De la misma manera en la que te hemos explicado las ecuaciones de la recta en el espacio, ahora vamos a enfocarnos en las ecuaciones del plano en el espacio. Así, después de ver esto, ya podrás estudiar temas como las posiciones relativas entre una recta y un plano, calcular distancias entre planos y muchas cosas más.
Un plano es un objeto tridimensional que queda definido si conocemos un punto que pertenezca al plano y dos vectores directores que sean linealmente independientes.
- En este artículo aprenderemos cuáles son las distintas ecuaciones del plano:
- Ecuación vectorial del plano
- Ecuación paramétrica del plano
- Ecuación general del plano
- Ecuación normal del plano
- También aprenderemos a determinar la ecuación del plano que pasa por tres puntos.
Ecuaciones del plano en el espacio
A continuación estudiaremos las distintas representaciones en forma de ecuación que puede tener un plano en el espacio. Distinguiremos entre la ecuación vectorial, paramétrica, general y normal del plano.
Cada una de ellas resulta útil en distintas situaciones puesto que en cada una se pueden observar distintas partes del plano más fácilmente que en otras, aunque todas representen el mismo plano.
Por ejemplo, la ecuación normal del plano, resulta interesante cuando queremos encontrar un vector normal al plano, puesto que éste vector es simplemente los coeficientes de la ecuación.
Ecuación vectorial del plano
Como acabamos de mencionar, si tenemos un plano \(\pi\) que pasa por el punto \(A(a_1,a_2,a_3)\), y tiene como vectores directores \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), entonces un punto cualquiera \(P(x,y,z)\), para que pertenezca al plano, debe cumplir con que el vector \(\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}\) (donde \(\vec{p}\) y \(\vec{a}\) son los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(A\), respectivamente) sea una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\):
\[\vec{p}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\]
A esta expresión se le denomina ecuación vectorial del plano \(\pi\).
Hagamos un ejemplo:
Determina la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto \(A(1,3,-1)\) y tiene vectores directores \(\vec{u}=(-1,1,0)\) y \(\vec{v}=(2,-1,1)\).
Solución:
Si seguimos la fórmula anterior, la ecuación vectorial de este plano sería:
\[(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (-1,1,0)+\mu (2,-1,1)\]
Ecuación paramétrica del plano
A partir de la ecuación vectorial, es realmente sencillo sacar las ecuaciones paramétricas del plano en el espacio. Lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:
\[\left\{ \begin{array}\, x=a_1+\lambda u_1 + \mu v_1\\ y=a_2 +\lambda u_1 + \mu v_2 \\ z=a_3+\lambda u_3+ \mu v_3 \end{array}\right.\]
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas del plano nos dicen cómo es el plano —coordenada a coordenada—.
Calcula las ecuaciones paramétricas del plano del ejemplo anterior.
Solución:
Como ya tenemos la ecuación vectorial del plano, lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:
\[\left\{ \begin{align}\, x&=1-\lambda+2\mu \\ y&=3+\lambda -\mu \\ z&=-1+\mu \end{align}\right.\]
Ecuación general del plano en el espacio
La ecuación general del plano también se conoce como la ecuación implícita del plano. Esta ecuación surge a partir de las ecuaciones paramétricas, si las expresamos como:
\[\left\{ \begin{array}\, \lambda u_1 + \mu v_1=x-a_1\\ \lambda u_1 + \mu v_2=y-a_2 \\ \lambda u_3+ \mu v_3=z-a_3 \end{array}\right.\]
Por lo tanto, el plano se expresa como un sistema de ecuaciones; y, como el plano contiene puntos, este sistema debe ser obligatoriamente compatible —siendo la matriz de coeficientes \(M\) y la matriz ampliada del sistema \(M^*\)—:
\[M=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}\]
\[M^*=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{pmatrix}\]
Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el sistema es compatible, esto implica que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada deben ser iguales:
\[Rg(M)=Rg(M^*)\]
Como la matriz \(M\) está formada por vectores que deben ser linealmente independientes, sabemos que el rango de esta matriz es de 2. Por tanto, el rango de la matriz \(M^*\) también debe ser 2, para que el sistema sea compatible. Esto no lleva a:
\[\det(M^*)=\begin{vmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{vmatrix}=0\]
Al resolver este determinante, llegamos a la ecuación general del plano.
Veamos:
Determina la ecuación general del plano del ejemplo anterior.
Solución:
Tenemos las ecuaciones paramétricas, que podemos reexpresar como:
\[\left\{ \begin{align}\, -\lambda+2\mu&=x-1 \\ \lambda -\mu&=y-3 \\ \mu&=z+1 \end{align}\right.\]
Ahora, sacamos la matriz ampliada de este sistema e igualamos su determinante a cero:
\[\begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix}=0\]
Resolvemos el determinante:
\[\begin{align} \begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix} &=-1(-z-1-y+3)-1(2z+2-x+1)=\\&=x+y-z-5 \end{align}\]
Igualando el determinante a cero, obtenemos la ecuación general del plano, que es:
\[x+y-z-5=0\]
Ecuación del plano que pasa por tres puntos: ejercicios resueltos
Otra posibilidad es que tengas tres puntos del espacio y quieras formar un plano a partir de ellos. Aunque parezca complicado, esto es realmente sencillo: solo tienes que convertir dos de los puntos en vectores, que utilizarás como vectores directores del plano.
Por tanto, si tenemos los puntos \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\) y \(C(c_1,c_2,c_3)\), podemos crear el plano que pasa por \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).
Escribe la ecuación general del plano que pasa por los puntos \(A(2,-1,0)\), \(B(1,3,2)\) y \(C(0,-1-1)\).
Solución:
Podemos decir que el plano pasa por el punto \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) (aunque puedes elegir cualquiera de los tres puntos y crear otros vectores directores distintos, siempre que utilices los puntos dados).
Los vectores directores son:
\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,4,2)\]
\[\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,0,-1)\]
La ecuación general del plano se halla, entonces, a partir del siguiente determinante:
\[\begin{vmatrix} -1 & -2 & x-2 \\ 4 & 0 & y+1 \\ 2 & -1 & z \end{vmatrix}=-4x-5y+8z+3\]
Si igualamos el determinante a cero, obtenemos la ecuación general del plano:
\[\pi:\space 4x+5y-8z=3\]
Ecuación normal del plano
Una característica importante de la ecuación general del plano es que a partir de ella podemos obtener un vector normal al plano.
Si la ecuación general del plano tiene la forma:
\[\pi:\space Ax+By+Cz+D=0\]
Un vector normal al plano —es decir, perpendicular a todos los vectores contenidos en el plano— tiene la forma:
\[\vec{n}_\pi=(A,B,C)\]
Por tanto, si tienes la ecuación general de un plano, con los coeficientes de las incógnitas puedes formar un vector normal al plano, sin necesidad de hacer ningún cálculo.
De manera similar, podemos escribir la ecuación de un plano a partir de un vector normal al mismo y un punto por el que pasa el plano. Siendo \(\vec{n}=(A,B,C)\) el vector normal que pasa por el punto \(P(a_1,a_2,a_3)\), podemos formar el plano como:
\[A(x-a_1)+B(y-a_2)+C(z-a_3)=0\]
Esta ecuación se conoce como ecuación normal del plano.
Halla la ecuación normal de un plano que pasa por el punto \(P(1,3,-2)\) y que tiene vector normal \(\vec{n}=(3,-1,1)\).
Solución:
Como tenemos un punto por el que pasa y el vector normal, podemos utilizar directamente la ecuación normal del plano:
\[3(x-1)-(y-3)+(z-2)=0\]
Si desarrollamos esta ecuación, llegamos a la ecuación general del plano:
\[3x-3-y+3+z-2=0\]
Finalmente:
\[3x+y+z-2=0\]
Ecuaciones del plano en el espacio - Puntos clave
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