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Ecuación del plano en el espacio

Ecuación del plano en el espacio

De la misma manera en la que te hemos explicado las ecuaciones de la recta en el espacio, ahora vamos a enfocarnos en las ecuaciones del plano en el espacio. Así, después de ver esto, ya podrás estudiar temas como las posiciones relativas entre una recta y un plano, calcular distancias entre planos y muchas cosas más.

Un plano es un objeto tridimensional que queda definido si conocemos un punto que pertenezca al plano y dos vectores directores que sean linealmente independientes.

Ecuación vectorial del plano

Como acabamos de mencionar, si tenemos un plano \(\pi\) que pasa por el punto \(A(a_1,a_2,a_3)\), y tiene como vectores directores \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), entonces un punto cualquiera \(P(x,y,z)\), para que pertenezca al plano, debe cumplir con que el vector \(\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}\) (donde \(\vec{p}\) y \(\vec{a}\) son los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(A\), respectivamente) sea una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\):

\[\vec{p}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\]

A esta expresión se le denomina ecuación vectorial del plano \(\pi\).

Hagamos un ejemplo:

Determina la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto \(A(1,3,-1)\) y tiene vectores directores \(\vec{u}=(-1,1,0)\) y \(\vec{v}=(2,-1,1)\).

Solución:

Si seguimos la fórmula anterior, la ecuación vectorial de este plano sería:

\[(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (-1,1,0)+\mu (2,-1,1)\]

Ecuación paramétrica del plano

A partir de la ecuación vectorial, es realmente sencillo sacar las ecuaciones paramétricas del plano en el espacio. Lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:

\[\left\{ \begin{array}\, x=a_1+\lambda u_1 + \mu v_1\\ y=a_2 +\lambda u_1 + \mu v_2 \\ z=a_3+\lambda u_3+ \mu v_3 \end{array}\right.\]

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas del plano nos dicen cómo es el plano coordenada a coordenada.

Calcula las ecuaciones paramétricas del plano del ejemplo anterior.

Solución:

Como ya tenemos la ecuación vectorial del plano, lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:

\[\left\{ \begin{align}\, x&=1-\lambda+2\mu \\ y&=3+\lambda -\mu \\ z&=-1+\mu \end{align}\right.\]

Ecuación general del plano en el espacio

La ecuación general del plano también se conoce como la ecuación implícita del plano. Esta ecuación surge a partir de las ecuaciones paramétricas, si las expresamos como:

\[\left\{ \begin{array}\, \lambda u_1 + \mu v_1=x-a_1\\ \lambda u_1 + \mu v_2=y-a_2 \\ \lambda u_3+ \mu v_3=z-a_3 \end{array}\right.\]

Por lo tanto, el plano se expresa como un sistema de ecuaciones; y, como el plano contiene puntos, este sistema debe ser obligatoriamente compatible siendo la matriz de coeficientes \(M\) y la matriz ampliada del sistema \(M^*\):

\[M=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}\]

\[M^*=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{pmatrix}\]

Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el sistema es compatible, esto implica que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada deben ser iguales:

\[Rg(M)=Rg(M^*)\]

Como la matriz \(M\) está formada por vectores que deben ser linealmente independientes, sabemos que el rango de esta matriz es de 2. Por tanto, el rango de la matriz \(M^*\) también debe ser 2, para que el sistema sea compatible. Esto no lleva a:

\[\det(M^*)=\begin{vmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{vmatrix}=0\]

Al resolver este determinante, llegamos a la ecuación general del plano.

Veamos:

Determina la ecuación general del plano del ejemplo anterior.

Solución:

Tenemos las ecuaciones paramétricas, que podemos reexpresar como:

\[\left\{ \begin{align}\, -\lambda+2\mu&=x-1 \\ \lambda -\mu&=y-3 \\ \mu&=z+1 \end{align}\right.\]

Ahora, sacamos la matriz ampliada de este sistema e igualamos su determinante a cero:

\[\begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix}=0\]

Resolvemos el determinante:

\[\begin{align} \begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix} &=-1(-z-1-y+3)-1(2z+2-x+1)=\\&=x+y-z-5 \end{align}\]

Igualando el determinante a cero, obtenemos la ecuación general del plano, que es:

\[x+y-z-5=0\]

Ecuación del plano que pasa por tres puntos: ejercicios resueltos

Otra posibilidad es que tengas tres puntos del espacio y quieras formar un plano a partir de ellos. Aunque parezca complicado, esto es realmente sencillo: solo tienes que convertir dos de los puntos en vectores, que utilizarás como vectores directores del plano.

Por tanto, si tenemos los puntos \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\) y \(C(c_1,c_2,c_3)\), podemos crear el plano que pasa por \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).

Escribe la ecuación general del plano que pasa por los puntos \(A(2,-1,0)\), \(B(1,3,2)\) y \(C(0,-1-1)\).

Solución:

Podemos decir que el plano pasa por el punto \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) (aunque puedes elegir cualquiera de los tres puntos y crear otros vectores directores distintos, siempre que utilices los puntos dados).

Los vectores directores son:

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,4,2)\]

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,0,-1)\]

La ecuación general del plano se halla, entonces, a partir del siguiente determinante:

\[\begin{vmatrix} -1 & -2 & x-2 \\ 4 & 0 & y+1 \\ 2 & -1 & z \end{vmatrix}=-4x-5y+8z+3\]

Si igualamos el determinante a cero, obtenemos la ecuación general del plano:

\[\pi:\space 4x+5y-8z=3\]

Ecuación normal del plano

Una característica importante de la ecuación general del plano es que a partir de ella podemos obtener un vector normal al plano.

Si la ecuación general del plano tiene la forma:

\[\pi:\space Ax+By+Cz+D=0\]

Un vector normal al plano es decir, perpendicular a todos los vectores contenidos en el plano tiene la forma:

\[\vec{n}_\pi=(A,B,C)\]

Por tanto, si tienes la ecuación general de un plano, con los coeficientes de las incógnitas puedes formar un vector normal al plano, sin necesidad de hacer ningún cálculo.

Recuerda esto, puesto que te será muy útil en temas posteriores como el cálculo de ángulos y las distancias con planos y rectas.

De manera similar, podemos escribir la ecuación de un plano a partir de un vector normal al mismo y un punto por el que pasa el plano. Siendo \(\vec{n}=(A,B,C)\) el vector normal que pasa por el punto \(P(a_1,a_2,a_3)\), podemos formar el plano como:

\[A(x-a_1)+B(y-a_2)+C(z-a_3)=0\]

Esta ecuación se conoce como ecuación normal del plano.

Halla la ecuación normal de un plano que pasa por el punto \(P(1,3,-2)\) y que tiene vector normal \(\vec{n}=(3,-1,1)\).

Solución:

Como tenemos un punto por el que pasa y el vector normal, podemos utilizar directamente la ecuación normal del plano:

\[3(x-1)-(y-3)+(z-2)=0\]

Si desarrollamos esta ecuación, llegamos a la ecuación general del plano:

\[3x-3-y+3+z-2=0\]

Finalmente:

\[3x+y+z-2=0\]

Ecuaciones del plano en el espacio - Puntos clave

  • Un plano es un objeto tridimensional que queda definido si conocemos un punto que pertenezca al plano y dos vectores directores que sean linealmente independientes.
  • La ecuación vectorial del plano es: \[\vec{p}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\]
  • Las ecuaciones paramétricas del plano son: \[\left\{ \begin{array}\, x=a_1+\lambda u_1 + \mu v_1\\ y=a_2 +\lambda u_1 + \mu v_2 \\ z=a_3+\lambda u_3+ \mu v_3 \end{array}\right.\]
  • La ecuación general del plano se obtiene resolviendo el siguiente determinante e igualándolo a cero: \[\begin{vmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{vmatrix}=0\]
  • Si tenemos los puntos \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\) y \(C(c_1,c_2,c_3)\), podemos crear el plano que pasa por \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).
  • Un vector normal al plano es decir, perpendicular a todos los vectores contenidos en el planotiene la forma:

    \[\vec{n}_\pi=(A,B,C)\]

  • La ecuación normal del plano tiene la forma: \[A(x-a_1)+B(y-a_2)+C(z-a_3)=0\]

Preguntas frecuentes sobre Ecuación del plano en el espacio

Un plano es un objeto tridimensional, que queda definido, si conocemos un punto que pertenezca al plano y dos vectores directores que sean linealmente independientes.

  • La ecuación vectorial del plano se calcula a partir de un punto y dos vectores directores. 
  • Las ecuaciones paramétricas se calculan de la misma manera, así como la ecuación general. 
  • La ecuación normal del plano se calcula a partir de un punto y un vector normal al plano.

La ecuación vectorial del plano se calcula a partir de un punto A y dos vectores directores u y v. 


La ecuación tiene la forma:

(x,y,z)=(a1,a2,a3)+ß(u1,u2,u3)+µ(v1,v2,v3).

Las ecuaciones paramétricas del plano se pueden calcular a partir de la ecuación vectorial. Son tres ecuaciones en las que están despejadas las incógnitas:

  • x=a1+ßu1+µv1
  • y=a2+ßu2+µv2
  • z=a3+ßu3+µv3

Cuestionario final de Ecuación del plano en el espacio

Pregunta

Un plano expresado en ecuación general, ¿cuántas ecuaciones tiene?

Mostrar respuesta

Answer

Una.

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Pregunta

Un plano expresado en ecuación paramétrica, ¿cuántas ecuaciones tiene?

Mostrar respuesta

Answer

Tres.

Show question

Pregunta

¿Qué elementos necesitas para escribir la ecuación vectorial de un plano?

Mostrar respuesta

Answer

Un punto y dos vectores directores.

Show question

Pregunta

¿Cuántos parámetros independientes tienen las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano?

Mostrar respuesta

Answer

Dos parámetros, normalmente usamos las letras \(\lambda\) y \(\mu\).

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Pregunta

¿Cómo calculamos la ecuación general de un plano?

Mostrar respuesta

Answer

A partir del determinante de la matriz ampliada asignada al sistema de ecuaciones del plano.

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Pregunta

¿Cómo se calcula la ecuación de un plano que pasa por 3 puntos?

Mostrar respuesta

Answer

Si tenemos los puntos \(A, B, C\), podemos crear los vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) y utilizar el punto \(A\) para escribir la ecuación del plano.

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Pregunta

¿Cuál de los siguientes vectores es un vector normal al plano \(3x+4y-z=5\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\vec{n}=(3,4,-1)\).

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Pregunta

Dada la ecuación del plano \(2x-4y-2z-3=0\), ¿cuál es un vector normal a este plano?

Mostrar respuesta

Answer

\(\vec{n}=(1,-2,-1)\).

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Pregunta

Dada la ecuación del plano \(x+2y-z=1\) calcula el punto que pasa por \(x=1\) e \(y=-1\).

Mostrar respuesta

Answer

Sustituimos los valores de las incógnitas en la ecuación del plano y despejamos la \(z\):

\(z=-2\)

Por lo que el punto es: \(P(1,-1,-2)\).

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Pregunta

Determina la ecuación general del plano que pasa por el punto \(A(2,3,0)\) y tiene vectores directores \(\vec{u}=(-1,3,2)\) y \(\vec{v}=(2,-4,1)\). 

Mostrar respuesta

Answer

\(11x+5y-2z-37=0\).

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Pregunta

¿Puedes escribir la ecuación de un plano teniendo sólo las ecuaciones de dos rectas?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, porque puedes sacar un vector director de cada una de las rectas y un punto de una de las dos, y con estos elementos formar el plano.

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Pregunta

Dos planos que se cortan, ¿qué objeto forman?

Mostrar respuesta

Answer

Una recta.

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Pregunta

¿Pueden tres planos cortarse solo en un punto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, cuando los tres planos son ortogonales entre sí. Por ejemplo los planos \(xy\), \(xz\) e \(yz\) son ortogonales entre sí y se cortan solo en un punto, en el origen de coordenadas.

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Pregunta

Si tienes dos ecuaciones generales de dos planos y resuelves el sistema formado por ellas, ¿qué obtienes?

Mostrar respuesta

Answer

La ecuación de una recta.

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Pregunta

¿Puedes escribir la ecuación de un plano con solo un punto y un vector?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, puedes utilizar el vector como vector normal al plano y escribir la ecuación normal del plano.

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