Distancia y puntos medios

Distancia y puntos medios en el plano de coordenadas

En el plano de coordenadas, los puntos se definen por una $x$ coordenada y una coordenada $y$ que indican a qué distancia y a qué altura del plano de coordenadas se encuentra la recta, respectivamente. Los puntos de coordenadas se escriben de la forma $(x,y)$.

Gráfica de los puntos (2, 1) y (4, 3) - StudySmarter Originals

En la figura anterior se muestran los puntos de coordenadas $(2,1)$ y $\left(4,3\right)$. Dibujemos un segmento de recta entre ellos en la figura siguiente:

Un segmento de recta que une los puntos (2, 1) y (4, 3) - StudySmarter Originals

El punto medio de este segmento de recta es el punto medio, y la longitud del segmento de recta describe la distancia entre los dos puntos. ¿Cómo podemos determinar el punto medio de la recta y la distancia entre los dos puntos? Hay fórmulas que pueden ayudarnos a resolver estos detalles. Veámoslas.

Distancia y puntos medios: Fórmula

En este apartado veremos dos fórmulas:

• La fórmula del punto medio de un segmento de recta
• La fórmula de la distancia entre dos puntos

Fórmula del punto medio de un segmento de recta

Sabemos que el punto medio se encuentra a mitad de camino entre los dos puntos. Esto significa que su coordenada x está a medio camino entre las coordenadas x de los puntos, y su coordenada y está a medio camino entre las coordenadas y de los puntos. Entonces, si conocemos las coordenadas x y las coordenadas y de ambos puntos, ¿cómo podemos encontrar el punto medio que se encuentra a mitad de camino entre ellos?

Para un segmento de recta que une los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, el punto medio es $(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.

La siguiente figura muestra los puntos $(2,1)$ y $\left(4,3\right)$ en un plano de coordenadas, con punto medio en $(3,2)$. Veamos con más detalle cómo se encuentra el punto medio.

El punto medio de un segmento de recta que une los puntos (2, 1) y (4, 3) - StudySmarter Originals

La fórmula del punto medio anterior nos permite hallar la media de las coordenadas x de los puntos y la media de las coordenadas y de los puntos. Para hallar la media de las coordenadas x de nuestros puntos, debemos sumar los valores de las dos coordenadas x. ($2+4=6$) y luego dividir por dos ($6÷2=3$). Esto nos da la coordenada x del punto medio, 3. A continuación, sumamos las dos coordenadas y ($1+3=4$) y dividimos por dos ($4÷2=2$) para hallar la media de las coordenadas y de nuestros puntos, que es la coordenada y del punto medio.

Fórmula de la distancia entre dos puntos

Cuando calculamos la distancia entre dos puntos, estamos hallando la longitud del segmento de recta que los une. ¿Cómo determinamos esta longitud?

La distancia entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ viene dada por la fórmula $r=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+(y_2-y_1}{)}^2$.

Por tanto, si conocemos las coordenadas x e y de ambos puntos, podemos aplicar esta fórmula. Quizá te preguntes de dónde viene esta fórmula. La fórmula de la distancia entre puntos considera el segmento de línea que une los puntos como si fuera la hipotenusa de un triángulo rectángulo, lo que significa que se aplica el teorema de Pitágoras, dado por $a^2+b^2=c^2$. La hipotenusa a y las longitudes laterales b y c que la acompañan se pueden ver en la siguiente figura.

Gráfico que muestra cómo se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas - StudySmarter Originals

La fórmula también tiene en cuenta la diferencia entre las coordenadas x y las coordenadas y de los puntos, que en este caso puede obtenerse restando las coordenadas menores de las mayores. En el gráfico anterior, la distancia entre las coordenadas x de $\left(2,1\right)$ y $\left(4,3\right)$ es $4-2=2$. Esto significa que nuestro triángulo imaginario tiene una longitud lateral de ¡2! Del mismo modo, la distancia entre las coordenadas y es $3-1=2$lo que da una longitud lateral del segundo triángulo de 2.

¿Y la hipotenusa del triángulo? Al aplicar el teorema de Pitágoras, obtenemos la longitud de la hipotenusa del triángulo que hemos creado, que será el segmento de recta entre los dos puntos:

$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Ahora que entendemos los orígenes de la fórmula, vamos a aplicarla en un problema de ejemplo.

Encontrar los puntos medios y la distancia con ejemplos

Utilizando las fórmulas proporcionadas anteriormente, podemos encontrar la distancia y los puntos medios entre dos puntos definidos en el plano de coordenadas.

Aplicaciones de la fórmula del punto medio y la distancia

Los puntos medios y las distancias tienen muchas aplicaciones matemáticas. En este apartado damos algunos ejemplos de cómo se pueden aplicar las fórmulas que hemos comentado.

Utilizar la fórmula del punto medio para hallar la mediatriz

Puedes utilizar la fórmula del punto medio para hallar la mediatriz de un segmento de recta. Una mediatriz es una recta que corta en ángulo recto a un segmento de recta en su punto medio, dividiéndolo en dos mitades.

Podemos hallar una mediatriz encontrando el punto medio y la pendiente de un segmento de recta, así como el recíproco negativo de su pendiente. Luego sustituimos estos valores en la fórmula $y-y_1=m(x-x_2)$utilizando las coordenadas del punto medio y el recíproco negativo de la pendiente del segmento de recta.

Utilizar la fórmula de la distancia para definir formas y objetos

Sabemos que podemos utilizar la fórmula de la distancia para hallar las longitudes de segmentos de recta si conocemos los puntos donde empieza y acaba el segmento de recta. Por ejemplo, si tuviéramos una escalera apoyada en una pared, y la escalera tocara la pared y el suelo en los puntos $(A,\hspace{0.17em}B)$ y $\left(C,D\right)$ podríamos utilizar la fórmula de la distancia para determinar la longitud de la escalera.

También podemos demostrar que los segmentos de recta que unen puntos de un plano de coordenadas trabajan juntos para formar una forma determinada. Por ejemplo, si tres segmentos de recta que unen 3 puntos tienen todos distancias iguales, podemos demostrar que los segmentos de recta forman un triángulo equilátero, ya que los triángulos equiláteros tienen 3 lados de igual longitud.