Área de los sectores circulares

Tipos de sectores

Hay dos tipos de sectores que se forman cuando se divide un círculo.

Sector mayor

Este sector es la porción mayor del círculo. Tiene un ángulo mayor que 180 grados.

Sector menor

El sector menor es la porción más pequeña del círculo. Tiene un ángulo menor que 180 grados.

Ilustración de los sectores mayor y menor, Njoku - StudySmarter Originals

¿Cómo calcular el área de un sector?

Derivando la fórmula del área utilizando el ángulo subtendido por el sector.

Utilizando ángulos en grados.

Observemos que el ángulo que abarca todo el círculo es de 360 grados, y recordemos que el área de un círculo es ^πr2.

Un sector es una porción de círculo que contiene dos radios y un arco, por lo que nuestro objetivo es encontrar la forma de reducir el círculo hasta encontrar un arco.

Paso 1.

El círculo es entero, por tanto estamos considerando el ángulo 360 grados, por lo que el área es

$Are{a}_{circle}=\pi r^2$.

Paso 2.

A partir del diagrama anterior, el círculo se ha dividido por la mitad. Esto significa que el área de cada uno de los semicírculos obtenidos es ,

$Are{a}_{semicircle}=\frac{1}{2}\pi r^2$.

Observa que el ángulo subtendido por el semicírculo es de 180 grados, que es la mitad del ángulo subtendido en el centro de todo el círculo. Dividiendo 180 grados entre 360 grados, obtenemos que $\frac{1}{2}$ lo que multiplica el área del círculo. Dicho de otro modo,

$Are{a}_{semicircle}=\frac{180}{360}{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{\pi r}}^2.$

Paso 3.

Ahora dividimos el semicírculo para obtener un cuarto de círculo. Por tanto, el área del cuarto de círculo será

$Are{a}_{quarterofthecircle}=\frac{1}{4}\pi r^2$.

Observa que el ángulo formado por el cuarto de círculo es de 90 grados, que es la cuarta parte del ángulo subtendido por el círculo entero. Dividiendo 90 grados entre 360 grados, obtenemos que $\frac{1}{4}$lo que multiplica el área del círculo. Dicho de otro modo,

$Are{a}_{quarterofthecircle}=\frac{90°}{360°}{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{1}{4}{\mathrm{\pi r}}^2.$

Paso 4.

Los pasos anteriores pueden generalizarse a cualquier ángulo $\theta$. De hecho, podemos deducir que el ángulo subtendido por el sector de un círculo determina el área de ese sector, por lo que tenemos

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2.$

donde θ es el ángulo subtendido por el sector y $r$ es el radio del círculo.

Utilizar ángulos en radianes.

A veces, en lugar de darte el ángulo en grados, te lo dan en radianes. El are del sector es así,

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{2}{r}^2$

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

Recordemos que $180°=\mathrm{\pi }\mathrm{radians}$por tanto$360°=2\pi$.

Ahora, sustituyendo en la fórmula del área del sector, derivada anteriormente en el artículo, obtenemos

$$\begin{gathered} A_{sector}=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2 \\ Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{2\pi }\times {\mathrm{\pi r}}^2 \\ {\mathrm{Area}}_{\mathrm{sector}}=\frac{\mathrm{\theta }}{2}{\mathrm{r}}^2. \end{gathered}$$

Utilizando la longitud del arco

Si se da la longitud de un arco, también se puede calcular el área de un sector.

Recordamos primero la circunferencia del círculo,

$Circumferenceofacircle=2\pi r$.

Observa que el arco es una parte de la circunferencia del círculo que viene determinada por el ángulo subtendido $\theta$.

Suponiendo que $\theta$está expresado en grados, tenemos

$arclength=\frac{\theta }{360°}\times 2\pi r$.

Recuerda ahora la fórmula del área del arco subtendido por el ángulo $\theta ,$

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2$,

y ésta se puede reescribir de la siguiente manera

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2=\frac{\theta }{360.2}\times 2\times \pi r\times r=\frac{\theta }{360}\times 2\times \pi r\times \frac{r}{2}=arclength\times \frac{r}{2}$

Así,

$Are{a}_{sector}=arclength\times \frac{r}{2}.$