Cuando un objeto se representa mediante una función con dos variables \(x,y\), a veces esto resulta un poco lioso y no sabemos cómo tratarlo. Esto puede simplificarse si utilizamos las ecuaciones paramétricas.
- En este artículo aprenderemos qué son las ecuaciones paramétricas.
- Veremos qué es la forma paramétrica de una ecuación y las ecuaciones paramétricas de la circunferencia, la elipse, la recta y el plano.
- Después aprenderemos a escribir las ecuaciones paramétricas en forma cartesiana y a encontrar los puntos de intersección.
- Finalmente, aprenderemos sobre la diferenciación paramétrica y las aplicaciones de las ecuaciones paramétricas.
¿Qué es una ecuación paramétrica?
Una ecuación paramétrica es una forma de mapear múltiples variables en una sola variable. Por tanto, en lugar de coordenadas \(x\) y \(y\), utilizamos coordenadas \(t\).
Las ecuaciones paramétricas son muy útiles en diversas situaciones, como algunos problemas de física en los que el tiempo se utiliza como una variable, y la velocidad o la distancia se toma en términos de ella.
Forma paramétrica
Comencemos con un ejemplo:
Tenemos \(y=x^2\), que es una ecuación cartesiana con coordenadas \((x,y)\). Podemos cambiarla, suponiendo que \(x=t\) y \(y=t^2\). Ahora tenemos las coordenadas \((t,t^2)\). Esto está en forma paramétrica.
Hay algunas parametrizaciones clave que podemos aprender para hacernos la vida más fácil, a la hora de escribir ecuaciones. Vamos a enfocarnos en las circunferencias y las elipses, en particular.
Ecuación paramétrica de la circunferencia
Las circunferencias tienen una ecuación general cartesiana. Esta ecuación es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), para una circunferencia con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\).
Una identidad clave que podemos usar al elevar al cuadrado dos valores importantes diferentes es la identidad de la circunferencia unitaria: \(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).
Veamos un ejemplo de parametrización de una circunferencia.
Encuentra una parametrización adecuada para la circunferencia.
Solución:
Utilizando la siguiente expresión:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Queremos encontrar una forma de escribir:
\[16\sin^2(t)+16\cos^2(t)=16\]
Así, si dejamos que el cuadrado de \(x\) sea igual a:
\[x^2=16\cos^2(t)\]
significa que: \(x=4\cos(t)\).
De la misma manera, si dejamos que el cuadrado de \(y\) sea:
\[y^2=16\sin^2(t)\]
significa que:
\[y=4\sin(t)\]
Así que nuestras respuestas son:
\[x=4\cos(t)\]
\[y=4\sin(t)\]
Ecuación paramétrica de la elipse
Una elipse es un poco diferente a una circunferencia, pues tiene una forma ovalada como la siguiente:
Fig. 1: Representación de una elipse.
La elipse tiene la siguiente ecuación general:
\[\left(\dfrac{x}{a}\right)+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1\]
- Aquí \(a\) es la distancia en la dirección \(x\) (el semieje mayor) y \(b\) es la distancia en la dirección \(y\) (el semieje menor).
También podemos parametrizar esto utilizando la siguiente fórmula:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Practiquemos:
Encuentra una parametrización adecuada para la elipse dada por:
\[\left(\dfrac{x}{9}\right)+\left(\dfrac{y}{25}\right)^2=1\]
Solución:
Esta vez, queremos que el denominador anule la constante.
Dejemos que \(x\) y \(y\) sean:
\[x^2=9\cos^2(t)\]
\[y^2=25\sin^2(t)\]
Esto significa que:
\[\left(\dfrac{x^2}{9}\right)+\left(\dfrac{y^2}{25}\right)=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\]
Por lo tanto:
\[x=3\cos(t)\]
\[y=5\sin(t)\]
Hasta ahora hemos visto la transferencia de la forma cartesiana a la forma paramétrica. Esto significa pasar de nuestra relación estándar de \(x\) e \(y\) a una relación con \(t\). A continuación, vamos a mirar al revés: pasar de la forma paramétrica a la forma cartesiana.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Para expresar la ecuación de una recta, usando un parámetro, se requieren dos cosas:
- Un punto sobre la recta
- Un vector
El vector es conocido como el vector director y le da sentido y dirección a la recta; este vector debe ser:
- Paralelo a la recta.
- Salir desde el origen.
Lo podemos ver en la siguiente gráfica, donde la recta es \(y=x+2\):
Fig. 2: Recta en azul y vector director en cyan.
En este caso, se hace lo siguiente:
Se tiene un punto sobre la recta \((a,b)\) y un vector desde el origen hasta el punto \((c,d)\); las ecuaciones que describen cada punto de la recta se expresan como:
\[x=a+\lambda c\]
\[y=b+\lambda d\]
Aquí \(\lambda\) es cualquier número real.
Al sustituir un número en la recta numérica, obtendrás cualquier punto de la recta.
Ecuaciones paramétricas del plano
Un plano también posee una ecuación paramétrica; en este caso, la ecuación es de la siguiente forma:
\[f=\text{punto}+\text{vector}\]
Aquí, el punto se encuentra dentro de vector y tiene coordenadas:
\[P(x,y,z)\]
Los vectores, en este caso, viven sobre el plano. Por esto, solo tienen componentes \(X\), \(y\) y \(z\). En este caso, consideramos que la tercera coordenada es nula y que el plano es el \(xy\).
Eso significa que se tienen tres ecuaciones, que son:
\[x=x_0+au_x+bv_y\]
\[y=y_0+au_x+bv_y\]
\[z=z_0+au_x+bv_y\]
Si quieres saber más acerca de estas ecuaciones para el plano y la recta puedes revisar nuestros artículos acerca de Ecuaciones de la recta y el plano.
¿Cómo escribimos ecuaciones en forma cartesiana?
Podemos utilizar algunas identidades trigonométricas y trabajar hacia atrás: desde las ecuaciones en forma paramétrica hasta las ecuaciones en forma cartesiana. Las identidades trigonométricas que podemos utilizar son:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
\[\dfrac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}=\tan(\theta)\]
\[\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)\]
\[\cot^2(\theta)+1=\csc^2(\theta)\]
Veamos un ejemplo, un poco más complejo, de esto.
Una curva \(C\) tiene ecuaciones paramétricas, que son:
\[x=\tan(t)\]
\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)\]
Con \(0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}\).
Encuentra la ecuación cartesiana de la curva \(C\).
Solución:
Utilicemos fórmulas de adición para escribir la ecuación original de una manera más sencilla:
\[3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\left(\sin(t)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\]
El seno y coseno de estos valores son:
\[\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\]
\[\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\]
Por lo que podemos escribir:
\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos(t)\]
\[y^2=9\cos^2(t)\]
\[\dfrac{9}{y^2}=\sec^2(t)\]
\[x^2=\tan(t)\]
Y, también:
\[\tan^2(t)+1=\sec^2(t)\]
\[x^2+1=\dfrac{9}{y^2}\]
\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]
Así, la ecuación cartesiana de la curva \(C\) es:
\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]
Hemos visto cómo convertir ecuaciones paramétricas a la forma cartesiana, de una manera que puede facilitarnos el proceso de búsqueda cuando se trata de intersecciones poco claras. Veremos más a fondo cómo esto nos ayuda, en la siguiente sección.
¿Cómo encontramos los puntos de intersección?
Las intersecciones son las soluciones cuando dos ecuaciones son iguales.
Los puntos de intersección se pueden encontrar a partir de ecuaciones paramétricas. Esta es la misma idea que la de resolver ecuaciones mirando las intersecciones en las gráficas; pero, esta vez vamos a usar métodos algebraicos para ayudarnos. Esto se puede hacer cambiando entre la forma cartesiana y la paramétrica, y resolviendo como lo haríamos con las ecuaciones simultáneas.
Las ecuaciones paramétricas para \x\) y \(y\) generalizan la curva \(C\):
\[y=\sin(t)\]
\[x=5\cos^2(t)-1\]
Esta curva está en el siguiente intervalo:
\[-90\leq t \leq 90\]
Una recta se encuentra con la curva \(C\) en el punto \(P\). La recta está dada por la ecuación:
\[5x+4y=6\]
¿Existe el punto \(P\)?
Solución:
En primer lugar, debemos sustituir en la ecuación cartesiana \(x\) y \(y\):
\[25\cos^2(t)-5+4\sin(t)=6\]
Luego, podemos utilizar la identidad trigonométrica:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
\[25(1-\sin^2(t))-5+4\sin(t)=6\]
\[25-25\sin^2(t)-5+4\sin(t)=6\]
\[25\sin^2(t)-4\sin(t)-14=0\]
Ahora, resolvamos para \(t\):
\[a=\sin(t)\]
\[25a^2-4a-14=0\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-(4·25·(-14)}}{50}\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{16+1400}}{50}\]
\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{1416}}{50}\]
A continuación, para encontrar x:
\[\arcsin\left(\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)=56{,}37º\]
\[\arcsin\left(\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)=-42{,}27º\]
Ahora, encontremos \(x\) y \(y\), a partir de nuestros valores de \(t\):
\[y=\sin(56{,}37º)=\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\]
\[x=5\cos^2(56{,}37º)=0{,}53\]
Así que nuestro primer punto de intersección es:
\[\left(0{,}53,\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)\]
Para encontrar nuestro siguiente punto de intersección, sustituye nuestro otro valor \(t\):
\[y=\sin(-42{,}27º)=\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\]
\[x=5\cos^2(-42{,}27º)-1=1{,}74\]
Así que nuestro segundo punto de intersección es:
\[\left(1{,}74,\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)\]
Los puntos de intersección son solo un tipo de punto en la geometría de coordenadas que nuestros nuevos métodos pueden ayudarnos a encontrar. Otro tipo de punto es el punto de inflexión. Los puntos de inflexión se encuentran normalmente por diferenciación, pero esto puede resultar difícil en curvas que no tienen una forma cartesiana fácil. Por suerte, disponemos del método que veremos a continuación.
Diferenciación paramétrica
Como ya hemos mencionado, la parametrización convierte una función del tipo \(y=f(x)\) a una función en forma de:
\[x=f_x(t)\]
\[y=f_y(t)\]
Debido a esto, la derivada de la función del tipo
\[\dfrac{d}{dx}f(x)\]
no puede ser calculada normalmente.
En estos casos, lo que sucede es que cada variable se deriva por separado:
\[\dfrac{d}{dx}x=\dfrac{d}{dt}f_x(t)\]
\[\dfrac{d}{dy}y=\dfrac{d}{dt}f_y(t)\]
Esto nos da dos derivadas; si queremos obtener \(\dfrac{dy}{dx}\), lo único que debemos hacer es dividir ambas derivadas:
\[\dfrac{\dfrac{d}{dx}}{\dfrac{d}{dy}}\]
Curiosamente esto nos da la expresión:
\[\dfrac{dy}{dx}\]
Así que, básicamente, para hacer la derivada paramétrica debes:
- Derivar la función de \(t\) con respecto a x.
- Derivar la función de \(t\) con respecto a y.
- Dividir ambos resultados.
Usando esto, veamos algunos ejemplos de diferenciación paramétrica:
Las siguientes ecuaciones son una parametrización para una curva \(C\).
Halla el valor de la derivada de \(x\) o \(\dfrac{dy}{dx}\) en términos de \(x\) e \(y\).\[x=2t^2\]
\[y=\sin(t)\]
Solución:
\[\dfrac{dx}{dt}=4t\]
\[\dfrac{dy}{dt}=\cos(t)\]
Esto es, porque:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\cos(t)\dfrac{1}{4t}=\dfrac{\cos(t)}{4t}\]
Por la identidad: \(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\), entonces:
\[\cos^2(t)=1-y^2\]
Y, además:
\[x=2t^2\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{x}{2}}\]
Esto significa que:
\[\dfrac{\cos(t)}{4t}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1-y}{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{2-2y^2}{x}}\]
Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas se pueden utilizar en el cálculo de trayectorias curvas, debido a que el movimiento parabólico presenta esta trayectoria. Por tanto, es normal que puedas encontrar trayectorias parametrizadas en movimientos de proyectiles. Otra aplicación se da en el cálculo de osciladores armónicos, donde el movimiento está parametrizado con respecto al tiempo.
Ecuaciones paramétricas - Puntos clave
- Las ecuaciones paramétricas se emplean para escribir funciones en términos de una variable. Esto también se llama parametrización.
- Podemos utilizar las identidades trigonométricas para escribir funciones en una variable.
- Encontrar una ecuación cartesiana significa hacer lo contrario de la parametrización y poner todo en múltiples variables.
- Los puntos de intersección se pueden encontrar usando un método de sustitución, en el que sustituimos y ordenamos los términos.
- La fórmula de la diferenciación paramétrica es:\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\]
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