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Cónicas

Cónicas

Seguramente sabes lo que es una circunferencia y lo que es una parábola. También lo que es una elipse y una hipérbola. Pero ¿qué qué tienen estas figuras en común? Una idea que te podría surgir es que estas figuras tienen partes curvas. Pero, tienen algo más en común: la razón por la que reciben el nombre de cónicas.

Todas estas figuras tienen su propio artículo, que puedes consultar para ampliar información y conocer más sobre ellas.

Lugares geométricos

En geometría existen puntos que cumplen ciertas características. Estas características definen sus trazos y, por ende, su forma. Estos son los lugares geométricos.

En geometría, se denomina lugar geométrico a todos los puntos del plano que cumplen cierta condición.

Por supuesto, las condiciones que deben cumplir estos puntos que generan una línea están expresadas en forma de ecuaciones o relaciones geométricas. De este modo, podemos expresar como lugares geométricos muchas de las formas estudiadas en geometría.

Por ejemplo, una recta es el lugar geométrico de los puntos del plano (o espacio), en una misma dirección, en una sola dimensión.

Ahora, vamos a estudiar las cónicas como lugares geométricos.

Cónicas

Las cónicas son figuras geométricas que pueden definirse como lugares geométricos en el plano. A continuación, verás las cuatro más importantes. Al final, comprenderás cómo las cónicas pueden obtenerse también a partir del corte de un plano con un cono doble. Esto es lo que se denomina secciones cónicas.

Circunferencia

La circunferencia es la cónica más conocida, está formada por un centro y un radio.

Se llama circunferencia al lugar geométrico en el plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.

Con esta definición, podemos hallar la ecuación de la circunferencia:

  1. Determinando los puntos \(P(x,y)\), que están a una distancia \(r\) del centro \(C(c_1,c_2)\): \[d(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r\]

  2. Haciendo el cuadrado de la expresión anterior, \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

  3. Para llegar a la ecuación reducida de la circunferencia de radio \(r\) con centro en \(C(c_1,c_2)\).

Elipse

Se llama elipse al lugar geométrico en el plano de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.

Hallar la ecuación de la elipse es algo más complicado que con la circunferencia, aunque es un proceso similar.

Podrás encontrar esta demostración en el artículo de la elipse.

La ecuación reducida de la elipse es:

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Donde \(a\) y \(b\) son el eje mayor y el eje menor, respectivamente.

Parábola

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Después de imponer estas condiciones podemos llegar a la ecuación reducida de la parábola, que tiene la forma:

\[x^2=2py\]

Siendo \(p\) la distancia del foco a la directriz.

La parábola es una curva que tiene un solo máximo o mínimo, dependiendo de si abre hacia arriba o hacia abajo. Además una parábola tiene un punto donde deja de crecer y empieza a decrecer (si tiene un máximo) —o el proceso contrario, si tiene un mínimo—.

Esto se puede ver en la imagen siguiente:

Cónicas, parábola, StudySmarterFig. 1. Representación de una parábola y su mínimo \(O\) en el origen de coordenadas \((0,0)\).

Hipérbola

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la diferencia en valor absoluto de la distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Desarrollando esto, podemos llegar a la ecuación reducida de la hipérbola:

\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Las hipérbolas tienen la importante característica de que no son continuas: hay un rango o punto donde no existen. Conforme se acerca a ese punto, se dice que la función diverge. Esto, en tus cursos de cálculo y análisis, es muy importante, ya que define lo que es un límite y una discontinuidad.

La definición depende de si la hipérbola es vertical u horizontal. Un caso curioso es que la función \(y=\dfrac{1}{x}\) es, de hecho, una hipérbola; aunque la ecuación no lo parezca.

De hecho, esta función pertenece a la familia de funciones \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Esta es la ecuación de la hipérbola.

Cónicas, hipérbola, StudySmarterFig. 2. Representación de la hipérbola con ecuación \(y=1/x\).

Secciones cónicas

La intersección entre un plano y un cono doble genera figuras llamadas secciones cónicas.

Las secciones cónicas no solo incluyen curvas; la recta y el punto también se pueden generar a partir de la intersección tangencial de un plano con el cono.

Si definimos las generatrices de un cono como las infinitas rectas que forman la superficie del cono y pasan por su vértice, una recta es una de estas generatrices del cono.

Cónicas, la recta como generatriz, StudySmarterFig. 3. Representación de la recta como generatriz del cono en el espacio.

Teniendo como referencia el eje vertical del cono, llamando \(\alpha\) al ángulo que forma este eje con respecto a las generatrices del cono, siendo la tangente de este ángulo la división entre el radio y la altura del cono \(\alpha=\arctan\left(\dfrac{r}{h}\right)\), podemos hacer que un plano corte al cono con otro ángulo \(\theta\) con respecto al eje vertical del cono.

Dependiendo de la relación entre los ángulos \(\alpha\) y \(\theta\), se obtienen cada una de las cónicas. A partir de eso, podemos redefinir las cónicas como secciones cónicas.

La circunferencia surge al cortar el cono doble perpendicularmente con un plano para formar un ángulo \(\theta=90º\).

Supongamos que cortamos el cono con un plano formando un ángulo \(\theta\), de tal modo que \(\theta>\alpha\). Se obtiene, entonces, una elipse.

Una elipse, en términos bastante ligeros, es una circunferencia achatada.

Imagina, ahora, que cortas el cono por un costado, de modo que la relación entre ángulos es \(\theta=\alpha\). En este caso, se tiene una parábola.

En un último caso, piensa que cortas el cono con un plano formando una relación de ángulos de \(\theta<\alpha\). En este caso, tendrás dos curvas: dos hipérbolas que están una enfrente de la otra.

Cónicas, secciones cónicas a partir del corte de un plano con un cono doble, StudySmarterFig. 4. Secciones cónicas a partir del corte de un plano con un cono doble.

De este modo, hemos podido obtener las cuatro cónicas simplemente haciendo la intersección de un plano con un cono doble; es por esto que estas figuras reciben el nombre de cónicas.


Cónicas - Puntos clave

  • En geometría, se denomina lugar geométrico a todos los puntos del plano que cumplen cierta condición.
  • Las cónicas son figuras geométricas que pueden definirse como lugares geométricos en el plano.
  • Se llama circunferencia al lugar geométrico en el plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.
  • Se llama elipse al lugar geométrico en el plano de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.
  • Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
  • Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la diferencia en valor absoluto de la distancia a dos puntos fijos, llamados focos ,es constante.
  • La intersección entre un plano y un cono doble genera figuras llamadas secciones cónicas.
  • Las figuras que pueden ser generadas por los cortes de un cono son:
    • Líneas
    • Puntos
    • Circunferencias
    • Parábolas
    • Elipses
    • Hipérbolas
  • La función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) es una hipérbola.

Referencias

  1. Fig. 4. Los conos cónicos de cónicas (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Los_conos_c%C3%B3nicos_de_c%C3%B3nicas.svg) by Kelvin13 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Kelvin13) is licensed by Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en).

Preguntas frecuentes sobre Cónicas

Las cónicas son figuras geométricas que pueden definirse como lugares geométricos en el plano. 


Ejemplos de cónicas son: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

Cada cónica se define como un lugar geométrico del plano. Por ejemplo, se llama circunferencia al lugar geométrico del plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A esta distancia se le denomina radio. 


Las demás cónicas también tienen su definición como lugar geométrico del plano.

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Las ecuaciones cónicas son las ecuaciones que representan cada una de las cónicas. Un ejemplo de ellas es la ecuación de la circunferencia, que toma la forma: (x-c1)2+(y-c2)2=r2

Donde el centro tiene coordenadas (c1,c2) y el radio de la circunferencia es r.

Las ecuaciones de las cónicas son:

  • Circunferencia: (x-c1)2+(y-c2)2=r2
  • Elipse: (x2/a2)+(y2/b2)=1
  • Parábola: x2=2py
  • Hipérbola: (x2/a2)-(y2/b2)=1

Cuestionario final de Cónicas

Pregunta

¿Qué es el diámetro de una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia de la línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

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Pregunta

¿Qué es la circunferencia de un círculo?

Mostrar respuesta

Answer

La circunferencia es el perímetro de un círculo. El círculo es el área encerrada por la circunferencia.

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Pregunta

¿Qué es el radio de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia entre un punto de la circunferencia y su centro.

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Pregunta

¿Qué es un sector circular?

Mostrar respuesta

Answer

El área que está delimitada por dos radios.

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Pregunta

¿Que es una cuerda?

Mostrar respuesta

Answer

Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro sin pasar por el centro.

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Pregunta

¿Qué es un segmento?

Mostrar respuesta

Answer

El área que está delimitada por una cuerda.

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Pregunta

¿Qué es una tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Es la línea que toca la circunferencia en un solo punto.

Show question

Pregunta

¿Qué es un arco?

Mostrar respuesta

Answer

Es la línea que toca la circunferencia en un solo punto.


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Pregunta

¿Cuál de estas ecuaciones corresponde a una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\((x-3)^2+(y+1)^2=5\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación reducida de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

Show question

Pregunta

A partir de la ecuación general de la circunferencia, ¿cómo se calcula el radio del círculo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F}\).

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Pregunta

¿Cuál es la ecuación reducida de la circunferencia con centro en \((9,0)\) y radio \(9\)?

Mostrar respuesta

Answer

\[(x-9)^2+y^2=81\]

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia con centro en \((-3,2)\) y radio \(5\)?

Mostrar respuesta

Answer

 \[x^2+y^2+6x-4y-12=0\]

Show question

Pregunta

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2+2x-8y+8=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Centro: \((-1,4)\).
Radio: \(3\).

Show question

Pregunta

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia con ecuación  \(x^2+y^2-12x+4y-9=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Centro: \((6,-1)\).
Radio: \(7\).

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Pregunta

¿Qué es una tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Una tangente es una línea que corta la circunferencia en un solo punto. 

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-5,1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{3}+\frac{8}{3}\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-1,-1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=3x+2\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+18\)

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=2x-14\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,2)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+4\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=x-6\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación (\(x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+7\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,-4)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-11\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,5)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+9\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((3,8)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{2}+\frac{13}{2}\).

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \(x^2+y^2=32\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-4,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-8\).

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Pregunta

¿Qué tienen en común el círculo, la parábola, la elipse y la hipérbola?

Mostrar respuesta

Answer

Se representan mediante ecuaciones de segundo grado.

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Pregunta

¿Con qué nombre se le conoce a la familia de figuras que contiene la parábola, el círculo, la elipse y la hipérbola?.

Mostrar respuesta

Answer

Cónicas.

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Pregunta

¿Qué figura se puede usar para generar una cónica?

Mostrar respuesta

Answer

Un cono en 3D.

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Pregunta

¿Qué es un lugar geométrico?

Mostrar respuesta

Answer

En geometría, se denomina lugar geométrico a todos los puntos del plano que cumplen cierta condición.

Show question

Pregunta

Las condiciones que deben cumplir cierto grupo de puntos que genera una cónica debe estar expresado en forma de:

Mostrar respuesta

Answer

ecuaciones.

Show question

Pregunta

¿Qué es una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Se llama circunferencia al lugar geométrico del plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A esta distancia se le denomina radio.

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Pregunta

¿Qué es una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Se llama elipse al lugar geométrico en el  plano de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.

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Pregunta

¿Qué es una parábola?

Mostrar respuesta

Answer

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta, llamada directriz.

Show question

Pregunta

¿Qué es una hipérbola?

Mostrar respuesta

Answer

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la diferencia en valor absoluto de la distancia entre dos puntos fijos, llamados focos, es constante

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Pregunta

¿Cómo se genera la circunferencia a partir de un cono?

Mostrar respuesta

Answer

Cortando el cono perpendicularmente a su altura.

Show question

Pregunta

¿Qué figuras se pueden generar a partir de un cono?

Mostrar respuesta

Answer

Punto.

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Pregunta

¿Cómo se genera una recta a partir de un cono?

Mostrar respuesta

Answer

Por un plano que toca el cono en su superficie, pero no lo corta.

Show question

Pregunta

¿Son las hipérbolas continuas?

Mostrar respuesta

Answer

No, no lo son; ya que poseen una discontinuidad.

Show question

Pregunta

La función \({{1}\over{x}}\) una hipérbola. ¿Falso o verdadero?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta

Representa gráficamente la función \({{1}\over{x^2}}\). ¿Es una hipérbola?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es.

Show question

Pregunta

¿Qué es una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.

Show question

Pregunta

¿Cuáles de las siguientes listas contiene un elemento que no es parte de los elementos de la elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Semieje menor, centro, semieje mayor.

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Pregunta

¿Qué es el foco en una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Son los puntos en los que la suma de la distancia entre ellos y un punto de la elipse que es constante.

Show question

Pregunta

¿Qué es el vértice en una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Los vértices son los puntos más exteriores de la elipse en la dirección del semieje mayor y del semieje menor.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el semieje mayor en una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Semieje mayor: distancia del centro de la elipse al vértice, en la dirección del foco.

Show question

Pregunta

¿Qué es el semieje menor en una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Semieje menor: el eje desde el centro de la elipse hasta el vértice, en dirección perpendicular a los focos.

Show question

Pregunta

¿Cuántos vértices tiene una elipse?

Mostrar respuesta

Answer

Una elipse tiene 4 vértices.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación de la elipse horizontal con centro en \(x=0, y=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=1\).

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