Ya conocerás las ecuaciones de la recta en el plano; ese caso, la recta está definida en dos coordenadas. Sin embargo, en el espacio necesitaremos tres coordenadas para poder definir una recta. Las ecuaciones de la recta en el espacio serán, entonces, una ampliación de las ecuaciones de la recta en el plano, añadiendo la coordenada \(z\).
Ahora, empezaremos a explicarte cuáles son estas ecuaciones y cómo obtenerlas.
La recta
Una recta es una línea que no tiene ninguna curva o deformación.
Las principales características de una recta son:
Es continua: no tiene ningún agujero.
No posee volumen o área: de tal manera que, si pudieses aumentar la recta, nunca se convertiría en una línea gruesa.
Puede ser finita o infinita.
La recta es una función que relaciona dos variables en dos dimensiones, estas son \(x\) e \(y\). Para cada valor de \(x\) existe solo un valor de \(y\) en la recta.
Las funciones matemáticas que relacionan estos valores en el espacio que pertenecen a la recta son conocidas como ecuaciones de la recta.
Ecuaciones de la recta en el espacio
La recta posee varias ecuaciones importantes que describen cómo es; algunas de ellas son:
Ecuación vectorial de la recta.
Ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación continua de la recta.
Ecuaciones implícitas.
Cada una de ellas se plantea de modo distinto. En este artículo te mostraremos cuáles son cada una de ellas y su origen.
Ecuación vectorial de la recta
Esta ecuación se obtiene al relacionar un punto que pertenece a la recta \(A(a_1,a_2,a_3)\) y un vector director de la recta \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\). Entonces, para que un punto general del espacio \(P(x,y,z)\) pertenezca a la recta, se tiene que cumplir que el vector \(\overrightarrow{AP}\) tenga la misma dirección que el vector \(\vec{v}\); es decir, \(\overrightarrow{AP}=\lambda \vec{v}\).
Siendo \(\vec{a}\) el vector del origen al punto \(A\) y \(\vec{p}\) el vector del origen al punto \(P\), la ecuación vectorial de la recta sería:
\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{v}\]
Fig. 1: Recta en el espacio, a partir del punto \(A\) y el vector director \(V\).
Vamos a escribir la ecuación vectorial de una recta, dado el punto \(A(2,4,-3)\) —por el que pasa la recta— y el vector director \(\vec{v}=(1,3,5)\) —que indica la dirección de la recta)—
Aplicando la fórmula anterior:
\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{v}\]
\[(x,y,z)=(2,4,-3)+t(1,3,5)\]
Ecuaciones paramétricas de la recta
Las ecuaciones paramétricas de la recta se pueden obtener a partir de la ecuación vectorial de la recta. En este caso, la recta se expresa en cada una de sus coordenadas, tal como se ve a continuación:
\[ \left\{ \begin{array}xx=a_1+tv_1 \\ y=a_2+tv_2 \\ z=a_3+tv_3 \end{array}\right.\]
Vamos a calcular las ecuaciones paramétricas del ejemplo anterior:
\[ \left\{ \begin{array} xx=2+t \\ y=4+3t \\ z=-3+5t \end{array}\right.\]
Ecuación continua de la recta
Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro \(t\), en cada una de ellas obtenemos:
\[\left\{ \begin{array} tt=\dfrac{x-a_1}{v_1} \\ t=\dfrac{y-a_2}{v_2} \\ t=\dfrac{z-a_3}{v_3} \end{array}\right. \]
Si ahora igualamos estas tres ecuaciones, obtenemos:
\[ \dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}\]
Esta sería la ecuación continua de la recta.
Como puedes observar, si una de las coordenadas del vector director es 0, una de las fracciones será una indeterminación. Por ejemplo, en la siguiente recta tenemos:
\[\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{0}=\dfrac{z-3}{2}\]
Pero, aun así, se escribe de este modo; porque así podemos ver que la recta pasa por el punto \( (1,-1,3)\) y tiene vector director \(\vec{v}=(3,0,2)\).
Hallemos la ecuación continua de la recta del ejemplo anterior.
Despejamos el parámetro \(t\) en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualamos. Así obtenemos:
\[\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z+3}{5}\]
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta en el espacio se expresa mediante un sistema de dos ecuaciones de primer grado en cada una de las dimensiones. Una manera de obtener estas dos ecuaciones es igualando dos de las ecuaciones que forman la ecuación continua de la recta.
Por tanto, hay varias opciones para expresar una misma recta. Por ejemplo, igualando el término de la \(x\) con el de la \(y\), el término de la \(x\) con el de la \(z\) y el término de la \(y\) con el de la \(z\). Después de igualar, se simplifican términos y se deja todo a un lado, quedando la forma general de las ecuaciones implícitas como:
\[\left\{\begin{array} AAx+By+Cz+D=0\\Ex+Fy+Gz+H=0\end{array}\right.\]
Vamos a calcular las ecuaciones implícitas de los ejemplos anteriores. Para ello, igualamos términos en la ecuación continua de la recta.
Por ejemplo:
El término de la \(x\) con la \(y\):
\[\begin{array}\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{3}\\3(x-2)=y-4\\3x-y-2=0\end{array}\]
Y, ahora, el término de la \(x\) con la \(z\):
\[\begin{array}\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{z+3}{5}\\5(x-2)=z+3\\5x-z-13=0\end{array}\]
Por tanto, la recta vendría representada por:
\[\left\{\begin{array}33x-y-2=0\\5x-z-13=0\end{array}\right.\]
Fíjate que para la segunda ecuación también podríamos haber elegido otra combinación; por ejemplo, igualar el término de la \(y\) con el de la \(z\). Así, la recta vendría representada como:
\[\left\{\begin{array}33x-y-2=0\\5y-3z-29=0\end{array}\right.\]
Incluso, adicionalmente, podríamos haber sumado o restado las ecuaciones. Así obtendríamos una combinación de ambas; lo cual, también, representa la misma recta.
La recta en el espacio - Puntos clave
- La recta es una línea que posee diversas características, entre ellas:
- No tiene deformaciones.
- No contiene huecos.
- Es finita o infinita.
- No tiene ancho, ni volumen
- La recta puede ser representada por ecuaciones. Estas ecuaciones relacionan las coordenadas de la recta.
- Algunas ecuaciones de la recta son:
- Las ecuaciones implícitas, paramétricas y la ecuación continua de la recta pueden obtenerse a partir de la ecuación vectorial de la recta.
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