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Vectores base
Seguro has visto que los vectores en dos dimensiones se pueden expresar como \(u=ai+bj\). Los índices \(i, j\) son conocidos como vectores base unitarios, ya que su módulo es la unidad.
\(u=i+j+k\), por ejemplo, es un vector unitario en el espacio de tres dimensiones. Lo podemos ver, en la gráfica siguiente, definido por sus bases unitarias en azul.
Además de lo anterior, los vectores \(i, j, k\) forman una base.
Los vectores base son vectores linealmente independientes entre sí. Pueden usarse para construir cualquier otro vector en ese espacio.
De este modo, una base es el bloque con el cual puedes construir cualquier vector en el espacio. Veamos un ejemplo sencillo:
Construye el vector \(v=(3,2)\), usando una base.
Solución:En primer lugar, debemos tener dos vectores en dos dimensiones que sean independientes; es decir, que no puedan ser obtenidos sumando, multiplicando o restando del otro.
Estos vectores son: \(a=(1i+0j)\) y \(b=(0i+1j)\)
No se puede obtener un vector del otro, ya que sus componentes están en distintas direcciones.
Lo siguiente es obtener el vector \(v\), usando estos dos. Para esto primero multiplicamos \(a\) por tres y también \(b\) por dos; esto nos da: \(a=(3i+0j)\) y \(b=(0i+2j)\).
Ahora, si sumamos ambos, obtenemos: \((a+b)=(3i+2j)\)
Un punto importante acerca de cómo las bases puedan expresar cualquier vector es que los vectores en este espacio son, de hecho, linealmente dependientes de su base. Los únicos vectores linealmente independientes son la base.
Pero no solo los vectores unitarios forman una base, de hecho cualquier grupo de vectores independiente forma una base en el sistema de coordenadas en el cual se encuentra.
Pongamos otro ejemplo:
Se tiene el vector \(v\), que va del origen \((0, 0)\) al punto \((5,10)\). Este vector se puede expresar en términos de los vectores unitarios \((i, j)\), que forman la base ortonormal en dos dimensiones o el plano \((x, y)\).
Si se pueden generar más bases que no están compuestas de vectores unitarios, encuentra una base distinta a los vectores \(i\) y \(j\) para expresar el vector \(v\).
Solución:
En primer lugar, no podemos usar los vectores unitarios; pero, aun así, podemos usar otros vectores. Estos vectores deben ser linealmente independientes uno del otro.
Probemos con un vector en la dirección \(x\), cuyo valor es cinco, y un vector en la dirección \(y\), cuyo valor es cinco; esto son:
\[a=5i\]
\[b=5j\]
Se cumple que ninguno es un vector unitario; además, ambos son independientes, el uno del otro.
De este modo, nuestra base está formada por los vectores base \(a, b\).
\[\text{base}=(5i, 5j)\]
A cada valor de cada coordenada le asignamos un nuevo nombre: \(5i=u_1\) y \(5j=u_2\).
Ahora, debemos expresar el vector \(v=5i+10j\), usando esta base: \[v=(u_1,2u_2)\]
Si tenemos definidos nuestros vectores base, el vector inicial tiene las siguientes coordenadas con respecto a esta base: \[v=(1,2)\]
Características de las bases
Hemos visto que las bases no pueden ser obtenidas por operaciones entre sí, que podemos expresar cualquier valor del espacio donde estas bases están y que no hay necesidad de que la base esté formada por los vectores unitarios.
Debido a lo que mencionamos, podemos resumir en estas tres características importantes de una base:
Está formada por vectores linealmente independientes.
Se expande por todo el espacio donde se encuentra.
No es única.
Sistema de coordenadas y bases
Las bases son importantes ya que componen el sistema de coordenadas que conocemos, también conocido como sistema cartesiano.
Puedes leer más sobre él en su artículo Sistemas de coordenadas.
Las bases definen los vectores que componen los otros vectores en el espacio.
En el caso de el espacio cartesiano o rectangular, se usan los vectores unitarios \((i, j, k)\).
Otros sistemas de coordenadas son los siguientes:
- Sistema cilíndrico: \((r, \phi, z)\).
- Sistema esférico: \(r, \phi, \theta\).
En el caso de los ángulos \(\phi, \theta\), estos son medidos en grados o radianes.
Vectores base
Las bases de los distintos sistemas de coordenadas definen sus vectores base. Para los distintos sistemas de coordenadas, estos son:
Cartesiano: \(u=1i, v=1j, w=1k\).
Cilíndrico: \(u=1r, v= \phi, w=1z \).
Esférico: \(u=1r, v= \phi, \theta\).
Sistema ortonormal
Otro nombre que se le da al sistema de coordenadas cartesiano es sistema ortonormal. El nombre viene de que los vectores son normales el uno al otro; es decir, cada vector está a \(90º\). Esto lo podemos ver en la siguiente gráfica, en dos dimensiones, para el sistema cartesiano.
Base ortonormal
Como ya mencionamos, las bases del sistema ortonormal son, de hecho, los vectores unitarios \((i, j, k)\). Se pueden apreciar en el gráfico siguiente:
Fig. 3: Vectores de la base ortonormal.
Bases y coordenadas
Una aplicación importante de las bases, es que estas pueden ser usadas para expresar cualquier coordenada en el espacio donde se encuentran. Por ejemplo, teniendo una coordenada \((x, y)\) en el espacio de dos dimensiones \(\mathbb R^2\), se puede usar la base unitaria \((i+j)\) para ubicar el punto en el espacio y, además, calcular su posición desde el origen.
Veamos un ejemplo de esto:
Se tiene la coordenada \(A=(3, 4)\) en el espacio de \(\mathbb R^2\).
Usa los vectores unitarios para expresar un vector hasta la posición de \(A\), y calcula la distancia entre el origen y este punto.
Solución:Primero, tomemos la base unitaria \(u=(1i+0j)\) y \(v=(0i+1j)\), multipliquemos el primero por tres y el segundo por dos. Esto nos da:
\(u=3(1i+0j)=3i\) y \(v=4(0i+1j)=4j\)
Si, sumamos los vectores, tenemos \[a=u+v=3i+4j\] para saber la distancia, lo que debemos hacer es encontrar el módulo de este vector con la fórmula: \[m=\sqrt{x^2+y^2}\].
Por tanto, se tiene:
\[m=\sqrt{3^2+4^2}\]
\[m=\sqrt{25}\]
\[m=5\]
En este caso, la distancia del origen al punto es \(d=5\).
Bases y coordenadas - Puntos clave
- Los vectores base son vectores independientes entre sí. Pueden usarse para construir cualquier otro vector en ese espacio.
- Los vectores unitarios ortonormales son \(i, j, l\) y su valor es uno.
- Podemos expresar tres características importantes de una base, que son:
- Está formada por vectores linealmente independientes.
- Se expande por todo el espacio donde se encuentra.
- No es única.
- Las bases de los distintos sistemas de coordenadas definen sus vectores base; para los distintos sistemas de coordenadas, estos son:
- Cartesiano: \(u=1i, v=1j, w=1k\).
- Cilíndrico: \(u=1r, v= \phi, w=1z \).
- Esférico: \(u=1r, v=\phi, \theta\).
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Preguntas frecuentes sobre Bases y coordenadas
¿Qué son los vectores base estándar?
Los vectores base estándar son generalmente los que conocemos como los vectores de la base canónica; estos son (i, j, k).
¿Qué es un sistema de referencia y cuál es un ejemplo?
Un sistema de referencia es un sistema abstracto de coordenadas. Es decir: un sistema que es creado, posee un origen, una escala y una orientación. Este sistema es usado para ubicar objetos y puntos en el espacio, además de hacer mediciones.
El sistema cartesiano que usas para graficar vectores es un ejemplo, con origen (0,0,0), ejes x, y, z y vectores unitarios i y j.
¿Cuáles son las ecuaciones de los ejes coordenados?
Las ecuaciones de los ejes, en forma simplificada, son:
- Para el eje x: y=0, z=0.
- Para el eje y: x=0, z=0.
- Para el eje z: x=0, y=0.
¿Qué es una base ortonormal?
Una base ortonormal es aquella que está formada por vectores linealmente independientes, cuyo módulo es la unidad y cuenta con vectores (todos) que son perpendiculares entre sí.
La base canónica formada por los vectores (i,j,k) es una base ortonormal.
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