Una cantidad física es una propiedad que podemos medir. Algunas cantidades se pueden describir como escalares (números) y otras como vectores (colecciones de números).
Un escalar es una cantidad que solo posee una magnitud.
Por ejemplo, la rapidez es una magnitud escalar; ya que nos dice cuán rápido se mueve un objeto, pero no nos dice en qué dirección.
Un vector \(\vec{v}\) es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.
Un ejemplo de ello es la velocidad. Cuando mencionamos la velocidad de un objeto, usualmente mencionamos la dirección (por ejemplo, 20 km/h en dirección norte).
Vectores en 2D y 3D
Ahora que sabemos qué es un vector, ¿cómo se relaciona esto con las matemáticas? Comencemos por una descripción en dos dimensiones, para la cual usaremos un sistema de coordenadas cartesiano \((x, y)\). Con este sistema podemos describir el movimiento en la dirección y, donde las magnitudes son los valores de \(x\) y \(y\), y la dirección que la indica, la orientación del mismo vector.
Podemos reescribir el movimiento como un vector de varias maneras; la más normal para un vector en 2 dimensiones es la siguiente:
\[\vec{v}=(x, y)\]
Donde, \(x\) corresponde a la coordenada \(x\) e \(y\) corresponde a la coordenada \(y\). Podemos expresar vectores utilizando también los unitarios.
Vectores unitarios
En 2 dimensiones, los vectores unitarios son representados por \(\vec{\imath}\) y \(\vec{\jmath}\); donde:
La forma de escribir vectores utilizando vectores unitarios se relaciona con la anterior de la siguiente manera:
\[\vec{v}=(x, y)=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}\]
Por definición, tomamos el valor positivo \(x\) cuando nos movemos hacia la derecha del origen y el negativo cuando nos movemos a la izquierda del origen. Lo mismo sucede con \(y\), donde los positivos son entendidos como los valores del origen hacia arriba y los negativos son tomados como los valores del origen hacia abajo.
Pese a que esto está establecido como regla general, en realidad es un convenio. Así que, si en tu problema te interesa más considerar el eje positivo de \(y) hacia abajo y los valores negativos hacia arriba, lo puedes hacer, siempre que seas consistente con estos.
Por ejemplo, si queremos mostrar el vector \(\vec{v}=(9, 6)\), en el plano coordenado, se vería así:
Fig. 1. Representación de un vector en el plano cartesiano.
Observa que el vector mostrado, \(\vec{v}=(9, 6)\), puede ser descompuesto como la suma de dos vectores:
\[\vec{v}=\vec{x}+\vec{y}=(9, 0)+(0,6)=9\vec{\imath}+6\vec{\jmath}\]
Es importante que, cuando representemos gráficamente vectores, mostremos la flecha que indica la dirección a la cual apuntan. Si no hacemos esto, no podríamos diferenciar el vector que va de del origen a \((9,6)\) del que va de \((9,6)\) al origen.
Cuando nos referimos a un vector del punto \(A\) al punto \(B\), lo escribimos como:
\[\overrightarrow{AB}\]
Si este va en la dirección contraria, se usaría:
\[\overrightarrow{BA}\]
Nota que la flecha indica la dirección desde el punto inicial al punto final del vector.
Podemos extender estos conceptos a un vector en tres dimensiones añadiendo, además de \(\vec{\imath}\) y \(\vec{\jmath}\), un tercer vector unitario que sea linealmente independiente a los otros dos \(\vec{k}\). En un sistema de coordenadas de tres dimensiones, la forma es la siguiente:
\[\vec{v}=(x, y, z)=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}\]
Debemos recordar que los tres ejes son perpendiculares entre sí. Si el plano \(x-y\) representa tu mesa, el eje \(z\) saldría verticalmente de ella.
Calcular las magnitudes y direcciones de los vectores
Cuando trabajamos con vectores podemos calcular su magnitud y dirección. Sin embargo, no es obvio cómo relacionar estos conceptos con nociones geométricas. ¡Aquí te lo explicaremos!
Módulo de un vector
El módulo de un vector es su longitud; podemos denotarlo el como \(|\vec{v}|\). Pensemos primero esto en dos dimensiones, para después extenderlo a tres.
En dos dimensiones podemos dibujar un triángulo rectángulo que contenga a nuestro vector como hipotenusa y sus proyecciones en los ejes \(x\) y \(y\) como catetos. En este caso, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del vector:
\[|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}\]
En la siguiente figura puedes ver cómo se realiza este procedimiento:
Fig. 2. Descomposición de un vector en sus componentes, a partir de las cuales puede calcularse el módulo del vector.
Ahora, podemos extender esto a tres dimensiones. Seguimos el mismo procedimiento que en 2 dimensiones, pero añadimos el término de \(z\) a la fórmula. Con ello, obtenemos:
\[|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]
Encuentra la magnitud del vector \(|\vec{v}|=(8, 6)\).
Solución:
Usando la fórmula de la magnitud, tenemos:
\[|\vec{v}|=\sqrt{8^2+ 6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\]
La dirección de un vector
La dirección de un vector se calcula con respecto a un marco de referencia. En dos dimensiones, esta es medida con respecto al eje \(x\); pero, siempre se debe especificar el marco de referencia. Usemos un diagrama para visualizarlo:
Fig. 3. El ángulo de un vector se mide a partir del eje \(x\).
Podemos usar las relaciones trigonométricas para calcular esto; lo que significa que, en dos dimensiones, la dirección de cualquier vector con respecto al eje \(x\) está dada por:
\[\sin(\theta)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
Si quisiéramos obtener el ángulo con respecto al eje \(y\), usaremos:
\[\cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
Los valores de \(\theta\) son tomados como positivos para todos los ángulos sobre el eje \(x\) y negativos para los valores debajo.
Podemos extender esto en tres dimensiones, si se tiene un vector como \((x, y, z)\); donde, para encontrar el ángulo con respecto a cada eje, usamos:
Eje \(x\): \(\cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Eje \(y\): \([\cos(\theta)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Eje \(z\): \(\cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Encuentra la dirección del vector \(\vec{v}=3\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\), con respecto al eje \(x\).
Solución:
Primero, encontraremos el módulo:
\[|\vec{v}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}\]
Entonces, con la fórmula del ángulo dada para el eje \(x\):
\[\cos(\theta)=\dfrac{3}{\sqrt{17}}\]
nos da:
\[\theta=43{,}3º\]
Sumar y restar vectores
Algunas operaciones requerirán sumas y restas de vectores, para componer otros vectores o calcular magnitudes.
Suma de vectores
¿Cómo podemos sumar dos vectores? Para sumar dos vectores geométricamente debemos dibujarlos. Después de dibujar ambos vectores, solo debemos dibujar un tercero: que una el primer vector con el segundo por las puntas (flechas). Este nuevo vector se llama vector resultante. Puedes ver el proceso a continuación:
Fig. 4. Representación gráfica de la suma de dos vectores.
¡Ya sabemos cómo hacer esto geométricamente! Sin embargo, ¿cuál es el proceso algebraico? Podemos sumar dos vectores, simplemente, sumando sus componentes. Esto está dado como:
\[\vec{v}+\vec{u}=(x_1+x_2, y_1+y_2)\]
Esto es en dos dimensiones, pero el proceso es el mismo para tres dimensiones.
Suma los vectores:
\[\vec{v}=(2, 3)\]
\[\vec{u}=(6, 2)\]
Solución:
Si sumamos las componentes, obtenemos: \[\vec{v}+\vec{u}=(2+6, 3+2)=(8, 5)\]
Resta de vectores
Esta operación es bastante similar, geométrica y algebraicamente, al proceso de suma:
Geométricamente, tomamos cada vector e invertimos su dirección. Después de invertirlos, seguimos el mismo proceso, trazando el vector resultante.
Para la forma algebraica, debemos restar sus componentes. Esto se puede denotar como:
\[\vec{v}-\vec{u}=(x_1-x_2, y_1-y_2)\]
El proceso es el mismo en tres dimensiones; solo hace falta añadir el componente extra de cada vector y restarlo.
Resta:
\[\vec{v}=(2, 3,5)\]
\[\vec{u}=(6, 2,4)\]
Solución:
Usando el proceso descrito, pero ahora restando, obtenemos:
\[\vec{v}-\vec{u}=(2-6, 3-2,5-4)=(-4, 1,1)\]
Multiplicar un escalar por un vector
Cuando hablamos de multiplicar un vector por un escalar, se denota de la siguiente manera:
\[a\cdot\vec{v}=(a\cdot x, a\cdot y)\]
Geométricamente, el vector se extiende \(a\) veces sobre sí mismo. Esto significa que, para todo escalar distinto de 0, el nuevo vector resultado de la multiplicación es paralelo al vector original.
El proceso es análogo para las tres dimensiones:
Calcula \(4\cdot\vec{v}=(4\cdot x, 4\cdot y)\) , si \(\vec{v}=(5, 2)\).
Solución:
Usando la fórmula, obtenemos:
\[4\cdot\vec{v}=(4\cdot 5, 4\cdot 2)=(20, 8)\]
Encontrar la distancia entre dos vectores
Supongamos que tenemos dos puntos indicados por dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), y que queremos calcular la distancia entre ellos. Para esto, debemos encontrar el vector que conecta ambos; podemos hacerlo, restando uno del otro. Una vez hecho esto, lo siguiente es definir la longitud del vector que los une, lo cual se hace con la magnitud del vector.
Encuentra la distancia entre:
\[\vec{v}=(5, 1)\]
\[\vec{u}=(17, -4)\]
Primero, se debe encontrar el vector que conecta ambos vectores. Para hacer esto, restamos un vector del otro:
\[\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=(12, -5)\]
Ahora, encontramos la magnitud del vector, usando la fórmula para ello:
\[|\vec{w}|=\sqrt{12^2+(-5)^2}=13\]
Esto nos da que la longitud entre los vectores es de \(13\).
Producto de vectores
Otras operaciones importantes con vectores son los productos entre vectores, que puede ser un producto escalar o un producto vectorial. Ambos son distintos, e implican operaciones diferentes.
Producto escalar
El producto escalar se define como la multiplicación de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que los separa:
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\]
En este caso, \(|\vec{u}|\) y \(|\vec{v}|\) son los módulos de los vectores en el producto escalar.
Producto vectorial
El producto vectorial, también conocido como producto cruz, es el vector perpendicular a la superficie definida por los dos vectores que se multiplican.
Se define como:
\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\]
Esto se puede ver en la siguiente imagen:
Fig 5: El vector w es perpendicular a los vectores u y v.
Operaciones con vectores - Puntos clave
- \(\vec{\imath}\), \(\vec{\imath}\), \(\vec{k}\) son los vectores unitarios en las coordenadas \(x, y, z\), respectivamente.
- Un vector tiene dirección y magnitud.
- La magnitud o módulo de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los componentes del vector al cuadrado.
- La suma, resta y multiplicación de un escalar por un vector son operaciones que se hacen elemento a elemento.
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