cos(t))2+(b·sen(t))2=c2
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
