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Regla del producto

Q: ¿Cuál sería un ejemplo de la regla del producto?

Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x). g(x)=x 2 +2 f(x)=Sen(x) d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x 2 +2)

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:

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La regla del producto se aplica cuando:

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La regla de producto es igual a $\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$ . ¿Falso o verdadero?

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¿Cuál es la regla del producto?

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¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

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Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

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¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

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¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: $f (x) = l n (x)$ y $g (x) = x^{2} + \sin (x)$ ?

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La regla de producto es igual a $\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$ . ¿Falso o verdadero?

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¿Cuál es la regla del producto?

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Última actualización: 03.11.2022
Tiempo de lectura: 4 min

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$(x^{3} + 2 x^{2} + 1) (x^{4} + x)$

Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:

$x^{7} + 2 x^{6} + 2 x^{4} + 2 x^{3} + x$

Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.

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Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

$\frac{d}{d x} f (x) g (x) = f (x)^{'} g (x) + g (x)^{'} f (x)$

Fórmula general de la derivada del producto

Aquí, tanto $f (x)$ como $g (x)$ son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos $v = f (x)$ y $u = g (x)$ ; esto sería:

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Regla del producto: ejemplos

Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:

Deriva la siguiente función:

$h (x) = (3 x^{2}) \cos (x)$

Solución

Aquí las funciones son:

$u = (3 x^{2})$

$v = \cos (x)$

Por lo cual, podemos obtener $u^{'}$ y $v^{'}$ :

$u^{'} = (6 x)$

$v^{'} = - \sin (x)$

Si sustituimos esto en la formula original $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , se obtiene:

$h^{'} (x) = 6 x \cos (x) + 3 x^{2} (- \sin (x))$

Simplificando esto se obtiene:

$h^{'} (x) = 6 x \cos (x) - 3 x^{2} \sin (x)$

Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.

Deriva la siguiente función:

$h (x) = \cos (x) \cos (x)$

Solución

Aquí las funciones son:

$u = \cos (x)$

$v = \cos (x)$

Por lo cual, podemos obtener:

$u^{'}$ y $v^{'}$ .

$u^{'} = - \sin (x)$

$v^{'} = - \sin (x)$

Si sustituimos esto en la fórmula original $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , se obtiene:

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} = (\cos (x)) (- \sin (x)) + (\cos (x)) (- \sin (x))$

Simplificando esto, se obtiene:

$h^{'} (x) = (- 2 \cos (x) \sin (x)$

Curiosamente la función original es el $\cos^{2} (x)$ , así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:

$h (x) = \cos^{2} (x) \Rightarrow h^{'} (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x)) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:

Deriva la siguiente función:

$h (x) = \frac{1}{x} \cdot \ln (x)$

Solución

Aquí las funciones son:

$v = (\ln (x))$

$u = \frac{1}{x}$

Podemos, entonces, expresar la función inversa:

$\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

Por lo cual, podemos obtener $u^{'}$ y $v^{'}$ :

$v^{'} = \frac{1}{x}$

$u^{'} = \frac{- 1}{x^{2}}$

Si sustituimos esto en la fórmula original $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , se obtiene:

$h^{'} (x) = \frac{- 1}{x^{2}} \ln (x) + \frac{1}{x} \frac{1}{x}$

Simplificando esto, se obtiene:

$h^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} (1 - \ln (x))$

Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.

Deriva la siguiente función:

$h (x) = x \ln (x)$

Solución

Aquí las funciones son:

$u = \ln (x)$

$v = x$

Por lo cual, podemos obtener $u^{'}$ y $v^{'}$ .

$u^{'} = \frac{1}{x}$

$v^{'} = 1$

Si sustituimos esto en la fórmula original $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , se obtiene:

$h^{'} (x) = 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

Simplificando esto, se obtiene:

$h^{'} (x) = \ln (x) + 1$

Regla del producto - Puntos clave

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
- $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Y/o en forma de notación de funciones:
- $\frac{d}{d x} f (x) g (x) = f (x)^{'} g (x) + g (x)^{'} f (x)$
También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
La fórmula de la regla del producto es:
- $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Tarjetas en Regla del producto

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La regla del producto se aplica cuando:

Se tiene un producto de dos funciones.

La regla de producto es igual a $\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$ . ¿Falso o verdadero?

Falso.

¿Cuál es la regla del producto?

$\frac{d}{d x} f (x) g (x) = f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$ .

¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

Sí, debido a que es más ordenado.

Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

Expandirlos y obtener la derivada del polinomio resultante.

¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

Sí, cualesquiera funciones.

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Preguntas frecuentes sobre Regla del producto

¿Qué nos dice la regla del producto?

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

¿Cuál sería un ejemplo de la regla del producto?

Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x²+2

f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x²+2)

¿Qué es la derivada de un producto?

Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.

¿Cuál es la fórmula de la derivada de un producto?

La formula es:

d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)

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