Gráficas lineales

Recta

Una recta puede ser horizontal, vertical o tener cualquier dirección.

• En caso de ser horizontal en un plano: corresponde a un valor de \(y\), que es constante para todas las \(x\) o \(x=a\) —donde \(a\) es una constante—.

• En el caso de que sea una recta vertical: corresponde a un solo valor de \(x\), que tiene varios valores de \(y\).

• Para los casos donde es una recta diagonal: esta es una función matemática, que se escribe como \(y=mx+b\) y se conoce como función lineal.

La función lineal

Una función lineal como \(y=x\) es donde el valor de entrada y salida se corresponden proporcionalmente. En una relación lineal, el valor de \(y\) es igual al valor de \(x\). En estos casos, si se representa gráficamente la función, se tiene una recta con una inclinación de \(45º\). Veamos un ejemplo:

Rectas y gráficas de relaciones lineales

Una relación lineal se representa a través de una recta. Las rectas son unas de las gráficas más simples que existen; sin embargo, no pueden solo tener la forma \(f(x)=x\). Las rectas poseen una constante de proporcionalidad llamada pendiente y además pueden tener, sumadas, un valor constante \(b\).

Una relación entre dos variables, como \((x,y)\), también se conoce como correlación lineal.

La ecuación lineal punto-pendiente

Como ya mencionamos, todas las rectas que son una función pueden expresarse con el formato \(f(x)=mx+b\), donde:

• \(f(x)\) es el valor de la coordenada \(y\) de un punto de la recta.
• \(x\) es el valor de la coordenada \(x\) del mismo punto de la recta.
• \(b\) es el valor de la coordenada \(y\), cuando la recta se cruza con el eje \(y\); es decir, \((x = 0)\). Este punto recibe el nombre de ordenada en el origen.
• \(m\) es la pendiente de la gráfica de la recta, que se puede hallar mediante: \[m={{y_2-y_1}\over{x_2-x_1}}={{\delta y}\over{\delta x}}\]

La pendiente

La pendiente de la recta es muy importante para muchos problemas, en los que debe ser calculada. Resolvamos uno de estos.

La ecuación implícita de la recta

Podrías reescribir el ejemplo anterior en la forma \(y=mx+b\), usando el punto \(A (-1, 2)\) y \(m = 6\), como sigue: \[y-2=6(x-(-1))=y-2=6(x+1)\]

La ecuación también se puede escribir en la forma \(Ax+By+C=0\). Pero, a diferencia de las dos primeras ecuaciones, esta forma no se puede conseguir sustituyendo directamente los valores en la fórmula. En su lugar, debes encontrar la ecuación en una de las dos primeras ecuaciones y luego ordenarla en la forma \(Ax+By+C=0\). Esta forma es la ecuación implícita de la recta.

La forma paramétrica de la recta

La recta también tiene una forma paramétrica; en ese caso, la recta se representa por las ecuaciones:

\[x=x_0+ \lambda x_v\]

\[y=y_0+\lambda y_v\]

En estas ecuaciones, los valores de \(x\) y \(y\) son dados de manera independiente.

Aquí:

• \((x_0,y_0)\) son las coordenadas de algún punto sobre la recta.

• \((x_v, y_v)\) son las coordenadas de un vector director.

• \(\lambda\) es un valor dado.

Encontrar las coordenadas mediante la ecuación de la recta

Es posible que te pidan que encuentres las coordenadas, mediante una ecuación lineal. Para hacerlo, sustituye uno de los valores en la ecuación lineal, y obtendrás el otro:

¿Cómo se traza la gráfica de una línea recta?

Para trazar una gráfica de una línea recta, tienes que seguir los siguientes pasos:

1. Crear una tabla con los valores \(x\) y los valores \(y\).

2. Dibujar el eje en el papel cuadriculado y etiquetar el eje, si se aplica a una situación del mundo real.

3. Trazar los puntos dados en la gráfica.

4. Unir todos los puntos con una sola línea recta, utilizando una regla.

Características de las pendientes de las rectas

Conocer las características de las pendientes de las rectas te facilitará el cálculo en los problemas sobre ecuaciones de rectas más difíciles. Utilizando el ejemplo anterior \(y=6x+8\), vamos a repasar las características de otros tipos de pendientes.

Pendiente negativa

La gráfica ilustra las líneas \(y=-6x+8\) y \(y=6x+8\).

Fig. 7. Rectas con pendiente negativa.

Podemos hacer dos observaciones, a partir de esta gráfica sobre la pendiente negativa:

• La intersección en (0, 8) es la misma, tanto para la pendiente positiva como para la negativa. Por lo tanto, tener una pendiente negativa no tiene efecto en la intersección en \(y\).
• A medida que aumentamos la variable \(x\), la variable disminuye en \(y\); por tanto, la recta se desplaza en dirección diagonal, hacia abajo.

La pendiente de las rectas paralelas

El siguiente gráfico representa dos líneas paralelas: \(y=6x+8\) y \(y=6x+15\).

Fig. 8. Rectas paralelas.

Hay dos observaciones que se pueden hacer sobre las líneas paralelas:

• Cuando dos líneas son paralelas, las pendientes son las mismas. En este ejemplo, ambas líneas tienen una pendiente de 6.

• Las rectas tienen diferentes valores de \(b\) y, por tanto, diferentes intersecciones en \(y\).

La pendiente de las rectas perpendiculares

La siguiente gráfica muestra dos rectas perpendiculares: \(y=6x+8\) y \(y=-\frac{1}{6}x+8\).

Fig. 9. Rectas perpendiculares.

Hay dos observaciones importantes que se pueden hacer sobre los gradientes de las líneas perpendiculares:

• Para que las rectas se intercepten entre sí, las pendientes de las dos rectas deben ser recíprocas negativas entre sí. El recíproco negativo de una pendiente viene dado por la fórmula \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente original. En este ejemplo, las pendientes de las dos rectas son \(6\) y \(-\dfrac{1}{6}\), por lo cual son recíprocas negativas entre sí.

• La intersección con el eje \(y\) es la misma para ambas rectas, ya que el punto de intersección se encuentra en el eje \(y\). La intersección en \(y\) sería diferente para cada recta, si la línea de intersección no estuviera en el eje \(y\). Por ejemplo, si el punto de intersección fuera \((1, 14)\), entonces se sustituirá en la fórmula \(y=mx+b\).

Funciones de primer grado

Ya que te hemos explicado lo que es la pendiente de una recta y que las rectas son funciones lineales del tipo \(y=mx+b\), debemos aclarar que estas también son conocidas como funciones de primer grado.

Ecuaciones lineales y sistemas

Hay veces que puedes tener más de una recta, que es más de una ecuación lineal. En este caso tienes un sistema de ecuaciones lineales: estas pueden ser resueltas por métodos como el de sustitución o por métodos de matrices, usando determinantes.

Sin embargo, una de las maneras de resolver estos sistemas de ecuaciones es representando ambas rectas en el plano y determinando el punto (si es que existe) en el que se cortan. Estos sistemas pueden tener una solución, infinitas soluciones o ninguna; en el sentido geométrico, la solución del sistema anterior son las coordenadas \((x, y)\), donde estas líneas se cruzan.