Bases y coordenadas

Hablamos de los sistemas de coordenadas en su artículo correspondiente. Ahora, profundizaremos en dos de los elementos más importantes de ese sistema: las bases y las coordenadas

Bases y coordenadas Bases y coordenadas

Crea materiales de aprendizaje sobre Bases y coordenadas con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis
Tarjetas de estudio
Índice de temas

    Vectores base

    Seguro has visto que los vectores en dos dimensiones se pueden expresar como \(u=ai+bj\). Los índices \(i, j\) son conocidos como vectores base unitarios, ya que su módulo es la unidad.

    \(u=i+j+k\), por ejemplo, es un vector unitario en el espacio de tres dimensiones. Lo podemos ver, en la gráfica siguiente, definido por sus bases unitarias en azul.

    Bases y coordenadas vector unitario 3D StudySmarter

    Fig. 1: Vector unitario en tres dimensiones, definido por sus bases \(i\), \(j\), \(k\).

    Además de lo anterior, los vectores \(i, j, k\) forman una base.

    Los vectores base son vectores linealmente independientes entre sí. Pueden usarse para construir cualquier otro vector en ese espacio.

    De este modo, una base es el bloque con el cual puedes construir cualquier vector en el espacio. Veamos un ejemplo sencillo:

    Construye el vector \(v=(3,2)\), usando una base.

    Solución:

    En primer lugar, debemos tener dos vectores en dos dimensiones que sean independientes; es decir, que no puedan ser obtenidos sumando, multiplicando o restando del otro.

    Estos vectores son: \(a=(1i+0j)\) y \(b=(0i+1j)\)

    No se puede obtener un vector del otro, ya que sus componentes están en distintas direcciones.

    Lo siguiente es obtener el vector \(v\), usando estos dos. Para esto primero multiplicamos \(a\) por tres y también \(b\) por dos; esto nos da: \(a=(3i+0j)\) y \(b=(0i+2j)\).

    Ahora, si sumamos ambos, obtenemos: \((a+b)=(3i+2j)\)

    Un punto importante acerca de cómo las bases puedan expresar cualquier vector es que los vectores en este espacio son, de hecho, linealmente dependientes de su base. Los únicos vectores linealmente independientes son la base.

    Pero no solo los vectores unitarios forman una base, de hecho cualquier grupo de vectores independiente forma una base en el sistema de coordenadas en el cual se encuentra.

    Pongamos otro ejemplo:

    Se tiene el vector \(v\), que va del origen \((0, 0)\) al punto \((5,10)\). Este vector se puede expresar en términos de los vectores unitarios \((i, j)\), que forman la base ortonormal en dos dimensiones o el plano \((x, y)\).

    Si se pueden generar más bases que no están compuestas de vectores unitarios, encuentra una base distinta a los vectores \(i\) y \(j\) para expresar el vector \(v\).

    Solución:

    En primer lugar, no podemos usar los vectores unitarios; pero, aun así, podemos usar otros vectores. Estos vectores deben ser linealmente independientes uno del otro.

    Probemos con un vector en la dirección \(x\), cuyo valor es cinco, y un vector en la dirección \(y\), cuyo valor es cinco; esto son:

    \[a=5i\]

    \[b=5j\]

    Se cumple que ninguno es un vector unitario; además, ambos son independientes, el uno del otro.

    De este modo, nuestra base está formada por los vectores base \(a, b\).

    \[\text{base}=(5i, 5j)\]

    A cada valor de cada coordenada le asignamos un nuevo nombre: \(5i=u_1\) y \(5j=u_2\).

    Ahora, debemos expresar el vector \(v=5i+10j\), usando esta base: \[v=(u_1,2u_2)\]

    Si tenemos definidos nuestros vectores base, el vector inicial tiene las siguientes coordenadas con respecto a esta base: \[v=(1,2)\]

    Características de las bases

    Hemos visto que las bases no pueden ser obtenidas por operaciones entre sí, que podemos expresar cualquier valor del espacio donde estas bases están y que no hay necesidad de que la base esté formada por los vectores unitarios.

    Debido a lo que mencionamos, podemos resumir en estas tres características importantes de una base:

    1. Está formada por vectores linealmente independientes.

    2. Se expande por todo el espacio donde se encuentra.

    3. No es única.

    Sistema de coordenadas y bases

    Las bases son importantes ya que componen el sistema de coordenadas que conocemos, también conocido como sistema cartesiano.

    Puedes leer más sobre él en su artículo Sistemas de coordenadas.

    Las bases definen los vectores que componen los otros vectores en el espacio.

    En el caso de el espacio cartesiano o rectangular, se usan los vectores unitarios \((i, j, k)\).

    Otros sistemas de coordenadas son los siguientes:

    1. Sistema cilíndrico: \((r, \phi, z)\).
    2. Sistema esférico: \(r, \phi, \theta\).

    En el caso de los ángulos \(\phi, \theta\), estos son medidos en grados o radianes.

    Vectores base

    Las bases de los distintos sistemas de coordenadas definen sus vectores base. Para los distintos sistemas de coordenadas, estos son:

    1. Cartesiano: \(u=1i, v=1j, w=1k\).

    2. Cilíndrico: \(u=1r, v= \phi, w=1z \).

    3. Esférico: \(u=1r, v= \phi, \theta\).

    Sistema ortonormal

    Otro nombre que se le da al sistema de coordenadas cartesiano es sistema ortonormal. El nombre viene de que los vectores son normales el uno al otro; es decir, cada vector está a \(90º\). Esto lo podemos ver en la siguiente gráfica, en dos dimensiones, para el sistema cartesiano.

    Bases y coordenadas sistema ortonormal StudySmarter

    Fig. 2: Vectores unitarios i y j a noventa grados el uno del otro.

    Base ortonormal

    Como ya mencionamos, las bases del sistema ortonormal son, de hecho, los vectores unitarios \((i, j, k)\). Se pueden apreciar en el gráfico siguiente:

    Bases y coordenadas base ortonormal StudySmarterFig. 3: Vectores de la base ortonormal.

    Bases y coordenadas

    Una aplicación importante de las bases, es que estas pueden ser usadas para expresar cualquier coordenada en el espacio donde se encuentran. Por ejemplo, teniendo una coordenada \((x, y)\) en el espacio de dos dimensiones \(\mathbb R^2\), se puede usar la base unitaria \((i+j)\) para ubicar el punto en el espacio y, además, calcular su posición desde el origen.

    Veamos un ejemplo de esto:

    Se tiene la coordenada \(A=(3, 4)\) en el espacio de \(\mathbb R^2\).

    Usa los vectores unitarios para expresar un vector hasta la posición de \(A\), y calcula la distancia entre el origen y este punto.

    Solución:

    Primero, tomemos la base unitaria \(u=(1i+0j)\) y \(v=(0i+1j)\), multipliquemos el primero por tres y el segundo por dos. Esto nos da:

    \(u=3(1i+0j)=3i\) y \(v=4(0i+1j)=4j\)

    Si, sumamos los vectores, tenemos \[a=u+v=3i+4j\] para saber la distancia, lo que debemos hacer es encontrar el módulo de este vector con la fórmula: \[m=\sqrt{x^2+y^2}\].

    Por tanto, se tiene:

    \[m=\sqrt{3^2+4^2}\]

    \[m=\sqrt{25}\]

    \[m=5\]

    En este caso, la distancia del origen al punto es \(d=5\).

    Bases y coordenadas - Puntos clave

    • Los vectores base son vectores independientes entre sí. Pueden usarse para construir cualquier otro vector en ese espacio.
    • Los vectores unitarios ortonormales son \(i, j, l\) y su valor es uno.
    • Podemos expresar tres características importantes de una base, que son:
      1. Está formada por vectores linealmente independientes.
      2. Se expande por todo el espacio donde se encuentra.
      3. No es única.
    • Las bases de los distintos sistemas de coordenadas definen sus vectores base; para los distintos sistemas de coordenadas, estos son:
      1. Cartesiano: \(u=1i, v=1j, w=1k\).
      2. Cilíndrico: \(u=1r, v= \phi, w=1z \).
      3. Esférico: \(u=1r, v=\phi, \theta\).
    Preguntas frecuentes sobre Bases y coordenadas

    ¿Qué son los vectores base estándar?

    Los vectores base estándar son generalmente los que conocemos como los vectores de la base canónica; estos son (i, j, k).

    ¿Qué es un sistema de referencia y cuál es un ejemplo?

    Un sistema de referencia es un sistema abstracto de coordenadas. Es decir: un sistema que es creado, posee un origen, una escala y una orientación. Este sistema es usado para ubicar objetos y puntos en el espacio, además de hacer mediciones.


    El sistema cartesiano que usas para graficar vectores es un ejemplo, con origen (0,0,0), ejes x, y, z y vectores unitarios i y j.

    ¿Cuáles son las ecuaciones de los ejes coordenados?

    Las ecuaciones de los ejes, en forma simplificada, son:

    • Para el eje x: y=0, z=0.
    • Para el eje y: x=0, z=0.
    • Para el eje z: x=0, y=0.

    ¿Qué es una base ortonormal?

    Una base ortonormal es aquella que está formada por vectores linealmente independientes, cuyo módulo es la unidad y cuenta con vectores (todos) que son perpendiculares entre sí. 


    La base canónica formada por los vectores (i,j,k) es una base ortonormal.

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 7 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner