Reglas de Derivación

Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: \(y=(2x^3+x)^6\).

Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:

\[u=2x^3+x\]

\[y(u)=u^6\]

Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: \(y'(u)=6u^5\).

A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:

\[\dfrac{du}{dx}=6x^2+1\]

Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]

\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 \times (6x^2 +1)\]

\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 (6x^2+1)\]

Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de \(x\), y para ello puedes utilizar: \(u=2x^3+x\).

Con lo cual tienes: \(\dfrac{dy}{dx}= 6 (2x^3+x)^5 (6x^2+1)\).

Si se tiene \(y=2xe^2\), encuentra la derivada.

Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:

\[y'=u'v+uv'\]

\[u=2x\]

\[v=e^2\]

Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus derivadas:

\[u'=2\]

\[v'=0\]

Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:

\[y'=(2x)(0)+(e^2)(2)\]

\[y'=2e^2\]

Si se tiene \(y=\frac{2x}{3x+4}\), encuentra la derivada.

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

\[u=2x\]

\[u'=2\]

\[v=3x+4\]

\[v'=3\]

Ahora, simplemente sustituyes:

\[y'=\dfrac{(3x+4) \cdot (2) - (2x) \cdot 3 }{(3x+4)^2}\]

\[y'=\dfrac{8}{(3x+4)^2}\]

Deriva la siguiente función: \(f(x)=\dfrac{ \cos(x)}{ \sin(x)}\).

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

\[u= \cos(x)\]

\[u'= - \sin(x)\]

\[v= \sin(x)\]

\[v= \sin(x)\]

\[v'=\cos(x)\]

Si sustituimos cada término de regreso, tenemos:

\[y'=\dfrac{\sin(x) \cdot (- \sin(x)) - \cos(x) \cdot (\cos(x)) }{ \sin^2(x)}\]

Y, simplificando:

\[y'=\dfrac{- \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}=- \dfrac{1}{ \sin^2(x)}\]

Deriva \(y=\sin(x) \cdot x^2\)

Aquí las funciones son:

\[u=\sin(x)\]

\[v=x^2\]

Si aplicamos la fórmula, obtenemos: \(y'=(\cos(x)) \cdot x^2 + 2x \cdot (\sin(x))\).

Deriva \(y=e^{2x}\sin^2(x)\)

Aquí las funciones son:

\[u=e^{2x}\]

\[v=sin^2(x)\]

Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.

\[u'=2e^{2x}\]

\[v'=2 \sin(x) \cos(x)\]

Sustituyendo de regreso, tenemos:

\[y'=2e^{2x} \sin^2(x) + e^{2x} 2 \sin(x) \cos(x)\]

Encuentra la derivada de \(y=e^{\sin^2 (x)}\) .

Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.

Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: \(y=e^u\).

y la otra función es: \(u=\sin^2(x)\).

Si aplicamos la regla de la cadena, \(\dfrac{dy}{du}=e^u du\).

Pero, la derivada de la nueva función \(u\) es: \(du=2 \sin(x) \cos(x)\).

Así que se tiene: \(y'=2 \sin(x) \cos(x)e^{\sin^2 (x)}\).