Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

Circunferencia unitaria

Circunferencia unitaria

Ya conoces la circunferencia que es una de las famosas cónicas, o figuras que se pueden obtener al cortar un cono en varias secciones. Pero, ¿qué pasa cuando tienes una circunferencia cuyo radio es igual a uno? Bueno, esta circunferencia se llama “circunferencia unitaria” y es más importante de lo que parece a simple vista, en los siguientes párrafos te explicaremos el porqué.

¿Qué es una circunferencia unitaria?

La circunferencia unitaria tiene un radio uno, con centro en el origen \((0,0)\).

La fórmula de para la circunferencia es:

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

De este modo si el centro está en \((0, 0)\) su fórmula es:

\[x^2+y^2=1\]

Su gráfica es la siguiente:

Círculo unitario circunferencia StudySmarterFig. 1. La circunferencia unitaria.

Esta fórmula es muy importante ya que se utiliza como base en trigonometría para encontrar razones trigonométricas y además derivar algunas identidades también.

Funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria

Las funciones trigonométricas o razones trigonométricas se pueden derivar a partir de la circunferencia unitaria. Veamos la circunferencia y supongamos que tenemos un punto \(A\) en la misma. Si unimos este punto con el eje de las \(x\) y también con el origen \((0, 0)\) se obtiene lo siguiente:

Círculo unitario trazado StudySmarterFig. 2. circunferencia unitaria.

Como puedes observar esto es un triángulo rectángulo. Esto se debe a que el ángulo entre el eje \(x\) y la altura \(h\) es de \(90^o\).

En este caso podemos etiquetar los lados del triángulo como \(c\), \(a\) y \(b\), donde \(c\) es la hipotenusa. Si tomamos el ángulo entre \(c\) y \(b\) como nuestra referencia \(\theta\), entonces tenemos:

El círculo unidad coordenadas StudySmarterFig. 3. Coordenadas del circulo unitario o unidad.

Y podemos en este caso obtener las identidades para las funciones seno, coseno y tangente. Sabemos que:

\[\sin(\theta)={{CO}\over{H}}\]

\[\cos(\theta)={{CA}\over{H}}\]

Aquí \(CO\) es el cateto opuesto, \(CA\) el cateto adyacente y \(H\) la hipotenusa.

\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{CO}\over{CA}}\]

Si sustituimos los catetos, obtenemos:

\[\sin(\theta)={{b}\over{c}}\]

\[\cos(\theta)={{a}\over{c}}\]

\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{b}\over{a}}\]

Y debido a que \(c\) que es el radio es \(r=1\), se obtiene lo siguiente:

\[\sin(\theta)=b\]

\[\cos(\theta)=a\]

Esto es importante ya que estas son las coordenadas del punto \((a,b)\) en el círculo unitario, es decir, para cada valor de \(\theta\), obtenemos los valores de las coordenadas.

Valores de las razones trigonométricas de la circunferencia unitaria

Debido a que la circunferencia unitaria nos da los valores numéricos de las coordenadas, estos se pueden usar para calcular los valores de las funciones trigonométricas para todos los números.

Recuerda que las funciones trigonométricas se repiten cada \(2\pi\), que equivale una vuelta de una circunferencia. De este modo, solo tienes que calcular los valores de \(\sin(x)\) o cualquier otra función en \([0, 2\pi]\) y después los valores se repiten en \([2\pi, 4\pi]\) y así sucesivamente.

Si calculas por ejemplo los valores para las coordenadas cada vez que aumentas \(\theta\) en \(30^o\), obtienes la tabla siguiente:

\(\theta\)
\(f(\theta)\)
\(0\)
\((1,0)\)
\(30\)
\(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\)
\(60\)
\(({{1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\)
\(90\)
\((0, 1)\)
\(120\)
\(({{-1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\)
\(150\)
\(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\)
\(180\)
\((-1, 0)\)
\(210\)
\(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\)
\(240\)
\(({{-1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\)
\(270\)
\((0, -1)\)
\(300\)
\(({{1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\)
\(330\)
\(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\)
\(360\)
\((1, 0)\)

Tabla 1: Valores para distintas coordenadas en la circunferencia unitaria.

Así puedes observar cómo la coordenada \(x\) corresponde al coseno del ángulo y la coordenada \(y\) corresponde al seno del ángulo.

Círculo unitario trazado coordenadas StudySmarterFig. 4. Circunferencia unitaria y valores de algunas de sus coordenadas.

La dirección de la circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria tiene cuatro sectores, que se pueden ver en la siguiente imagen:

Círculo unitario sectores StudySmarterFig. 5. Circunferencia unitaria dividida en sectores.

La dirección en la cual se miden los valores es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, donde el valor de cero está en el eje \(x\), el valor de un cuarto de revolución está en el eje \(y\), el valor de media revolución está en la dirección negativa del eje \(x\) y tres cuartos de revolución en la dirección negativa del eje \(y\). Esto lo puedes ver en la siguiente imagen:

Círculo unitario sectores direccion StudySmarterFig. 6. Dirección de la circunferencia unitaria.

Identidades trigonométricas en la circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es muy importante para las identidades trigonométricas. Estas identidades son el resultado de la relación de las funciones trigonométricas. Debido a que todas las funciones que existen son una relación entre el seno y el coseno, hay una identidad básica que es muy importante, esta es la suma de los cuadrados.

La suma de los cuadrados viene dada por la fórmula de la circunferencia unitaria.

Recuerda que la ecuación de una circunferencia es igual a:

\[x^2+y^2=r^2\]

Como ya mencionamos las coordenadas \(x, y\) son iguales a:

\[\sin(\theta)=x\]

\[\cos(\theta)=y\]

Por lo tanto si sustituimos esto en la fórmula de la circunferencia, obtenemos:

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

Esta identidad es la base de varias otras identidades como las que se ven en la siguiente tabla.

Identidad

\[\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\]

\[\sin^2(\theta)={{1-\cos(2\theta)}\over{2}}\]

\[\cos^2(\theta)={{1+\cos(2\theta)}\over{2}}\]

\[\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)={{1+\cos(4\theta)}\over{8}}\]

\[(\sin(\theta)+\cos(\theta))^2-1=\sin(2\theta)\]

Tabla 2: algunas identidades de la circunferencia unitaria.

Con estas identidades puedes encontrar cuánto vale una función en términos de otras cuando necesites hacer sustituciones algebraicas, integrales o derivadas.

Las identidades trigonométricas son muy útiles, ya que nos permiten resolver problemas complejas en los cuales una expresión algebraica se puede reducir o simplificar usando estas igualdades.El círculo unitario es la base de una de las identidades más famosas que existen: la suma de los cuadrados de \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\).

\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]

Si observas el círculo unitario podrás comprobar que esto se cumple. Una demostración de esto son los puntos donde el círculo cruza los ejes, supongamos en \(y=0\).En \(y=0\), dentro del primer cuadrante:

\[\cos(0)=1\]

En \(x=0\), dentro del primer cuadrante:

\[\sin(0)=0\]

De tal modo que \(1^2+0^2=1\).

Ejercicios de circunferencia unitaria

Veamos algunos ejercicios simples para que calcules los valores de las coordenadas en el círculo unitario.

Calcula el valor de las coordenadas para \(x\) y \(y\) cuando el ángulo \(\theta=43^o\).

Solución:

Para esto debemos usar las funciones que vimos anteriormente del seno y coseno.

\[\sin(\theta)=x\]

\[\cos(\theta)=y\]

Aquí sustituiremos \(\theta=43^o\), con lo que tenemos:

\[\sin(43^o)=x\]

\[\cos(43^o)=y\]

Si lo calculamos, obtenemos:

\[\sin(43^o)=0,68\]

\[\cos(43^o)=0,73\]

Si la circunferencia unitaria tiene un punto cuyas coordenadas son \(x=0\) e \(y=1\), cuál es el ángulo \(\theta\) del círculo unitario?

Solución:

Para esto debemos despejar las funciones trigonométricas, ya que lo que se tiene son los valores de \(x\) e \(y\).

\[\sin(\theta)=1\]

\[\cos(\theta)=0\]

Lo cual es:

\[\theta=\arcsin(1)\]

\[\theta=\arccos(0)\]

Si nos sabemos los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos más importantes, podremos ver fácilmente que este ángulo corresponde a:

\[\theta=90º\]

Cuando trabajamos con una circunferencia unitaria también podemos hacerlo en radianes. No solo eso, la circunferencia unitaria también forma parte de los números complejos, ya que el plano complejo es una circunferencia unitaria si el módulo del número complejo es igual a uno. Veamos un ejemplo donde usamos esto.

El número complejo \(z\) tiene un módulo de uno, ¿cuál es su parte imaginaria y su parte real si su ángulo es de \(\pi\)?

Solución:

Sabemos que un número complejo tiene la forma:

\[z=a+ib\]

Donde \(a\) es su parte real que es la componente \(x\) y \(b\) es su parte imaginaria que es \(y\). Debido a que su módulo es uno y esto es igual a:

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

Esto es igual a:

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Esto significa que \(|z|\) es la resultante y por lo tanto la hipotenusa, y debido a que la hipotenusa es el módulo \(z=1=r\), el número imaginario cumple:

\[1=\sqrt{x^2+y^2}\]

Lo cual es una circunferencia unitaria donde \((1)^2=1=r\). Debido a esto las coordenadas son las componentes:

\[x=\cos(\theta)=a\]

\[y=\sin(\theta)=b\]

Y podemos entonces usar las fórmulas para calcular cada componente:

\[a=\cos(\pi)=-1\]

\[b=\sin(\pi)=0\]

Así que el número imaginario es:

\[z=-1+0i=-1\]

Siendo la parte real:

\[\text{Re}\,z=-1\]

Y la parte imaginaria:

\[\text{Im}\,z=0\]

El círculo unidad - Puntos clave

  • La circunferencia unitaria tiene un radio de 1 y centro en el origen.
  • La ecuación de la circunferencia unitaria es: \(x^2+y^2=1\).
  • La circunferencia unitaria se puede utilizar para encontrar los valores del \(\sin(x)\) y del \(\cos(x)\) para los ángulos entre \(0º\) y \(360º\) o \(0\) y \(2\pi\) radianes. La coordenada \(x\) de los puntos de la circunferencia unitaria representa el valor \(\cos(x)\) de ese ángulo, y la coordenada \(y\) es el valor \(\sin(x)\).

Preguntas frecuentes sobre Circunferencia unitaria

Es una circunferencia que tiene un radio unidad, con centro en el origen (0,0). Su ecuación es:

x2+y2=1

Debes trazar una circunferencia cuyo radio es la unidad, la unidad depende de la escala que uses. Puede ser un metro, un decímetro, un centímetro, etc.

Seno, coseno, tangente y sus inversas.

La ecuación de una circunferencia es (x-a)2+(y+b)2=r2


Para la circunferencia unitaria, a y b son iguales a 0 y r=1.

Las identidades trigonométricas no se resuelven, sino que son fórmulas que puedes usar para simplificar tus ecuaciones y cálculos.

Cuestionario final de Circunferencia unitaria

Pregunta

¿Cuál es la circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Una circunferencia con radio uno.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Definición: \(x^2+y^2=1\).

Show question

Pregunta

Es la siguiente circunferencia unitaria \(\dfrac{(2x)^2}{4}+\dfrac{(5x)^2}{25}=\dfrac{9^3}{729} \)?



Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es.



Show question

Pregunta

¿Cuánto mide el radio en una circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

\(r=1\).


Show question

Pregunta

Supongamos que se tiene una circunferencia unitaria con centro \((0,0)\). Se toma un vector que sale del origen hasta la circunferencia, ¿cuál es su magnitud?

Mostrar respuesta

Answer

El mismo valor que el radio.

Show question

Pregunta

Se tiene una circunferencia unitaria y se traza un triángulo rectángulo dentro del círculo, estando un vértice en el centro y sobre la circunferencia y otro en el eje de abscisas. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo?

Mostrar respuesta

Answer

\(2\).


Show question

Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\sin\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\).

Show question

Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\cos\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\cos(\theta)=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\).

Show question

Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\tan\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes es una identidad trigonométrica?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

Show question

Pregunta

¿Cómo se conoce a la circunferencia con centro en el origen y radio \(r=1\)?

Mostrar respuesta

Answer

Circunferencia unitaria.

Show question

Pregunta

Se tiene la expresión: \(\sin^2(x)+\cos^2(x)\). Si \(x=3\), ¿cuánto vale esta suma?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

Se tiene la siguiente ecuación \((x-3)^2+(y^2)=1\), ¿qué requerimos para convertirla en una circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Sumarle un término \(-(-6x+9)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor del radio de la función de la circunferencia unitaria cuando sus coordenadas son iguales a \(\cos(0)\) y \(\sin(1)\)?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente ecuación la de una circunferencia unitaria \(x^2+y^2=-1\)?

Mostrar respuesta

Answer

No.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Circunferencia unitaria... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.