Ya conoces la circunferencia que es una de las famosas cónicas, o figuras que se pueden obtener al cortar un cono en varias secciones. Pero, ¿qué pasa cuando tienes una circunferencia cuyo radio es igual a uno? Bueno, esta circunferencia se llama “circunferencia unitaria” y es más importante de lo que parece a simple vista, en los siguientes párrafos te explicaremos el porqué.
¿Qué es una circunferencia unitaria?
La circunferencia unitaria tiene un radio uno, con centro en el origen \((0,0)\).
La fórmula de para la circunferencia es:
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
De este modo si el centro está en \((0, 0)\) su fórmula es:
\[x^2+y^2=1\]
Su gráfica es la siguiente:
Fig. 1. La circunferencia unitaria.
Esta fórmula es muy importante ya que se utiliza como base en trigonometría para encontrar razones trigonométricas y además derivar algunas identidades también.
Funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria
Las funciones trigonométricas o razones trigonométricas se pueden derivar a partir de la circunferencia unitaria. Veamos la circunferencia y supongamos que tenemos un punto \(A\) en la misma. Si unimos este punto con el eje de las \(x\) y también con el origen \((0, 0)\) se obtiene lo siguiente:
Fig. 2. circunferencia unitaria.
Como puedes observar esto es un triángulo rectángulo. Esto se debe a que el ángulo entre el eje \(x\) y la altura \(h\) es de \(90^o\).
En este caso podemos etiquetar los lados del triángulo como \(c\), \(a\) y \(b\), donde \(c\) es la hipotenusa. Si tomamos el ángulo entre \(c\) y \(b\) como nuestra referencia \(\theta\), entonces tenemos:
Fig. 3. Coordenadas del circulo unitario o unidad.
Y podemos en este caso obtener las identidades para las funciones seno, coseno y tangente. Sabemos que:
\[\sin(\theta)={{CO}\over{H}}\]
\[\cos(\theta)={{CA}\over{H}}\]
Aquí \(CO\) es el cateto opuesto, \(CA\) el cateto adyacente y \(H\) la hipotenusa.
\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{CO}\over{CA}}\]
Si sustituimos los catetos, obtenemos:
\[\sin(\theta)={{b}\over{c}}\]
\[\cos(\theta)={{a}\over{c}}\]
\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{b}\over{a}}\]
Y debido a que \(c\) que es el radio es \(r=1\), se obtiene lo siguiente:
\[\sin(\theta)=b\]
\[\cos(\theta)=a\]
Esto es importante ya que estas son las coordenadas del punto \((a,b)\) en el círculo unitario, es decir, para cada valor de \(\theta\), obtenemos los valores de las coordenadas.
Valores de las razones trigonométricas de la circunferencia unitaria
Debido a que la circunferencia unitaria nos da los valores numéricos de las coordenadas, estos se pueden usar para calcular los valores de las funciones trigonométricas para todos los números.
Recuerda que las funciones trigonométricas se repiten cada \(2\pi\), que equivale una vuelta de una circunferencia. De este modo, solo tienes que calcular los valores de \(\sin(x)\) o cualquier otra función en \([0, 2\pi]\) y después los valores se repiten en \([2\pi, 4\pi]\) y así sucesivamente.
Si calculas por ejemplo los valores para las coordenadas cada vez que aumentas \(\theta\) en \(30^o\), obtienes la tabla siguiente:
\(\theta\) | \(f(\theta)\) |
\(0\) | \((1,0)\) |
\(30\) | \(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\) |
\(60\) | \(({{1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\) |
\(90\) | \((0, 1)\) |
\(120\) | \(({{-1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\) |
\(150\) | \(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\) |
\(180\) | \((-1, 0)\) |
\(210\) | \(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\) |
\(240\) | \(({{-1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\) |
\(270\) | \((0, -1)\) |
\(300\) | \(({{1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\) |
\(330\) | \(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\) |
\(360\) | \((1, 0)\) |
Tabla 1: Valores para distintas coordenadas en la circunferencia unitaria.
Así puedes observar cómo la coordenada \(x\) corresponde al coseno del ángulo y la coordenada \(y\) corresponde al seno del ángulo.
Fig. 4. Circunferencia unitaria y valores de algunas de sus coordenadas.
La dirección de la circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria tiene cuatro sectores, que se pueden ver en la siguiente imagen:
Fig. 5. Circunferencia unitaria dividida en sectores.
La dirección en la cual se miden los valores es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, donde el valor de cero está en el eje \(x\), el valor de un cuarto de revolución está en el eje \(y\), el valor de media revolución está en la dirección negativa del eje \(x\) y tres cuartos de revolución en la dirección negativa del eje \(y\). Esto lo puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 6. Dirección de la circunferencia unitaria.
Identidades trigonométricas en la circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es muy importante para las identidades trigonométricas. Estas identidades son el resultado de la relación de las funciones trigonométricas. Debido a que todas las funciones que existen son una relación entre el seno y el coseno, hay una identidad básica que es muy importante, esta es la suma de los cuadrados.
La suma de los cuadrados viene dada por la fórmula de la circunferencia unitaria.
Recuerda que la ecuación de una circunferencia es igual a:
\[x^2+y^2=r^2\]
Como ya mencionamos las coordenadas \(x, y\) son iguales a:
\[\sin(\theta)=x\]
\[\cos(\theta)=y\]
Por lo tanto si sustituimos esto en la fórmula de la circunferencia, obtenemos:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Esta identidad es la base de varias otras identidades como las que se ven en la siguiente tabla.
Identidad |
\[\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\] |
\[\sin^2(\theta)={{1-\cos(2\theta)}\over{2}}\] |
\[\cos^2(\theta)={{1+\cos(2\theta)}\over{2}}\] |
\[\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)={{1+\cos(4\theta)}\over{8}}\] |
\[(\sin(\theta)+\cos(\theta))^2-1=\sin(2\theta)\] |
Tabla 2: algunas identidades de la circunferencia unitaria.Con estas identidades puedes encontrar cuánto vale una función en términos de otras cuando necesites hacer sustituciones algebraicas, integrales o derivadas.
Las identidades trigonométricas son muy útiles, ya que nos permiten resolver problemas complejas en los cuales una expresión algebraica se puede reducir o simplificar usando estas igualdades.El círculo unitario es la base de una de las identidades más famosas que existen: la suma de los cuadrados de \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\).
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Si observas el círculo unitario podrás comprobar que esto se cumple. Una demostración de esto son los puntos donde el círculo cruza los ejes, supongamos en \(y=0\).En \(y=0\), dentro del primer cuadrante:
\[\cos(0)=1\]
En \(x=0\), dentro del primer cuadrante:
\[\sin(0)=0\]
De tal modo que \(1^2+0^2=1\).
Ejercicios de circunferencia unitaria
Veamos algunos ejercicios simples para que calcules los valores de las coordenadas en el círculo unitario.
Calcula el valor de las coordenadas para \(x\) y \(y\) cuando el ángulo \(\theta=43^o\).
Solución:
Para esto debemos usar las funciones que vimos anteriormente del seno y coseno.
\[\sin(\theta)=x\]
\[\cos(\theta)=y\]
Aquí sustituiremos \(\theta=43^o\), con lo que tenemos:
\[\sin(43^o)=x\]
\[\cos(43^o)=y\]
Si lo calculamos, obtenemos:
\[\sin(43^o)=0,68\]
\[\cos(43^o)=0,73\]
Si la circunferencia unitaria tiene un punto cuyas coordenadas son \(x=0\) e \(y=1\), cuál es el ángulo \(\theta\) del círculo unitario?
Solución:
Para esto debemos despejar las funciones trigonométricas, ya que lo que se tiene son los valores de \(x\) e \(y\).
\[\sin(\theta)=1\]
\[\cos(\theta)=0\]
Lo cual es:
\[\theta=\arcsin(1)\]
\[\theta=\arccos(0)\]
Si nos sabemos los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos más importantes, podremos ver fácilmente que este ángulo corresponde a:
\[\theta=90º\]
Cuando trabajamos con una circunferencia unitaria también podemos hacerlo en radianes. No solo eso, la circunferencia unitaria también forma parte de los números complejos, ya que el plano complejo es una circunferencia unitaria si el módulo del número complejo es igual a uno. Veamos un ejemplo donde usamos esto.
El número complejo \(z\) tiene un módulo de uno, ¿cuál es su parte imaginaria y su parte real si su ángulo es de \(\pi\)?
Solución:
Sabemos que un número complejo tiene la forma:
\[z=a+ib\]
Donde \(a\) es su parte real que es la componente \(x\) y \(b\) es su parte imaginaria que es \(y\). Debido a que su módulo es uno y esto es igual a:
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
Esto es igual a:
\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Esto significa que \(|z|\) es la resultante y por lo tanto la hipotenusa, y debido a que la hipotenusa es el módulo \(z=1=r\), el número imaginario cumple:
\[1=\sqrt{x^2+y^2}\]
Lo cual es una circunferencia unitaria donde \((1)^2=1=r\). Debido a esto las coordenadas son las componentes:
\[x=\cos(\theta)=a\]
\[y=\sin(\theta)=b\]
Y podemos entonces usar las fórmulas para calcular cada componente:
\[a=\cos(\pi)=-1\]
\[b=\sin(\pi)=0\]
Así que el número imaginario es:
\[z=-1+0i=-1\]
Siendo la parte real:
\[\text{Re}\,z=-1\]
Y la parte imaginaria:
\[\text{Im}\,z=0\]
El círculo unidad - Puntos clave
- La circunferencia unitaria tiene un radio de 1 y centro en el origen.
- La ecuación de la circunferencia unitaria es: \(x^2+y^2=1\).
- La circunferencia unitaria se puede utilizar para encontrar los valores del \(\sin(x)\) y del \(\cos(x)\) para los ángulos entre \(0º\) y \(360º\) o \(0\) y \(2\pi\) radianes. La coordenada \(x\) de los puntos de la circunferencia unitaria representa el valor \(\cos(x)\) de ese ángulo, y la coordenada \(y\) es el valor \(\sin(x)\).
Résumenes 
Exámenes 
Magazine 
Formacion Profesional 
