Ecuaciones de la recta en el plano

Después de haber visto el tema de Geometría en el plano, ya sabes qué objetos son los más importantes: el punto, la recta, el segmento, los vectores, las figuras geométricas. Pues, en este tema vamos a hablar sobre la recta, sus características y cómo definirla en forma de ecuación. Así, simplemente viendo una expresión matemática, podrás reconocer si se trata de una recta y algunas de sus características.

Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda definida completamente si determinamos una dirección y un punto por el que ésta pasa. En este caso, podemos proporcionar la dirección a través de un vector llamado vector director de la recta.

Con el vector director \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) y el punto \(A(a_1,a_2)\) (cuyo vector desde el origen es \(\vec{a}=(a_1,a_2)\)), expresamos la recta \(r\) que pasa por el punto \(P(x,y)\) (cuyo vector desde el origen es \(\vec{p}=(x,y)\)) como:

\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\]

Esta es la ecuación vectorial de la recta, a partir del vector director \(\vec{u}\) y que pasa por el punto \(A\).

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ya tenemos la ecuación vectorial de la recta; pero, como puedes ver, trabajar con ella puede resultar un poco difícil. Como está definida en dos coordenadas, podemos sacar una ecuación para cada una de ellas. Es decir, como \(\vec{p}=(x,y)\), podemos obtener una ecuación para \(x\) y otra para \(y\), de modo que:

\[\left\{\begin{array}\,x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\end{array}\right.\]

Este sistema de dos ecuaciones es lo que se conoce como ecuaciones paramétricas de la recta. En este par de ecuaciones están despejadas cada una de las coordenadas. Veamos algunos casos.

Ecuaciones paramétricas: ejercicios resueltos

Hagamos otro ejemplo para llegar a las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano.

Ecuación continua de la recta

Como hemos mencionado antes, el parámetro \(t\) es simplemente eso: un valor aleatorio que se le da a las ecuaciones para obtener un punto en la recta. Por lo tanto, realmente no lo necesitamos, así que podemos despejarlo de las dos ecuaciones paramétricas:

\[\left\{\begin{array}\,x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}\,t=\dfrac{x-a_1}{u_1}\\t=\dfrac{y-a_2}{u_2}\end{array}\right.\]

Si, ahora igualamos ambas ecuaciones, obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]

Como puedes observar, en la ecuación continua de la recta siempre están las coordenadas del vector director en el denominador. Esto hace que en algunos sitios en los que estas coordenadas son \(0\) no se exprese la ecuación continua de esa recta, debido a la indeterminación producida por un denominador nulo.

Sin embargo, en otras ocasiones, puedes ver el \(0\) en el denominador; esto se debe a que es una manera de representar la recta y ese \(0\) solo indica una coordenada del vector director.

Ecuación implícita o ecuación general de la recta

Una vez hemos obtenido la ecuación continua de la recta, podemos operar para despejar los denominadores. Después de esto, podemos simplificar y llevar todos los términos a un solo lado de la igualdad, así obtenemos la ecuación implícita o ecuación general de la recta.

Veamos esto, a partir de la ecuación continua:

\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]

Primero, despejamos los denominadores:

\[u_2(x-a_1)=u_1(y-a_2)\]

\[u_2x-u_1y-u_2a_1+u_1a_2=0\]

Luego, si definimos \(u_2=A\), \(-u_1=B\) y \(u_1a_2-u_2a_1=C\), la ecuación implícita de la recta se expresa como: \[Ax+By+C=0\]

Ecuación punto-pendiente de la recta

Si observamos bien la ecuación implícita de la recta, podemos hallar su vector director con los coeficientes de \(x\) e \(y\), de modo que el vector director de la recta es:

\[\vec{u}=(-B,A)\]

Si dividimos cada una de las coordenadas de este vector entre \(-B\), obtenemos:

\[\vec{u}=(1,-\dfrac{A}{B})\]

Este vector es proporcional al primero y, por tanto, tiene la misma dirección y sentido.

Si hacemos la definición \(m=-\dfrac{A}{B}\) y, ahora, formamos la ecuación continua con este nuevo vector director \(\vec{u}=(1,m)\), tenemos:

\[\dfrac{x-a_1}{1}=\dfrac{y-a_2}{m}\]

Al despejar los denominadores:

\[y-a_2=m(x-a_1)\]

Esta es la ecuación punto-pendiente de la recta.

Esta ecuación se denomina así porque en ella encontramos un punto por el que pasa la recta, que es el \(A(a_1,a_2)\), y la pendiente de la recta, que es el parámetro \(m\) que acabamos de obtener. La pendiente de la recta es una característica muy importante, puesto que nos dice la inclinación de la recta.

Ecuación explícita de la recta

Por último, vamos a determinar la ecuación explícita de la recta. Esta ecuación se puede obtener a partir de la ecuación punto-pendiente de la recta, si juntamos los términos independientes, es decir, los que no dependen de \(x\) ni \(y\), y despejamos después el término de la \(y\).

Entonces, a partir de la ecuación-punto-pendiente, juntamos los términos independientes:

\[y-a_2=m(x-a_1)\]

\[y=mx-ma_1+a_2\]

Si hacemos la definición \(a_2-ma_1=n\), la ecuación anterior queda como:

\[y=mx+n\]

Esta es la ecuación explícita de la recta, puesto que está expresada como la \(y\) despejada en función de la \(x\).

Como dijimos anteriormente, la \(m\) es la pendiente de la recta y ahora el nuevo parámetro \(n\) se denomina ordenada en el origen.

Existen más maneras de llegar a esta ecuación. Por ejemplo, a partir de la ecuación implícita, también podemos despejar la \(y\):

\[Ax+By+C=0\]

\[y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}\]

La pendiente está definida de la misma manera que antes, como \(m=-\dfrac{A}{B}\); pero, ahora la ordenada en el origen es \(n=-\dfrac{C}{B}\).

Así se llega, de nuevo, a:

\[y=mx+n\]