Triángulos Isósceles: Definición, Propiedades

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Torre Eiffel y triángulo isósceles, StudySmarter Original

Torre Eiffel y triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Desde arriba, vemos que la estructura de la Torre Eiffel representa un triángulo. Ahora inspecciona más detenidamente las dimensiones de este triángulo. Observa cómo los dos lados opuestos son iguales, mientras que la base es diferente. Esto significa que podemos descartar que la Torre Eiffel tenga la forma de un triángulo equilátero, que como recordarás es un triángulo de tres lados iguales. Entonces, ¿qué tipo de triángulo podría ser? Para responder a tu pregunta, se llama triángulo isósceles.

Un triángulo is ósceles es un triángulo con dos lados iguales.

Componentes de un triángulo isósceles

Considera el triángulo isósceles ABC que aparece a continuación.

Triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Aquí tienes los componentes más importantes de un triángulo isósceles:

Lados y vértices

Los catetos del triángulo isósceles están representados por la variable a.
La base está definida por la variable b.
El vértice $C$ es la parte superior del triángulo isósceles. También se denomina vértice.
La altitud $C D$ es un segmento de recta perpendicular trazado desde el vértice a la base de un triángulo isósceles.
La longitud de la altitud se llama altura y se describe mediante la variable h.

Ángulos

El ángulo ${}_{∠}C$ entre los catetos del triángulo isósceles se llama ángulo del vértice (o ángulo del vértice).
Cada uno de los dos ángulos ${}_{∠}B$ y ${}_{∠}A$ entre un cateto y la base del triángulo isósceles se llama ángulo de la base.

Propiedades de un triángulo isósceles

Hay varias propiedades significativas de los triángulos isósceles con las que debes familiarizarte para comprender plenamente la composición de un triángulo isósceles. En la tabla siguiente se describen detalladamente.

Propiedad	Descripción
Hay dos lados iguales	AC = BC
Los ángulos de las bases son iguales	∠A = ∠B
La altitud del ángulo vértice biseca tanto al ángulo vértice como a la base	AD = BD∠ACD = ∠BCD
La altitud trazada desde el ángulo vértice divide el triángulo isósceles en dos triángulos congruentes	El triángulo ACD es congruente con el triángulo BCD

Identificación del cateto y la base de un triángulo isósceles

Supongamos que nos dan un triángulo de tres lados. Nos dicen que el triángulo es, efectivamente, un triángulo isósceles. Sin embargo, necesitamos determinar qué lados son los catetos del triángulo isósceles y qué lado es la base.

Para determinar los catetos del triángulo isósceles, fíjate en las siguientes características:

Hayexactamente dos lados iguales, que son los catetos
Ambos catetos salen del vértice del triángulo
La altura es adyacente a los dos catetos

Por el contrario, la base debe cumplir las siguientes propiedades

Los dos ángulos de los extremos de la base son iguales
Una altitud trazada desde el vértice es perpendicular a la base
Un segmento de recta perpendicular que pase por el vértice biseca la base, es decir, corta la base en dos mitades iguales

Teoremas del triángulo isósceles

Teniendo esto en cuenta, veamos ahora dos teoremas notables sobre los triángulos isósceles que profundizan en las dos propiedades principales descritas anteriormente.

Teorema 1

Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Demostración del Teorema 1

Considera el siguiente triángulo isósceles ABC en el que AC = BC. Traza una bisectriz que pase por ∠C. A este segmento de recta lo llamaremos CD.

Teorema del triángulo isósceles 1, StudySmarter Originals

Queremos demostrar que los ángulos opuestos a los lados AC y BC son iguales.

Esencialmente, queremos demostrar que ∠A = ∠B.

Observa que en los triángulos ACD y BCD

AC = BC
∠ACD = ∠BCD
CD = CD

Congruencia SAS

Si dos lados y un ángulo incluido de un triángulo son iguales a los dos lados y al ángulo incluido del segundo triángulo, se dice que los dos triángulos son congruentes.

Según la regla de congruencia SAS anterior, los triángulos ACD y BCD deben ser congruentes. Como los dos triángulos son congruentes, los ángulos correspondientes también deben ser congruentes. Por tanto, ∠A debe ser igual a ∠B.

Teorema 2

Los lados opuestos a los ángulos iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Demostración del teorema 2

Considera el siguiente triángulo isósceles ABC en el que ∠A = ∠B. Construiremos una bisectriz CD que se encuentre con el lado AB en ángulo recto.

Teorema del triángulo isósceles 2, StudySmarter Originals

Pretendemos demostrar que AC = BC para demostrar que el triángulo ABC es efectivamente un triángulo isósceles.

Observa que en los triángulos ACD y BCD

∠ACD = ∠BCD
CD = CD
∠ADC = ∠BDC = ^90o

Congruencia ASA

Si dos ángulos y un lado incluido entre los ángulos de un triángulo son iguales a los correspondientes dos ángulos y lado incluido entre los ángulos del segundo triángulo, se dice que los dos triángulos son congruentes.

Según la regla de congruencia ASA anterior, los triángulos ACD y BCD deben ser congruentes. Como los dos triángulos son congruentes, los lados correspondientes también deben ser congruentes. Así pues, AC debe ser igual a BC y, por tanto, el triángulo ABC es un triángulo isósceles.

Tipos de triángulos isósceles

Hay que considerar tres tipos de triángulos isósceles, a saber

Isósceles agudo;
Isósceles recto;
Isósceles obtuso.

La tabla siguiente compara cada uno de estos tipos de triángulos isósceles.

Tipo de triángulo isósceles	Diagrama	Descripción
Isósceles Agudo	Triángulo isósceles agudo, StudySmarter Originals	Consta de dos lados iguales y un lado desigual. Los dos ángulos opuestos a los lados son iguales. Si cada uno de los ángulos iguales es mayor que ^45o y menor que ^90o, el ángulo del vértice será un ángulo agudo.
Isósceles Recto	Triángulo isósceles rectángulo, StudySmarter Originals	Consta de dos lados iguales: uno de ellos actúa como perpendicular y el otro como base del triángulo. El tercer lado desigual actúa como hipotenusa del triángulo. Si cada uno de los ángulos iguales mide exactamente ^45o, entonces el ángulo del vértice es un ángulo recto. Por el^Teorema de Pitágorash2= ^a2 + ^a2 =^2a2
Isósceles Obtuso	Triángulo isósceles obtuso, StudySmarter Originals	Consta de dos lados iguales y un ángulo obtuso. Si cada uno de los ángulos iguales es menor que ^45o, entonces el ángulo del vértice es un ángulo obtuso.

Fórmulas de triángulos isósceles

En este apartado veremos tres fórmulas importantes de los triángulos isósceles, a saber

La altura de un triángulo isósceles;
El perímetro de un triángulo isósceles;
El área de un triángulo isósceles.

La altura de un triángulo isósceles

La altura de un triángulo isósceles se puede hallar aplicando el Teorema de Pitágoras. Supongamos que tenemos el siguiente triángulo isósceles ABC, en el que están dadas las medidas de un cateto a y de la base b.

Altura de un triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Sabemos que la altura (segmento de recta CD) del ángulo vértice biseca la base del triángulo isósceles. Esto significa que

$A D = B D = \frac{1}{2} b$ .

Además, ADC y BDC son triángulos rectángulos en los que a es la hipotenusa. Por tanto, para hallar la altura, podemos adoptar simplemente el Teorema de Pitágoras como

id="5162800" role="matemáticas" $a^{2} = h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} \Rightarrow h^{2} = a^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} \Rightarrow h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}}$

El perímetro de un triángulo isósceles

El perímetro de un triángulo isósceles viene dado por la siguiente fórmula.

$P = 2 a + b$

donde a es la longitud de los dos lados iguales y b es la base del triángulo isósceles. Vamos a demostrarlo con un ejemplo práctico.

Dado el triángulo siguiente, calcula su perímetro.

Ejemplo 1, Originales de StudySmarter

Ejemplo 1, StudySmarter Originals

Solución

Según la fórmula del perímetro, el perímetro de este triángulo isósceles es

$P = 2 (9) + 7 \Rightarrow P = 25 u n i t s$

El área de un triángulo isósceles

Una vez que conoces la altura de un triángulo isósceles, calcular el área es pan comido. La fórmula es

$A r e a = \frac{1}{2} \times b \times h$ ,

donde b es la base y h es la altura del triángulo isósceles. A continuación se muestra un ejemplo práctico en el que se aplica este método.

Halla el área de un triángulo isósceles cuya base es 6 unidades y el lado es 13 unidades.

Solución

Empecemos por hacer un croquis de este triángulo isósceles. Construye una altitud desde el ángulo vértice de este triángulo isósceles hasta la base.

Ejemplo 2, Originales de StudySmarter

Ejemplo 2, StudySmarter Originals

Sabemos que la altitud biseca la base del triángulo isósceles y crea dos triángulos rectángulos congruentes. Como la base mide 6 unidades, entonces AD = BD = 3 unidades. La altura se halla aplicando el Teorema de Pitágoras como

$13^{2} = h^{2} + 3^{2} \Rightarrow h^{2} = 13^{2} - 3^{2} \Rightarrow h = \sqrt{13^{2} - 3^{2}} \Rightarrow h = 4 \sqrt{10} u n i t s$

Ahora que tenemos la altura del triángulo isósceles, podemos utilizar la fórmula del área. El área de este triángulo isósceles es

$A = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{10} \times 6 \Rightarrow A = 12 \sqrt{10} u n i t s^{2}$

Altitudes en triángulos isósceles

Definamos ahora una altitud de un triángulo.

Una altitud es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto.

¡No confundas este término con las mediatrices! Una mediatriz divide un segmento en dos partes iguales y es perpendicular a ese segmento.

Ahora que hemos establecido la definición de altitud, vamos a relacionar esta idea con nuestro tema en cuestión. A continuación se exponen dos teoremas que relacionan la altitud con los triángulos isósceles.