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Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas

Una ecuación paramétrica es una forma de mapear múltiples variables en una sola variable, por lo que en lugar de coordenadas \(x\) e \(y\), utilizamos coordenadas \(t\).

Forma paramétrica

Veamos un ejemplo. Tenemos \(y=x^2\), que es una ecuación cartesiana con coordenadas \((x,y)\). Podemos cambiarla suponiendo que \(x=t\), \(y=t^2\). Ahora tenemos las coordenadas \((t,t^2)\). Esto está en forma paramétrica.

Las ecuaciones paramétricas son muy útiles en diversas situaciones. Por ejemplo, se pueden emplear en problemas de física donde el tiempo se utiliza como una variable, y la velocidad o la distancia se toma en términos de ella.

Hay algunas parametrizaciones clave que podemos aprender para hacernos la vida más fácil a la hora de escribir ecuaciones. Vamos a ver las circunferencias y las elipses en particular.

Ecuación paramétrica de la circunferencia

Las circunferencias tienen una ecuación general cartesiana. Esta ecuación es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) para una circunferencia con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\).

Una identidad clave que podemos usar al elevar al cuadrado dos valores importantes diferentes es la identidad de la circunferencia unitaria: \(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).

Veamos un ejemplo de parametrización de una circunferencia.

Encuentra una parametrización adecuada para la circunferencia.

Solución:

Utilizando la siguiente expresión:

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

Queremos encontrar una forma de escribir:

\[16\sin^2(t)+16\cos^2(t)=16\]

Así, si dejamos que el cuadrado de \(x\) sea igual a:

\[x^2=16\cos^2(t)\]

Esto significa que: \(x=4\cos(t)\)

De la misma manera, si dejamos que el cuadrado de \(y\) sea:

\[y^2=16\sin^2(t)\]

Esto significa que:

\[y=4\sin(t)\]

Así que nuestras respuestas son:

\[x=4\cos(t)\]

\[y=4\sin(t)\]

Ecuación paramétrica de la elipse

Una elipse es un poco diferente a una circunferencia. Tiene una forma ovalada como esta:

Ecuaciones paramétricas elipse StudySmarter

Fig. 1. Representación de una elipse.

La elipse tiene la siguiente ecuación general:

\[\left(\dfrac{x}{a}\right)+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1\]

Aquí \(a\) es la distancia en la dirección \(x\) (el semieje mayor) y \(b\) es la distancia en la dirección \(y\) (el semieje menor). Esto también podemos parametrizarlo utilizando la siguiente fórmula:

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

Veamos un ejemplo.

Encuentra una parametrización adecuada para la elipse dada por:

\[\left(\dfrac{x}{9}\right)+\left(\dfrac{y}{25}\right)^2=1\]

Solución:

Esta vez queremos que el denominador anule la constante.

Dejemos que \(x\) e \(y\) sean:

\[x^2=9\cos^2(t)\]

\[y^2=25\sin^2(t)\]

Esto significa que:

\[\left(\dfrac{x^2}{9}\right)+\left(\dfrac{y^2}{25}\right)=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\]

Por lo tanto:

\[x=3\cos(t)\]

\[y=5\sin(t)\]

Hasta ahora hemos visto la transferencia de la forma cartesiana a la forma paramétrica. Esto significa pasar de nuestra relación estándar de \(x\) e \(y\) a una relación con \(t\). Ahora vamos a mirar al revés y pasar de la forma paramétrica a la forma cartesiana.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Para expresar la ecuación de una recta usando un parámetro se requieren dos cosas:

  • Un punto sobre la recta.
  • Un vector.

El vector es conocido como el vector director y le da sentido y dirección a la recta este vector debe ser:

  • Paralelo a la recta.
  • Salir desde el origen.

Lo podemos ver en la siguiente gráfica, donde la recta es \(y=x+2\).

Ecuaciones paramétricas recta StudySmarterFig. 2: Recta en azul y vector director en cyan.

En este caso se hace lo siguiente:

Se tiene un punto sobre la recta \((a,b)\) y un vector desde el origen hasta el punto \((c,d)\), las ecuaciones que describen cada punto de la recta se expresan como:

\[x=a+\lambda c\]

\[y=b+\lambda d\]

Aquí \(\lambda\) es cualquier real, sustituyendo un número en la recta numérica, obtendrás cualquier punto de la recta. Veamos un ejemplo:

Ecuaciones paramétricas del plano

Un plano también posee una ecuación paramétrica, en este caso la ecuación es de la forma siguiente:

\[f=\text{punto}+\text{vector}\]

Aquí el punto es un punto que se encuentra dentro de vector y tiene coordenadas:

\[P(x,y,z)\]

Los vectores en este caso viven sobre el plano, por lo cual solo tienen componentes \(X\), \(y\) y \(z\). En este caso, consideramos que la tercera coordenada es nula y que el plano es el \(xy\). Eso significa que se tienen tres ecuaciones que son:

\[x=x_0+au_x+bv_y\]

\[y=y_0+au_x+bv_y\]

\[z=z_0+au_x+bv_y\]

Si quieres saber más acerca de estas ecuaciones para el plano y la recta puedes revisar nuestros artículos acerca de ecuaciones de la recta y el plano.

¿Cómo escribimos ecuaciones en forma cartesiana?

Podemos utilizar algunas identidades trigonométricas y trabajar hacia atrás, desde las ecuaciones en forma paramétrica hasta las ecuaciones en forma cartesiana. Las identidades trigonométricas que podemos utilizar son:

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

\[\dfrac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}=\tan(\theta)\]

\[\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)\]

\[\cot^2(\theta)+1=\csc^2(\theta)\]

Veamos un ejemplo difícil de esto.

Una curva \(C\) tiene ecuaciones paramétricas que son:

\[x=\tan(t)\]

\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)\]

Con \(0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}\).

Encuentra la ecuación cartesiana de esta curva \(C\).

Solución:

Utilicemos fórmulas de adición para escribir la ecuación original de una manera más sencilla.

\[3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\left(\sin(t)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\]

El seno y coseno de estos valores son:

\[\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\]

\[\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\]

Por lo que podemos escribir:

\[y=3\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos(t)\]

\[y^2=9\cos^2(t)\]

\[\dfrac{9}{y^2}=\sec^2(t)\]

\[x^2=\tan(t)\]

Y también:

\[\tan^2(t)+1=\sec^2(t)\]

\[x^2+1=\dfrac{9}{y^2}\]

\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]

Así la ecuación cartesiana de la curva \(C\) es:

\[x^2-\dfrac{9}{y^2}=1\]

Aquí hemos visto cómo convertir ecuaciones paramétricas a la forma cartesiana. Una de las bonitas aplicaciones de esto es que puede hacernos la vida mucho más fácil a la hora de encontrar intersecciones poco claras. Veremos cómo nos ayuda en la siguiente sección.

¿Cómo encontramos los puntos de intersección?

Los puntos de intersección se pueden encontrar a partir de ecuaciones paramétricas. Esta es la misma idea que la de resolver ecuaciones mirando las intersecciones en las gráficas, pero esta vez vamos a usar métodos algebraicos para ayudarnos a ver esto.

Esto se puede hacer cambiando entre la forma cartesiana y la paramétrica y resolviendo regularmente como lo haríamos con las ecuaciones simultáneas. Las intersecciones son las soluciones cuando dos ecuaciones son iguales.

Las ecuaciones paramétricas para \x\) e \(y\) generalizan la curva \(C\):

\[y=\sin(t)\]

\[x=5\cos^2(t)-1\]

Esta curva está en el siguiente intervalo:

\[-90\leq t \leq 90\]

Una recta se encuentra con la curva \(C\) en el punto \(P\). La recta está dada por la ecuación:

\[5x+4y=6\]

¿Existe el punto \(P\)?

Solución:

En primer lugar, debemos sustituir en la ecuación cartesiana \(x\) e \(y\):

\[25\cos^2(t)-5+4\sin(t)=6\]

Luego podemos utilizar la identidad trigonométrica:

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

\[25(1-\sin^2(t))-5+4\sin(t)=6\]

\[25-25\sin^2(t)-5+4\sin(t)=6\]

\[25\sin^2(t)-4\sin(t)-14=0\]

Ahora resolvamos para \(t\):

\[a=\sin(t)\]

\[25a^2-4a-14=0\]

\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-(4·25·(-14)}}{50}\]

\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{16+1400}}{50}\]

\[a=\dfrac{4\pm\sqrt{1416}}{50}\]

Ahora para encontrar \(x\) simplemente que nos da:

\[\arcsin\left(\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)=56,37º\]

\[\arcsin\left(\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)=-42,27º\]

Ahora encontremos \(x\) e \(y\) a partir de nuestros valores de \(t\):

\[y=\sin(56,37º)=\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\]

\[x=5\cos^2(56,37º)=0,53\]

Así que nuestro primer punto de intersección es:

\[\left(0,53,\dfrac{4+\sqrt{1416}}{50}\right)\]

Para encontrar nuestro siguiente punto de intersección sustituye nuestro otro valor \(t\):

\[y=\sin(-42,27º)=\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\]

\[x=5\cos^2(-42,27º)-1=1,74\]

Así que nuestro segundo punto de intersección es:

\[\left(1,74,\dfrac{4-\sqrt{1416}}{50}\right)\]

Los puntos de intersección son solo un tipo de punto en la geometría de coordenadas que nuestros nuevos métodos pueden ayudarnos a encontrar. Otro tipo de punto es el punto de inflexión. Los puntos de inflexión se encuentran normalmente por diferenciación, pero esto puede resultar difícil en curvas que no tienen una forma cartesiana fácil. Por suerte, disponemos de un método de diferenciación paramétrica que veremos a continuación.

Derivación paramétrica

Como ya hemos mencionado, la parametrización convierte una función del tipo \(y=f(x)\) a una función en forma de:

\[x=f_x(t)\]

\[y=f_y(t)\]

Debido a esto la derivada de la función del tipo:

\[\dfrac{d}{dx}f(x)\]

No puede ser calculada normalmente, en estos casos lo que sucede es que cada variable se deriva por separado:

\[\dfrac{d}{dx}x=\dfrac{d}{dt}f_x(t)\]

\[\dfrac{d}{dy}y=\dfrac{d}{dt}f_y(t)\]

Esto nos da dos derivadas, si queremos obtener \(\dfrac{dy}{dx}\), lo único que debemos hacer es dividir ambas derivadas.

\[\dfrac{\dfrac{d}{dx}}{\dfrac{d}{dy}}\]

Curiosamente esto nos da la expresion:

\[\dfrac{dy}{dx}\]

Asi que basicamente, para hacer la derivada paramétrica:

  • Deriva la función de \(t\) con respecto a x.
  • Deriva la función de \(t\) con respecto a y.
  • Divide ambos resultados.

Usando esto, veamos algunos ejemplos de diferenciación paramétrica.

Las siguientes ecuaciones son una parametrización para una curva \(C\). Halla el valor de la derivada de \(x\) o \(\dfrac{dy}{dx}\) en términos de \(x\) e \(y\).

\[x=2t^2\]

\[y=\sin(t)\]

Solución:

\[\dfrac{dx}{dt}=4t\]

\[\dfrac{dy}{dt}=\cos(t)\]

Esto es porque:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\]

\[\dfrac{dy}{dx}=\cos(t)\dfrac{1}{4t}=\dfrac{\cos(t)}{4t}\]

Por la identidad: \(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\), entonces:

\[\cos^2(t)=1-y^2\]

Y además:

\[x=2t^2\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{x}{2}}\]

Esto significa que:

\[\dfrac{\cos(t)}{4t}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1-y}{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{2-2y^2}{x}}\]

Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas se pueden utilizar en el cálculo de trayectorias curvas, debido a que el movimiento parabólico presenta esta trayectoria y, por tanto, es normal que puedas encontrar trayectorias parametrizadas en movimientos de proyectiles. Otra aplicación es dada en el cálculo de osciladores armónicos, donde el movimiento está parametrizado con respecto al tiempo.

Ecuaciones paramétricas - Puntos clave

  • Las ecuaciones paramétricas se emplean para escribir funciones en términos de una variable. Esto también se llama parametrización.
  • Podemos utilizar las identidades trigonométricas para escribir funciones en una variable.
  • Encontrar una ecuación cartesiana significa hacer lo contrario de la parametrización y poner todo en múltiples variables.
  • Los puntos de intersección se pueden encontrar usando un método de sustitución, en el que sustituimos y ordenamos los términos.
  • La fórmula de la diferenciación paramétrica es:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\]

Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones paramétricas

Es una ecuación que se expresa en forma de un parámetro o varios, en lugar de sus variables.

Para expresar la ecuación de una recta usando un parámetro se requieren dos cosas:

Un punto sobre la recta.

Un vector.


El vector es conocido como el vector director y le da sentido y dirección a la recta este vector debe ser:

Paralelo a la recta

Salir desde el origen.


En este caso se hace lo siguiente:


Se tiene un punto sobre la recta \((a,b)\) y un vector desde el origen hasta el punto \((c,d)\), las ecuaciones que describen cada punto de la recta se expresan como:


\[x=a+\lambda c\]

\[y=b+\lambda d\]


Aquí \(\lambda\) es cualquier real, sustituyendo un número en la recta numérica, obtendrás cualquier punto de la recta.

Es la ecuación del plano que requiere un punto del plano y un vector para poder expresar cualquier valor dentro del plano.

(a·cos(t))2+(b·sen(t))2=c2

x=a·cos(t).

y=b·sen(t).

(a·cos(t))2+(b·sen(t))2=c2

Cuestionario final de Ecuaciones paramétricas

Pregunta

¿Qué es una ecuación paramétrica?

Mostrar respuesta

Answer

Una ecuación que expresa más de una variable en forma de un parámetro.

Show question

Pregunta

Es una ecuación de una cónica que se puede expresar fácilmente en forma paramétrica en forma de la suma de un seno y un coseno:

Mostrar respuesta

Answer

La circunferencia, la elipse y la hipérbola.

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente una ecuación paramétrica?

\(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es la fórmula de la circunferencia unitaria, donde el punto \((x, y)\) es expresado usando el radio igual a uno y el ángulo \(\theta\) que toma la circunferencia.

Show question

Pregunta

Se tiene la función \(9\sin^2(\theta)+9\cos^2(\theta)=9\), encuentra la parametrización de las variables \((x, y)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x=3\cos(\theta)\)

\(y=3\sin(\theta)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación de la forma paramétrica de una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).

Show question

Pregunta

Una recta es parametrizable, ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente una ecuación paramétrica de plano?

\[x=x_0+au_x+bv_y\]

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es la ecuación de la variable \(x\).

Show question

Pregunta

¿Se puede derivar una ecuación paramétrica?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, derivando las ecuaciones que definen sus variables.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la derivada de una ecuación paramétrica?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{dy}{dx}\).

Show question

Pregunta

Calcula la derivada de \(x=8t^2\) y \(y=\dfrac{1}{16}ln(t)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{dy}{dx}=16^2t^2\).

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