Fundamentos de la Geometría: Teoremas, Prácticas

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Conceptos fundamentales de la geometría euclidiana

Al desvelar los secretos de los fundamentos de la geometría, Euclides se dio cuenta de que primero debían surgir los conceptos fundamentales más básicos. Había que responder a ciertas preguntas para definir estos constituyentes fundamentales del campo, como ¿qué es un punto o qué es una línea?

Puntos

Euclides definió un punto de la siguiente manera "un punto es aquello que no tiene parte". En esencia, esto significa simplemente que un punto es un lugar del espacio que no tiene dimensiones. Es decir, aunque tiene parámetros espaciales para definir su ubicación, en realidad no ocupa ningún espacio en sí.

Fundamentos de Geometría Un punto P(4,3) en un conjunto de ejes x-y StudySmarter Originals Un punto P(4,3) en un conjunto de ejes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Líneas

Euclides también definió algo llamado línea. La definió como "una longitud sin anchura". En esencia, sólo un segmento unidimensional con una longitud finita. Postuló que una línea podía extenderse infinitamente en cualquier dirección. Éste es un aspecto en el que la geometría moderna difiere de los fundamentos de Euclides, ya que ahora nos referimos a una línea extendida infinitamente simplemente como una línea y a la línea de longitud finita de Euclides como un segmento de línea. Es importante recordar esta distinción en aras de la corrección. Veamos la diferencia a continuación. Euclides también definió algo llamado semirrecta, que, al igual que la recta, tiene una longitud infinita, pero un punto de partida definido. A veces también se conoce como semirrecta.

Una recta es una figura unidimensional recta que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. Un segmento de recta es una figura unidimensional recta de longitud finita que une dos puntos. Un rayo es una figura unidimensional recta que se extiende infinitamente en una dirección, desde un punto de partida definido.

Fundamentos de Geometría Una recta sobre un conjunto de ejes x-y StudySmarter Originals Una línea sobre un conjunto de ejes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Fundamentos de Geometría Un segmento de recta sobre un conjunto de ejes x-y StudySmarter Original Un segmento de recta sobre un conjunto de ejes x-y, John Hannah - StudySmarter Original

Una semirrecta euclidiana sobre un conjunto de ejes x-y. Estudia mejor. Una semirrecta sobre un conjunto de ejes x-y, John Hannah - StudySmarter Original

Aviones

Un plano, en muchos sentidos, puede considerarse similar a una recta, pero en dos dimensiones. Un plano es simplemente una superficie que se extiende indefinidamente. Un plano puede existir tanto en espacios bidimensionales como en espacios tridimensionales y superiores.

Un plano es una figura bidimensional que se extiende indefinidamente en cuatro direcciones.

Fundamentos de Geometría Un plano sobre un conjunto de ejes x-y-z StudySmarter Originals Un plano sobre un conjunto de ejes x-y-z, John Hannah - StudySmarter Originals

Ángulos

Los ángulos fueron definidos por Euclides como "la inclinación de dos rectas". Esencialmente, puede describirse en términos más sencillos como la distancia de rotación entre dos rectas o segmentos de recta que comparten un punto, es decir, cuánto tendríamos que rotar una recta para que se alineara con la otra. El punto compartido se conoce como vértice del ángulo.

Un ángulo es una medida del espacio de rotación entre dos rectas o segmentos de recta.

Fundamentos de Geometría Dos segmentos de recta que forman un ángulo agudo, A StudySmarter Originals Dos segmentos de recta que forman un ángulo agudo, A, John Hannah - StudySmarter Originals

Dimensiones

Las dimensiones son un aspecto importante de los fundamentos de la geometría, que trata específicamente de las dimensiones espaciales. Las dimensiones espaciales en matemáticas y física pueden definirse como el número mínimo de coordenadas necesarias para describir un punto en ese espacio. Por ejemplo, una línea tiene 1 dimensión, ya que sólo se necesita un único número para especificar un punto de esa línea. Igualmente, si quisieras especificar un punto en un eje x-y necesitarías dos coordenadas, una x y otra y, en un conjunto de ejes tridimensionales, necesitarías una tercera coordenada, la z.

Las dimensiones son extensiones del espacio en una única dirección, cuya longitud puede utilizarse para describir la ubicación de un punto en esa dimensión. Se pueden combinar varias dimensiones para describir propiedades geométricas cada vez más complejas.

Fundamentos de Geometría Un punto en un espacio bidimensional StudySmarter Originals Un punto en un espacio bidimensional, John Hannah - StudySmarter Originals

Fundamentos de Geometría Un punto en un espacio tridimensional StudySmarter Originals Un punto en un espacio tridimensional, John Hannah, StudySmarter Originals

Área

El área es una medida que describe el tamaño de una determinada región bidimensional. Hay varias fórmulas que pueden utilizarse para calcular el área de determinadas formas. Una buena forma de visualizar el área es dividir un espacio bidimensional en cuadrados. El área de la forma es simplemente igual al número de cuadrados que contiene.

El área es una medida que describe el tamaño de una determinada región bidimensional del espacio.

Fundamentos de Geometría Representación del área de un triángulo sobre un conjunto de ejes x-y StudySmarter Originals Representación del área de un triángulo sobre un conjunto de ejes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Volumen

Al igual que el área, el volumen es una medida que cuantifica el tamaño de una determinada región del espacio. El volumen, sin embargo, cuantifica el tamaño de una región en el espacio tridimensional . Todas las formas tridimensionales tienen volumen, y al igual que ocurre con el área, existen muchas fórmulas útiles para calcular los volúmenes de diversas formas. Podemos visualizar el volumen de forma muy parecida al área, pero en lugar de utilizar pequeños cuadrados, contamos el número de pequeños cubos que hay dentro de una forma. La imagen siguiente representa un cubo en un espacio tridimensional. ¿Cuánto espacio ocupa el cubo? Pues bien, contando podemos ver que el cubo ocupa el espacio de 64 cubos más pequeños, cada uno con un volumen de 1 ^unidad3.

El volumen es una medida que describe el tamaño de una determinada región tridimensional del espacio.

Fundamentos de Geometría Un cubo en un espacio tridimensional StudySmarter Originals

Un cubo en un espacio tridimensional, John Hannah - Originales de StudySmarter

Unidades

Una parte importante de los fundamentos de la geometría es el uso de diversas unidades. En geometría, utilizamos dos tipos básicos de unidades: unidades de longitud y unidades de ángulos.

Una unidad es una convención que nos ayuda a definir lo grande que es algo. Porejemplo, una unidad de longitud puede ayudarnos a definir lo largo que es algo, y una unidad de volumen puede ayudarnos a definir lo grande que es una forma tridimensional.

Unidades de longitud

Existen dos sistemas principales de unidades de longitud. Estos sistemas son el métrico y el imperial . El sistema métrico se maneja con unidades de centímetros, metros, kilómetros, etc., mientras que el sistema imperial funciona con unidades de pulgadas, pies, yardas, millas, etc.

La longitud es una unidad unidimensional, sin embargo, existen unidades de 2 dimensiones (área) y de 3 dimensiones (volumen) que se componen de estas unidades de longitud. La convención para la denominación de estas dimensiones se muestra en la tabla siguiente.

Longitud	Superficie	Volumen
$c m$ $c m$	$c m^{2}$	$c m^{3}$
$m$	$m^{2}$	$m^{3}$
$k m$ $k m$	$k m^{2}$	$k m^{3}$

Unidades de ángulos

Los grados y los radianes son las dos unidades principales para medir ángulos, y es muy fácil tener problemas si la distinción entre ambas no está clara.

En primer lugar, es importante reconocer que los grados son una unidad de medida arbitraria que surgió simplemente del hecho de la rotación de la Tierra. Los antiguos, observando el movimiento de las constelaciones en el cielo en un ciclo anual, pensaron que, puesto que había 360 días en un año (en realidad hay 365, pero se acercaron bastante), debería haber 360 grados en una rotación completa. Esto ha demostrado ser una forma sencilla e intuitiva de discutir los ángulos como seres humanos, después de todo, no somos ordenadores y a veces los números decimales muy juntos pueden resultar confusos.

Sin embargo, desde que estos primeros eruditos se sentaron a mirar las estrellas, hemos descubierto otra forma, posiblemente más sólida desde el punto de vista matemático, de describir los ángulos. Esta unidad se conoce comoradián .

Los radianes, en lugar de estar relacionados simplemente con la "cantidad de rotación", están relacionados con la distancia recorrida alrededor de un arco. En realidad, los radianes son la distancia recorrida alrededor de un arco dividida por la distancia al punto de giro de ese arco. Si tomamos la ecuación que relaciona la circunferencia de un círculo con su radio, podemos hallar cuántos radianes hay en una rotación completa de ^360o.

$C = 2 πr$

$\frac{C}{r} = 2 π$

Así que en ^360o hay $2 π$ radianes. De esto se deduce que

Grados	Radianes
^360o	$2 π$
^180o	$π$
^90o	$\frac{π}{2}$
^45o	$\frac{π}{4}$

Al utilizar una calculadora, es importante saber si está configurada para tratar los ángulos como radianes o como grados cuando se trata de funciones trigonométricas, para obtener la respuesta correcta. Técnicamente, todas las funciones matemáticas que toman ángulos como entradas trabajan en radianes.

Los principios fundamentales de la geometría euclidiana

Euclides formuló cinco postulados fundamentales cuando se adentró en el campo de la geometría. Estos postulados eran principios fundamentales de la geometría que él consideraba evidentes por sí mismos, y que informaron todos los demás principios y conceptos de la geometría a partir de entonces.

Postulados de la geometría euclidiana

1. Se puede trazar un segmento de recta que una dos puntos cualesquiera.

2. 2. Todo segmento rectilíneo puede prolongarse indefinidamente en línea recta.

3. Dado un segmento rectilíneo cualquiera, se puede trazar una circunferencia cuyo radio sea el segmento y cuyo centro sea uno de sus extremos.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes.

5. 5. Dada una recta y un punto que no está en esa recta, existe un número infinito de rectas que pasan por el punto dado paralelas a la recta dada.

Fundamentos de Geometría - Puntos clave

Muchos de los fundamentos de la geometría que se utilizan hoy en día fueron popularizados por un matemático griego conocido como Euclides.
Un punto es un espacio de ubicación única que no tiene tamaño.
Una recta es una figura unidimensional que se extiende indefinidamente.
Un segmento de recta es una figura unidimensional con puntos inicial y final finitos.
Un plano es una figura bidimensional que se extiende indefinidamente.
Los ángulos son una medida de distancia rotacional.
Las dimensiones pueden describirse como las coordenadas necesarias para definir un punto en un espacio determinado.
El área es una medida del tamaño bidimensional de una forma.
El volumen es la medida del tamaño tridimensional de una forma.
Las unidades son una convención utilizada para definir el tamaño de diversas cantidades.
Las unidades de longitud son del sistema imperial o del sistema métrico decimal.
Las unidades de los ángulos son radianes o grados.
Euclides definió cinco postulados de la geometría que consideraba verdades evidentes.

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Preguntas frecuentes sobre Fundamentos de la Geometría

¿Qué son los fundamentos de la geometría?

Los fundamentos de la geometría son los conceptos básicos que incluyen puntos, líneas, planos, y sus relaciones.

¿Quién es considerado el padre de la geometría?

Euclides es considerado el padre de la geometría por su obra 'Elementos'.

¿Cuál es la importancia de la geometría en la vida diaria?

La geometría es importante para construir, diseñar, y entender el espacio y las formas a nuestro alrededor.

¿Qué estudia la geometría?

La geometría estudia las propiedades y relaciones de puntos, líneas, superficies y sólidos en el espacio.

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