Superficie de prismas: Fórmulas, Ejemplos

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¿Qué es el área de las superficies de los prismas?

El área de las superficies de los prismas es la superficie plana total ocupada por los lados de figuras geométricas tridimensionales que tienen secciones transversales constantes en todo su cuerpo. Un prisma tiene extremos idénticos y caras planas.

El área de las superficies de los prismas se mide en centímetros cuadrados, metros, pies (^cm2,^m2, ^ft2), etc.

La superficie total de un prisma es la suma del doble del área de su base y el producto del perímetro de la base y la altura del prisma.

Hay muchos tipos diferentes de prismas que obedecen a las reglas y la fórmula antes mencionadas. En general, puede decirse que todos los polígonos pueden convertirse en prismas en 3D y, por tanto, puede calcularse su superficie total. Veamos algunos ejemplos.

Prisma triangular

Un prisma triangular tiene 5 caras, de las cuales 2 son triangulares y 3 rectangulares.

Superficie de Prismas, Una imagen de un prisma triangular, StudySmarter

Imagen de un prisma triangular, StudySmarter Originals

Prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene 6 caras, todas ellas rectangulares.

Superficie de Prismas, Una imagen de un prisma rectangular, StudySmarter

Una imagen de un prisma rectangular, StudySmarter Originals

Prisma pentagonal

Un prisma pentagonal tiene 7 caras, de las cuales 2 son pentagonales y 5 rectangulares.

Superficie de Prismas, Una imagen de un prisma pentagonal, StudySmarter

Imagen de un prisma pentagonal, StudySmarter Originals

Prisma trapezoidal

Un prisma trapezoidal tiene 6 caras, 2 de ellas trapezoidales y 4 rectangulares.

Superficie de prismas, Imagen de un prisma trapezoidal, StudySmarter

Imagen de un prisma trapezoidal, StudySmarter Originals

Prisma hexagonal

Un prisma hexagonal tiene 8 caras, incluidas 2 hexagonales y 6 rectangulares.

Superficie de Prismas, Una imagen de un prisma hexagonal, StudySmarter

Una imagen de un prisma hexagonal, StudySmarter Originals

Un cilindro no se considera un prisma porque tiene superficies curvas, no planas.

¿Cuál es el método para hallar la superficie de un prisma?

El método que permitió calcular la superficie de un prisma fue la consideración de cada una de sus caras. Para ello, debemos analizar en qué consiste un prisma simple.

Todo prisma consta de dos caras idénticas en forma y dimensión. Llamamos a estas dos caras la parte superior y la base.

Superficie de Prismas, Ilustración de las caras superior y base de un prisma utilizando un prisma triangular, StudySmarter

Ilustración de las caras superior y base de un prisma utilizando un prisma triangular, StudySmarter Originals

También consta de superficies rectangulares según el número de caras que tenga la base del prisma. Por ejemplo, un prisma de base triangular tendrá otras 3 caras además de su parte superior y base idénticas. Del mismo modo, un prisma de base pentagonal tendrá otras 5 caras aparte de su parte superior y base idénticas, y esto se aplica a todos los prismas.

Superficie de Prismas, Ilustración de las caras rectangulares de un prisma utilizando un prisma triangular, StudySmarter

Ilustración de las caras rectangulares de un prisma utilizando un prisma triangular, StudySmarter Originals

Recuerda siempre que las caras distintas de la parte superior y la base son rectangulares; esto te ayudará a comprender el planteamiento utilizado para desarrollar la fórmula.

Ahora que sabemos de qué se componen las superficies de un prisma, es más fácil calcular la superficie total de un prisma. Tenemos 2 lados idénticos que adoptan la forma del prisma, y n lados rectangulares -donde n es el número de lados de la base-.

El área de la parte superior debe ser seguramente igual al área de la base, que depende de la forma de la base. Por tanto, podemos decir que la superficie total de la parte superior y de la base del prisma es

$A_{B} = b a s e a r e a A_{T} = t o p a r e a A_{T B} = A r e a o f b a s e a n d t o p A_{B} = A_{T} A_{T B} = A_{B} + A_{T} A_{T B} = A_{B} + A_{B} A_{T B} = 2 A_{B}$

Por tanto, el área de la base y de la parte superior es el doble del área de la base.

Ahora seguimos teniendo n lados rectangulares. Esto significa que tenemos que calcular el área de cada rectángulo. Esto será aún más estresante a medida que aumente el número de lados.

$A r e a o f f a c e 1 = S i d e 1 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 2 = S i d e 2 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 3 = S i d e 3 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 4 = S i d e 4 \times h e i g h t . . . A r e a o f f a c e n = S i d e n \times h e i g h t$

¿Te gusta el estrés? Pues a mí no .

Así que para reducir el trabajo, algo es constante. La altura es constante, ya que vamos a sumar todas las áreas, ¿por qué no hallar la suma de todos los lados y multiplicarla por la altura? Esto significa que

id="5168086" role="matemáticas" $T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = (S i d e 1 \times h e i g h t) + (S i d e 2 \times h e i g h t) + (S i d e 3 \times h e i g h t) . . + S i d e n \times h e i g h t) T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = h e i g h t (S i d e 1 + S i d e 2 + S i d e 3 + S i d e 4 . . . + S i d e n) (S i d e 1 + S i d e 2 + S i d e 3 + S i d e 4 . . . + S i d e n) = P e r i m e t e r o f b a s e s u r f a c e T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = h e i g h t (P e r i m e t e r o f b a s e s u r f a c e)$

Siendo h la altura de un prisma,_AB el área de la base y_PB el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma es

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Superficie de Prismas, Una ilustración de la altura y la base de un prisma para determinar el área de la superficie, StudySmarter

Ilustración de la altura y la base de un prisma para determinar el área de la superficie, StudySmarter Originals

¿Cuál es la superficie de un prisma triangular?

Si h es la altura de un prisma,_AB es el área de la base y_PB es el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Pero tenemos que adaptar esta fórmula a un triángulo, ya que un prisma triangular tiene la base de un triángulo. Como el área de un triángulo_At de base b y altura_ht es

$A_{t} = \frac{1}{2} b \times h_{t}$

y el perímetro de un triángulo _Pt con a, b, c es

$P_{t} = a + b + c$

entonces la superficie total de un prisma triangular_APtsería

$A_{P t} = 2 (\frac{1}{2} b \times h_{t}) + h (a + b + c) A_{P t} = 2 (\frac{1}{2} b \times h_{t}) + h (a + b + c) A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

Observa que_ht es la altura de la base triangular, mientras que h es la altura del propio prisma.

Superficie de Prismas, Una ilustración del área de un prisma triangular, StudySmarter

Ilustración del área de un prisma triangular, StudySmarter Originals

La superficie total de un prisma triangular es

suma de (producto de la base y la altura de la base triangular) y (producto de la altura del prisma y el perímetro del triángulo)

Halla la superficie total de la siguiente figura.

Superficie de prismas Cálculo de la superficie de un prisma triangular StudySmarter Calcular el área de la superficie de un prisma triangular, StudySmarter Originals

Solución:

La superficie total de un prisma triangular_APtes

$A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

b es 6 m

_ht es 4 m,

h es 3 m,

a es 5 m

y c es también 5 m (base triangular isósceles)

Luego sustituye en tu fórmula y resuelve.

$A_{P t} = (6 m \times 4 m) + 3 m (5 m + 6 m + 5 m) A_{P t} = (24 m^{2}) + 3 m (16 m) A_{P t} = 24 m^{2} + 48 m^{2} A_{P t} = 72 m^{2}$

¿Cuál es la superficie de un prisma rectangular?

Un prisma rectangular se llama cuboide si tiene base rectangular o cubo si tiene base cuadrada y la altura del prisma es igual al lado de la base cuadrada.

Donde h es la altura de un prisma,_AB es el área de la base y_PB es el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Pero tenemos que adaptar esta fórmula a un rectángulo, ya que un prisma rectangular tiene la base de un rectángulo. Como el área de un rectángulo_Ar de base b y altura _hr es

$A_{r} = b \times h_{r}$

y el perímetro del mismo rectángulo_Pr es

$P_{r} = 2 (b + h_{r})$

entonces la superficie total de un prisma triangular_APrsería

$A_{P r} = 2 (b \times h_{r}) + h (2 (b + h_{r})) A_{P r} = 2 (b \times h_{r}) + 2 h (b + h_{r}) A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

Observa que _hr es la altura de la base rectangular, mientras que h es la altura del propio prisma. Además, la base b y la altura _hr de la base rectangular se conocen también como la anchura y la longitud de la base rectangular.

Superficie de los prismas Ilustración de un prisma rectangular StudySmarter Ilustración de un prisma rectangular, StudySmarter Originals

La superficie total de un prisma rectangular es

El doble de la suma entre el producto de la base y la altura de la base rectangular y el producto de la altura del prisma y la suma de la base y la altura de la base rectangular

Halla el área total de la superficie de la siguiente figura.

Superficie de Prismas, Calcular la superficie de un prisma rectangular, StudySmarter Cálculo de la superficie de un prisma rectangular, StudySmarter Originals

Solución:

La superficie total de un prisma rectangular_APr es

$A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

b es 10 cm

_hr es de 6 cm

y h es 8 cm

Luego sustitúyelo en tu fórmula y resuelve.

id="5168087" role="matemáticas" $A_{P r} = 2 ((10 c m \times 6 c m) + 8 c m (10 c m + 6 c m)) A_{P r} = 2 ((60 c m^{2}) + 8 c m (16 c m)) A_{P r} = 2 (60 c m^{2} + 128 c m^{2}) A_{P r} = 376 c m^{2}$

Nota, para otros tipos de formas, basta con introducir sus áreas respectivas y hallar sus perímetros y aplicar la fórmula general

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

seguramente llegarías a la respuesta correcta.

Ejemplos de superficie de prismas

Te aconsejamos que pruebes tantos ejemplos como sea posible para aumentar tu competencia en la resolución de problemas sobre la superficie de prismas. A continuación encontrarás algunos ejemplos que te ayudarán.

Halla la superficie total de la siguiente figura.

Superficie de prismas, Más ejemplos sobre superficie de prismas, StudySmarter Más ejemplos sobre superficie de prismas, StudySmarter Originals

Solución:

Se trata de un prisma triangular. Antes de pasar a calcular su superficie total necesitamos hallar los lados de su base triangular.

Como la altura es de 9 cm y se trata de un triángulo isósceles, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para hallar el resto de los lados. Sea x el lado desconocido.

Superficie de Prismas, La base del prisma triangular StudySmarter La base del prisma triangular, StudySmarter Originals

entonces x es

$x^{2} = 5^{2} + 9^{2} x = \sqrt{5^{2} + 9^{2}} x = \sqrt{25 + 81} x = \sqrt{106} x = 10.3$

Ahora que conocemos el otro lado podemos aplicar nuestra fórmula

$A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

b es 10 cm

_ht es 9 cm

h es 6 cm,

a es 10,3 cm

y c también es 10,3 cm (base triangular isósceles)

Ahora sustituye en la fórmula y resuelve.

$A_{P t} = (10 c m \times 9 c m) + 6 c m (10.3 c m + 10 c m + 10.3 c m) A_{P t} = (90 c m^{2}) + 6 c m (30.6 c m) A_{P t} = 90 c m^{2} + 183.6 c m^{2} A_{P t} = 273.6 c m^{2}$

Halla la longitud de un cubo si su superficie total es de 150 ^cm2.

Solución:

Recuerda que es un tipo de prisma rectangular que tiene todas sus caras iguales. Sabiendo que la superficie total de un prisma rectangular_APr es

$A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

entonces para un cubo que tiene todas sus caras iguales,

$b = h_{r} = h$

entonces,

$A_{P r} = 2 ((b \times b) + b (b + b)) A_{P r} = 2 (b^{2} + b (2 b)) A_{P r} = 2 (b^{2} + 2 b^{2}) A_{P r} = 2 (3 b^{2}) A_{P r} = 6 b^{2}$

Se nos dice que la superficie total_APr es de 150 ^cm2, por lo que cada lado sería

$A_{P r} = 6 b^{2} 150 c m^{2} = 6 b^{2} \frac{150 c m^{2}}{6} = \frac{6 b^{2}}{6} b^{2} = 25 c m^{2} b = \sqrt{25 c m^{2}} b = 5 c m$

Esto significa que el cubo cuya superficie total es de 150 ^cm2 tiene una longitud de 5 cm.

Superficie de los prismas - Puntos clave

Un prisma es una figura geométrica tridimensional que tiene una sección transversal constante en toda su extensión. Un prisma tiene extremos idénticos y caras planas.
La superficie de cualquier prisma se puede calcular con la fórmula $s u r f a c e a r e a = (b a s e a r e a \times 2) + (b a s e p e r i m t e r \times l e n g t h)$

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¿Cuál es la superficie de un prisma triangular con tres lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm y una altura de 6 cm?

82 ^cm2

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Preguntas frecuentes sobre Superficie de prismas

¿Qué es la superficie de un prisma?

La superficie de un prisma es la suma de las áreas de todas sus caras, incluidas las bases y las caras laterales.

¿Cómo se calcula la superficie de un prisma rectangular?

Para calcular la superficie de un prisma rectangular, suma las áreas de las seis caras: 2(ab + bc + ac) donde a, b y c son las dimensiones de los lados.

¿Cómo se calcula la superficie de un prisma triangular?

Para calcular la superficie de un prisma triangular, suma el área de las dos bases triangulares y las áreas de las tres caras rectangulares laterales.

¿Cuál es la fórmula para la superficie lateral de un prisma?

La fórmula para la superficie lateral de un prisma es el perímetro de la base multiplicado por la altura del prisma.

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