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La recta en el espacio

La recta en el espacio

Ya conocerás las ecuaciones de la recta en el plano; ese caso, la recta está definida en dos coordenadas. Sin embargo, en el espacio necesitaremos tres coordenadas para poder definir una recta. Las ecuaciones de la recta en el espacio serán, entonces, una ampliación de las ecuaciones de la recta en el plano, añadiendo la coordenada \(z\).

Ahora, empezaremos a explicarte cuáles son estas ecuaciones y cómo obtenerlas.

La recta

Una recta es una línea que no tiene ninguna curva o deformación.

Las principales características de una recta son:

  • Es continua: no tiene ningún agujero.

  • No posee volumen o área: de tal manera que, si pudieses aumentar la recta, nunca se convertiría en una línea gruesa.

  • Puede ser finita o infinita.

La recta es una función que relaciona dos variables en dos dimensiones, estas son \(x\) e \(y\). Para cada valor de \(x\) existe solo un valor de \(y\) en la recta.

Las funciones matemáticas que relacionan estos valores en el espacio que pertenecen a la recta son conocidas como ecuaciones de la recta.

Ecuaciones de la recta en el espacio

La recta posee varias ecuaciones importantes que describen cómo es; algunas de ellas son:

Cada una de ellas se plantea de modo distinto. En este artículo te mostraremos cuáles son cada una de ellas y su origen.

Ecuación vectorial de la recta

Esta ecuación se obtiene al relacionar un punto que pertenece a la recta \(A(a_1,a_2,a_3)\) y un vector director de la recta \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\). Entonces, para que un punto general del espacio \(P(x,y,z)\) pertenezca a la recta, se tiene que cumplir que el vector \(\overrightarrow{AP}\) tenga la misma dirección que el vector \(\vec{v}\); es decir, \(\overrightarrow{AP}=\lambda \vec{v}\).

Siendo \(\vec{a}\) el vector del origen al punto \(A\) y \(\vec{p}\) el vector del origen al punto \(P\), la ecuación vectorial de la recta sería: \[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{v}\]

Ecuaciones de la recta en el espacio, representación gráfica de una recta en el espacio, StudySmarterFig. 1: Recta en el espacio, a partir del punto \(A\) y el vector director \(V\).

Vamos a escribir la ecuación vectorial de una recta, dado el punto \(A(2,4,-3)\) por el que pasa la recta y el vector director \(\vec{v}=(1,3,5)\) que indica la dirección de la recta)

Aplicando la fórmula anterior:

\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{v}\]

\[(x,y,z)=(2,4,-3)+t(1,3,5)\]

Ecuaciones paramétricas de la recta

Las ecuaciones paramétricas de la recta se pueden obtener a partir de la ecuación vectorial de la recta. En este caso, la recta se expresa en cada una de sus coordenadas, tal como se ve a continuación:

\[ \left\{ \begin{array}xx=a_1+tv_1 \\ y=a_2+tv_2 \\ z=a_3+tv_3 \end{array}\right.\]

Vamos a calcular las ecuaciones paramétricas del ejemplo anterior:

\[ \left\{ \begin{array} xx=2+t \\ y=4+3t \\ z=-3+5t \end{array}\right.\]

Ecuación continua de la recta

Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro \(t\), en cada una de ellas obtenemos:

\[\left\{ \begin{array} tt=\dfrac{x-a_1}{v_1} \\ t=\dfrac{y-a_2}{v_2} \\ t=\dfrac{z-a_3}{v_3} \end{array}\right. \]

Si ahora igualamos estas tres ecuaciones, obtenemos:

\[ \dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}\]

Esta sería la ecuación continua de la recta.

Como puedes observar, si una de las coordenadas del vector director es 0, una de las fracciones será una indeterminación. Por ejemplo, en la siguiente recta tenemos:

\[\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{0}=\dfrac{z-3}{2}\]

Pero, aun así, se escribe de este modo; porque así podemos ver que la recta pasa por el punto \( (1,-1,3)\) y tiene vector director \(\vec{v}=(3,0,2)\).

Hallemos la ecuación continua de la recta del ejemplo anterior.

Despejamos el parámetro \(t\) en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualamos. Así obtenemos:

\[\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z+3}{5}\]

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta en el espacio se expresa mediante un sistema de dos ecuaciones de primer grado en cada una de las dimensiones. Una manera de obtener estas dos ecuaciones es igualando dos de las ecuaciones que forman la ecuación continua de la recta.

Por tanto, hay varias opciones para expresar una misma recta. Por ejemplo, igualando el término de la \(x\) con el de la \(y\), el término de la \(x\) con el de la \(z\) y el término de la \(y\) con el de la \(z\). Después de igualar, se simplifican términos y se deja todo a un lado, quedando la forma general de las ecuaciones implícitas como:

\[\left\{\begin{array} AAx+By+Cz+D=0\\Ex+Fy+Gz+H=0\end{array}\right.\]

Vamos a calcular las ecuaciones implícitas de los ejemplos anteriores. Para ello, igualamos términos en la ecuación continua de la recta.

Por ejemplo:

El término de la \(x\) con la \(y\):

\[\begin{array}\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{3}\\3(x-2)=y-4\\3x-y-2=0\end{array}\]

Y, ahora, el término de la \(x\) con la \(z\):

\[\begin{array}\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{z+3}{5}\\5(x-2)=z+3\\5x-z-13=0\end{array}\]

Por tanto, la recta vendría representada por:

\[\left\{\begin{array}33x-y-2=0\\5x-z-13=0\end{array}\right.\]

Fíjate que para la segunda ecuación también podríamos haber elegido otra combinación; por ejemplo, igualar el término de la \(y\) con el de la \(z\). Así, la recta vendría representada como:

\[\left\{\begin{array}33x-y-2=0\\5y-3z-29=0\end{array}\right.\]

Incluso, adicionalmente, podríamos haber sumado o restado las ecuaciones. Así obtendríamos una combinación de ambas; lo cual, también, representa la misma recta.

La recta en el espacio - Puntos clave

  • La recta es una línea que posee diversas características, entre ellas:
    • No tiene deformaciones.
    • No contiene huecos.
    • Es finita o infinita.
    • No tiene ancho, ni volumen
  • La recta puede ser representada por ecuaciones. Estas ecuaciones relacionan las coordenadas de la recta.
  • Algunas ecuaciones de la recta son:
  • Las ecuaciones implícitas, paramétricas y la ecuación continua de la recta pueden obtenerse a partir de la ecuación vectorial de la recta.

Preguntas frecuentes sobre La recta en el espacio

Hay varios tipos de ecuaciones de la recta, algunas de ellas son:


  • La ecuación vectorial.
  • La ecuación implícita.
  • La ecuación paramétrica.
  • La ecuación de la forma pendiente y ordenada al origen.


Esta ecuación usa dos vectores, que van hacia el inicio y final de un vector que vive dentro de la recta. Debido a que el vector vive a lo largo de la recta, señala cualquier punto que esté en la recta. Para esto, simplemente, el vector se debe extender hasta ese punto.


 La ecuación de esta forma se puede ver abajo:


En esta ecuación los términos son:

 , que es un vector que sale del origen hasta cierto punto P que vive en la recta.

 , es el producto de cualquier número "t" por un vector que vive a lo largo de la recta y nos dice la dirección hacia donde nos movemos en la recta.

La ecuación paramétrica de la recta se puede ver como una derivación de la ecuación vectorial de la recta. En este caso, la recta es dividida en sus coordenadas y a cada coordenada le corresponde un vector, como se ve abajo:


Aquí, las componentes son iguales a  

Cuando se igualan los componentes de la ecuación paramétrica y se divide en dos ecuaciones de x y y, y z, se tiene la ecuación implícita.

Despejando el parámetro t de los términos de la ecuación paramétrica.

Cuestionario final de La recta en el espacio

Pregunta

Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(A(1,5,2)\) y con vector director \(\vec{v}=(2,-4,1)\).

Mostrar respuesta

Answer

\[(x,y,z)=(1,5,2)+t(2,-4,1)\].

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Pregunta

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto \(A(3,0,-5)\) y con vector director \(\vec{v}=(5,2,6)\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\begin{matrix} x=3+5t \\ y=2t \\ z=-5+6t \end{matrix}\]

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Pregunta

Halla las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por el punto \(A(2,0,1)\) con vector director \(\vec{v}=(3,1,-2)\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\begin{array} x-3y-2=0\\z+2y-1=0\end{array}\].

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Pregunta

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto \(A(5,-3,7)\) con vector director \(\vec{v}=(0,3,-2)\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\dfrac{x-5}{0}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-7}{-2}\].

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Pregunta

¿Cuáles son las cuatro ecuaciones de la recta en el espacio?

Mostrar respuesta

Answer

Ecuación vectorial.

Ecuaciones paramétricas.

Ecuación continua.

Ecuaciones implícitas.

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Pregunta

¿Cuáles son tres características de la recta?

Mostrar respuesta

Answer

  1. Es continua. 
  2. No tiene área ni volumen. 
  3. Puede ser finita o infinita.

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Pregunta

¿Cómo podrías construir las ecuaciones de una recta, si solo conoces las coordenadas de dos puntos que pasan por ella?

Mostrar respuesta

Answer

Si restamos las coordenadas de un punto a las del otro, obtenemos el vector entre estos dos puntos, que sería el vector director de la recta. Con uno de los puntos originales y el vector hallado, podemos escribir las ecuaciones de la recta; por ejemplo, la ecuación vectorial.

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Pregunta

Si solo conoces un punto que pertenece a una recta, ¿puedes escribir las ecuaciones de la recta?

Mostrar respuesta

Answer

No; necesitamos al menos dos puntos, o un punto y el vector director que pertenecen a la recta, para poder escribir sus ecuaciones.

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Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones representan una recta en el espacio?

\[\begin{array} x+2z-3y+2=0\\3x+4y-z^2+3=0\end{array}\]

Mostrar respuesta

Answer

No, porque en la segunda ecuación la coordenada \(z\) es cuadrática. En una recta, todas las coordenadas son lineales.

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Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones representan una recta?

\[\begin{array}3y+x-13=0\\z=0\end{array}\]

Mostrar respuesta

Answer

Sí, porque hay 2 ecuaciones con 3 coordenadas lineales.

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Pregunta

¿Dónde representan una recta las siguientes ecuaciones?

\[\begin{array}x+2y-3=0\\3y-4x+3=0\end{array}\]

Mostrar respuesta

Answer

Representan una recta en el plano z=0, puesto que no aparece esta coordenada en las ecuaciones.

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Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones representan una recta?

\[\begin{array}x+2y-3=0\\2x-y-3=0\end{array}\]

Mostrar respuesta

Answer

Sí; no aparece la coordenada z, pero sigue siendo una recta en el espacio. La recta es paralela al eje z.

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Pregunta

Escribe las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por el punto \((1,3,0)\) con vector director \((-2,1,0)\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\begin{array}x+2y-7=0\\z=0\end{array}\].

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Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones representan una recta?

\[\begin{matrix} x=0 \\ z=0  \end{matrix}\]

Mostrar respuesta

Answer

Sí, la ecuación del eje \(y\).

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Pregunta

Escribe las ecuaciones implícitas del eje \(x\) en el espacio.

Mostrar respuesta

Answer

\[\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\].

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