Media geométrica: Conceptos, Ejemplos

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Definición de media geométrica

Lamedia geométrica se define como la tasa media de rendimiento de un conjunto de valores que se calcula utilizando los productos de sus términos.

Supongamos que tenemos un conjunto de n números. La media geométrica consiste en multiplicar el conjunto de números y luego tomar la raíz ^enésima positiva. Así, si tenemos dos números los multiplicaríamos y luego tomaríamos la raíz cuadrada positiva, si tuviéramos tres números los multiplicaríamos y luego tomaríamos la raíz cúbica positiva, si tuviéramos cuatro números los multiplicaríamos y luego tomaríamos la raíz cuarta positiva y así sucesivamente.

Fórmula de la media geométrica

Definición de media geométrica

Para el conjunto de n números $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ la fórmula de la media geométrica es la siguiente:

${({\prod x_{i}}_{i = 1}^{n})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} . . . x_{n}}$

Ejemplos de media geométrica

Supongamos que tenemos el conjunto de dos números 9 y 4. Para hallar la media geométrica, primero multiplicaríamos 9 y 4 para obtener 36 y, como tenemos dos números, sacaríamos la raíz cuadrada de 36 para obtener seis. Matemáticamente, podemos escribir ${(9 \times 4)}^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$ . Por tanto, la media geométrica es 6.

Supongamos que tenemos el conjunto de los números 4, 8 y 16. Para calcular la media geométrica primero multiplicamos 4, 8 y 16 para obtener 512. Como son tres números, sacamos la raíz cúbica. Matemáticamente, podemos escribir ${(4 \times 8 \times 16)}^{\frac{1}{3}} = {(512)}^{\frac{1}{3}} = 8$ . Por tanto, 8 es la media geométrica de nuestros números.

Supongamos que tenemos el conjunto de los números 1, 2, 3, 4 y 5. Para hallar la media geométrica, primero multiplicamos 1, 2, 3, 4 y 5 para obtener 120. Como tenemos cinco números, tomamos la raíz quinta de 120, que es 2,61 con 2 decimales. Matemáticamente, podemos escribir ${(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)}^{\frac{1}{5}} = (120)^{\frac{1}{5}} = 2.61$ . Por tanto, la media geométrica es 2,61.

La media geométrica en un triángulo

El cálculo de la media geométrica puede ser especialmente útil en geometría. Considera el siguiente triángulo ABCD:

La media geométrica en un triángulo, Diagrama explicativo del teorema de la media geométrica, Jordan Madge Triángulo de la media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

La altitud de un triángulo es una línea trazada desde el vértice concreto de un triángulo que forma una línea perpendicular a la base del triángulo. Así que en este triángulo, la altitud es la recta AC. También tenemos el lado izquierdo de BD, que es BC, así como el lado derecho de BD, que es CD.

Ahora, observa que si "separamos" el triángulo anterior, obtenemos dos triángulos más pequeños. También observamos que si giramos el triángulo de la izquierda, simplemente tenemos una versión más pequeña del triángulo de la derecha. Esto se muestra en el diagrama siguiente.

Media geométrica, Explicación, Jordan Madge Explicación de la media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ahora, fíjate en que los dos triángulos BAC y ADC son matemáticamente similares, por lo que podemos utilizar razones para hallar las longitudes que faltan. Nombrando el lado izquierdo a, el lado derecho b, y la altura x, tenemos lo siguiente:

$\frac{l e f t}{a l t i t u d e} = \frac{a l t i t u d e}{r i g h t} \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{x}{b} \Rightarrow a b = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{a b}$

Por tanto, la altitud x puede calcularse hallando la media geométrica de a y b. Esto se conoce como teorema de la media geométrica de los triángulos.

La Media Geométrica en un Triángulo, Triángulo con Altitud Perdida por Encontrar, Jordan Madge Ejemplo de media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

En el triángulo ABCD, BC=6 cm, CD=19 cm y AC= x cm, como se muestra arriba. Halla el valor de la altitud x.

Solución:

Utilizando los resultados del teorema de los medios geométricos para triángulos, encontramos que id="5164931" role="math" $x = \sqrt{6 \times 19} = \sqrt{114} = 10.7$ cm (1. d.p)

Ejemplo de media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

En el triángulo ABCD, BC=4 cm, CD=9 cm y AC= x cm como se muestra arriba. Halla el valor de la altitud x.

Solución:

Utilizando los resultados del teorema de la media geométrica para triángulos, obtenemos que id="5164932" role="math" $x = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$ cm

Media geométrica frente a media aritmética

Cuando hablamos de la media de un conjunto de números, normalmente nos referimos a la media aritmética. La media aritmética es cuando tomamos la suma del conjunto de números y luego la dividimos entre cuántos números tenemos.

Fórmula de la media aritmética

La fórmula de la media aritmética es la siguiente:

$A = \frac{1}{n} {\sum a_{i}}_{i = 1}^{n}$

Aquí, A se define como el valor de la media aritmética, n es cuántos valores hay en el conjunto y $a_{i}$ son los números del conjunto.

Halla la media aritmética y geométrica de los números 3, 5 y 7.

Solución:

Para obtener la media aritmética, primero sumaríamos 3, 5 y 7 para obtener 15. Luego, como tenemos tres números en nuestro conjunto, dividiríamos 15 entre 3 para obtener 5. Matemáticamente, podemos escribir:

$A = \frac{1}{3} (3 + 5 + 7) = 5$

Para obtener la media geométrica, primero multiplicaríamos 3, 5 y 7 para obtener 105 y luego sacaríamos la raíz cúbica de 105 (ya que tenemos tres números en nuestro conjunto). La raíz cúbica de 105 es 4,72 a 2. d.p y, por tanto, la media geométrica de los números es 4,72. Matemáticamente, podemos escribir:

$G = {(3 \times 5 \times 7)}^{\frac{1}{3}} = (105)^{\frac{1}{3}} = 4.72$

Observa que la media aritmética de 5 está bastante próxima a la media geométrica de 4,72. Ahora exploraremos las distintas razones por las que podemos utilizar la media geométrica en lugar de la media aritmética.

Diferencias entre la media geométrica y la aritmética

Hay varias diferencias clave entre la media geométrica y la aritmética. La primera diferencia, y la más obvia, es el hecho de que se calculan utilizando dos fórmulas distintas. En el ejemplo anterior, obtuvimos una media aritmética de 5 y una media geométrica de 4,72. Es importante señalar que la media geométrica siempre es menor o igual que la media aritmética. Por ejemplo, si tomamos el conjunto único $\{2\}$ como sólo hay un número en este conjunto, la media geométrica es 2 y la media aritmética también es 2.

Además, la media aritmética puede utilizarse tanto para números positivos como negativos. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la media geométrica; la media geométrica sólo puede utilizarse para un conjunto de números positivos. Esto se debe a que pueden producirse errores en eventualidades como sacar la raíz cuadrada de números negativos.

Además, utilizamos la media geométrica y la aritmética por motivos distintos. La media aritmética tiene multitud de usos cotidianos, sin embargo, la media geométrica se utiliza más cuando existe algún tipo de correlación entre el conjunto de números. Por ejemplo, en finanzas, la media geométrica se utiliza para calcular los tipos de interés. La media aritmética puede ser útil para hallar la temperatura media de una semana.

En realidad, existe un tercer tipo de media, denominada media armónica. La media armónica se calcula elevando al cuadrado la media geométrica y dividiéndola por la media aritmética. Este tipo de media se utiliza habitualmente en el aprendizaje automático.

Media geométrica - Puntos clave

La media geométrica consiste en multiplicar el conjunto de números y sacar laraíz ^enésima positiva .
Se puede representar mediante la fórmula ${({\prod x_{i}}_{i = 1}^{n})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} . . . x_{n}}$ .
Calcular la media geométrica puede ser especialmente útil en geometría.
La altitud de un triángulo es una línea trazada desde el vértice particular de un triángulo que forma una línea perpendicular a la base del triángulo.
El teorema de la media geométrica de los triángulos puede utilizarse para calcular la altitud de un triángulo.
La media geométrica es siempre menor o igual que la media aritmética.
La media aritmética se representa mediante la fórmula $A = \frac{1}{n} {\sum a_{i}}_{i = 1}^{n}$ .
La media geométrica se utiliza más cuando existe algún tipo de correlación entre el conjunto de números. Por ejemplo, al calcular los tipos de interés.

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Preguntas frecuentes sobre Media geométrica

¿Qué es la media geométrica?

La media geométrica es una medida estadística que se utiliza para encontrar el promedio multiplicativo de un conjunto de números.

¿Cómo se calcula la media geométrica?

La media geométrica se calcula multiplicando todos los valores del conjunto de datos y luego tomando la raíz n-ésima del producto, donde n es el número de valores.

¿Cuál es la diferencia entre media aritmética y media geométrica?

La diferencia es que la media aritmética suma valores y luego divide por la cantidad de datos, mientras que la media geométrica multiplica los valores y toma la raíz n-ésima.

¿Cuándo se utiliza la media geométrica?

La media geométrica se usa cuando los datos varían multiplicativamente, como en tasas de crecimiento o índices financieros.

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