Determina la fuerza neta que actúa sobre la cuerda durante este juego de tira y afloja. ¿Obedece o no la primera ley de Newton?
Solución:
En primer lugar, sería conveniente enumerar la magnitud de todas las fuerzas relevantes, para utilizarlas en nuestros cálculos:
\begin{align*}|\vec{F}_A|&=850\,\mathrm{N},\\|\vec{F}_B|&=820\,\mathrm{N},\\|\vec{F}_C|&=25\,\mathrm{N},\\|\vec{F}_G|&=50\,\mathrm{N}.\\\end{align*}
Donde:
- \(\vec{F}_A\) es la fuerza ejercida por el Grupo A.
- \(\vec{F}_B\) es la fuerza ejercida por el Grupo B.
- \(\vec{F}_C\) es la fuerza ejercida por el ave de presa.
- \(\vec{F}_G\) es la fuerza ejercida por la gravedad sobre la cuerda.
Ahora, vamos a enumerar todos los ángulos asociados de las fuerzas implicadas en relación con el plano horizontal o eje x:
\begin{align*}a&=180^\circ-\alpha=175^\circ,\\b&=\beta=4^\circ,\\c&=90^\circ+\gamma=95^\circ.\\\end{align*}
Donde:
- \(a\) es el ángulo entre \(\vec{F}_A\) y el plano horizontal.
- \(b\) es el ángulo entre \(\vec{F}_B\) y el plano horizontal.
- \(c\) es el ángulo entre \(\vec{F}_C\) y el plano horizontal.
La fórmula general para resolver los vectores en sus componentes x y y es la siguiente:
\begin{align*}\vec{F}_x&=\vec{F}\cos{\theta},\\\vec{F}_y&=\vec{F}\sin{\theta},\\\vec{F}&=\vec{F}_x+\vec{F}_y.\\\end{align*}
Para resolver nuestro problema en 2 dimensiones, debemos resolver las componentes horizontal y vertical de todos nuestros vectores. Vamos a tomar hacia la derecha, para ser positivo en la dirección x; y hacia arriba, para ser positivo en la dirección y:
\begin{align*}\vec{F}_A&=850\cos{(175^\circ)}\,\mathrm{N}\,\hat{i}+850\sin{(175^\circ)}\,\mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_B&=820\cos{(4^\circ)}\,\mathrm{N}\,\hat{i}+820\sin{(4^\circ)}\, \mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_C&=25\cos{(95^\circ)}\,\mathrm{N}\,\hat{i}+850\sin{(95^\circ)}\,\mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_G&=0\,\mathrm{N}\,\hat{i}-50\,\mathrm{N}\,\hat{j}. \\\end{align*}
La fuerza debida a la gravedad \(\vec{F}_G\) es simple de resolver en sus componentes x y y, ya que sólo actúa en la dirección vertical.
\begin{align*}\vec{F}_A&=-847\,\mathrm{N}\,\hat{i}+74.1\,\mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_B&=818\,\mathrm{N}\,\hat{i}+57.2\,\mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_C&=-2. 18\,\mathrm{N}\,\hat{i}+24.9\,\mathrm{N}\,\hat{j},\\\vec{F}_G&=0\,\mathrm{N}\,\hat{i}-50\,\mathrm{N}\,\hat{j}.\\\end{align*}
Finalmente, para determinar la fuerza neta sobre la cuerda debemos calcular el vector fuerza resultante de todas las fuerzas anteriores. Esto, simplemente, implica la suma de los componentes x e y de cada vector:
\begin{align*}\vec{F}_N&=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C+\vec{F}_G,\\\vec{F}_N&=-31.2\,\mathrm{N}\,\hat{i}+106.2\,\mathrm{N}\,\hat{j}.\\\end{align*}
Hay una fuerza neta en el plano horizontal y el plano vertical, durante este juego de tira y afloja. La cuerda se acelera simultáneamente hacia la izquierda y hacia arriba. Como el movimiento de la cuerda no es uniforme, no obedece a la primera ley de Newton.