Suma de vectores

Definición de la suma de vectores

El vector que se forma por la suma de vectores se denomina vector resultante, normalmente denotado como $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$. La forma de sumar esos vectores puede variar en función de si se dan como puntos o en representación geométrica. Mientras que la suma puede hacerse con matemáticas para los puntos, es práctico utilizar la ley del paralelogramo cuando están representados geométricamente.

Fórmula de adición de vectores

Supongamos que A y B son puntos del plano cuyas coordenadas son $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ respectivamente. Entonces, la fórmula de suma de vectores para $\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ puede escribirse como

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$

Propiedades de la suma vectorial

• Conmutatividad: Cambiar el orden de los vectores no cambia la suma. $A+B=B+A$

• Asociatividad: Cambiar la agrupación de las sumas no modifica la suma. $A+(B+C)=(A+B)+C$

• Elemento cero: La suma de un punto con cero es igual al punto. Si el elemento cero es $O=(0,0)$entonces $A+O=A$

• Inverso aditivo: Si un punto A es $A=(a_1,a_2)$entonces su inverso es $-A=(-a_1,-a_2)$. Cuando se suman estos vectores, la suma da cero.

• $A+(-A)=(a_1,a_2)+(-a_1,-a_2)=(a_1-a_1,a_2-a_2)=(0,0)$

Suma gráfica de vectores

¿Cómo puede realizarse gráficamente la suma de vectores? A continuación se indican los distintos métodos.

Ley del triángulo de la suma vectorial

La ley del triángulo es una ley de suma de vectores. También se conoce como método de la cabeza a la cola, porque las cabezas y las colas de los vectores implicados se colocan una encima de la otra mientras se intenta hallar su suma. La siguiente figura muestra el aspecto de la cabeza y la cola de un vector.

Fig.1 Cabeza y cola de un vector

Veamos cómo se utiliza esta ley. Considera los vectores A y B que aparecen a continuación.

Fig.2 Dos vectores A y B

Para sumar los dos vectores utilizando el método de la cabeza a la cola, sigue los siguientes procedimientos.

1. Coloca la cola del segundo vector sobre la cabeza del primero.
2. Para hallar la suma, dibuja un vector resultante que una la cola del primer vector con la cabeza del segundo.

Fig.3 Suma de dos vectores

En la figura anterior, $\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{C}$.

Si hay un tercer vector, procede a colocar la cola del tercer vector en la cabeza del segundo vector. El vector resultante se dibujará para unir la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector.

La ley del paralelogramo de la suma de vectores

Según la ley del paralelogramo, si dos vectores pueden representarse como dos lados adyacentes a partir de un vértice común y luego completarse como si formaran un paralelogramo, entonces el vector resultante puede hallarse a partir de la diagonal de ese paralelogramo.

Para encontrar $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$:

1. Junta las colas de los vectores

2. Completa el paralelogramo dibujando los dos lados paralelos.

3. Una vez completado el paralelogramo, dibuja la diagonal partiendo del vértice de los vectores originales, como se ve en la figura siguiente.

Fig.4 Suma de dos vectores

La ley del paralelogramo también se puede utilizar cuando te dan vectores definidos como coordenadas.

Para los puntos $A=(2,3)$ y $B=(1,3)$se puede hallar la suma utilizando la ley del paralelogramo, como se ve en la figura 2.

Sustracción de vectores

Para entender la resta, primero hay que comprender qué es el negativo de un vector. Digamos que existe un vector A. El negativo de este vector se define como -A. El negativo del vector A tiene la misma magnitud que el vector A, sin embargo, están en direcciones opuestas.

Fig. 6 La diferencia entre el vector A y el negativo del vector A

Ley del paralelogramo para la resta de vectores

Para hallar $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}$hay que pensar que $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$. Teniendo esto en cuenta, obtenemos la siguiente figura:

Fig.7 Ley del paralelogramo para la resta de vectores

Ejemplos de suma de vectores

Veamos algunos ejemplos.

Pongamos otro ejemplo.

Veamos otro ejemplo.