Longitud del segmento

¿Cuál es la longitud de un segmento entre dos puntos?

La longitud de un segmento entre dos puntos es la distancia entre dos puntos. Un punto sirve como punto inicial, que es el lugar desde el que comienza la medición. Mientras, el otro es el punto final, que es el lugar donde se detiene la medición. A veces es un nombre con minúscula o a letras en mayúscula. Por ejemplo, si hay dos puntos A y B, podemos llamar al segmento de longitud existente entre A y B, o c, o podemos llamar simplemente al segmento de línea, AB.

Una imagen de un segmento de longitud, StudySmarter Originals

¿Cuáles son las coordenadas que existen en la longitud de un segmento entre dos puntos?

Como se trata de puntos, necesitamos conocer su posición en el plano cartesiano. En otras palabras, debemos conocer la posición del punto inicial y final en los ejes x e y. Esta posición se denomina coordenadas de los puntos del segmento de longitud y se escriben de la forma (_x1, _y1) y (_x2, _y2).

Aquí

_x1 significa la posición del punto inicial en el eje x,

_y1 significa la posición del punto inicial en el eje y,

_x2 significa la posición del punto final en el eje x

y

_y2 significa la posición del punto final en el eje y.

La imagen siguiente lo describe claramente.

Imagen gráfica de dos puntos de un segmento de longitud con sus coordenadas, StudySmarter Originals

Ahora podemos ver la longitud segmento no sólo como una distancia, sino que ahora consideramos los puntos que determinan esta distancia.

¿Cuál es la fórmula de la longitud del segmento entre dos coordenadas?

Para hallar la longitud del segmento, podemos crear un triángulo rectángulo y, a partir de ahí, utilizar el teorema de Pitágoras para resolver la distancia:

Una imagen muestra el uso del Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de un segmento a partir de dos puntos, StudySmarter Originals

Podemos ver que $∆y$ es la distancia vertical entre los puntos A y B. $∆x$ es la distancia horizontal entre los puntos A y B. Por tanto, podemos completar un triángulo pitagórico insertando la distancia entre los puntos A y B como $d$.

Utilizando el teorema de Pitágoras, sabemos:

$d^2=∆y^2+∆x^2$

Como la distancia entre dos puntos no puede ser negativa, sabemos:

$d=+\sqrt{∆y^2+∆x^2}$

Para los puntos A=($x_1,y_1$) y B=($x_2,y_2$):

$∆y=y_2-y_1$ y $∆x=x_2-x_1$

Por tanto:

$d=+\sqrt{{(y_2-y_1)}^2+{(x_2-x_1)}^2}$

Longitud de un segmento con puntos extremos

En algunos casos, puede que sólo te den los puntos extremos y los puntos medios y tengas que determinar la longitud de todo el segmento.

Cuando esto ocurre, el primer paso a seguir es encontrar el punto inicial que no se dio inicialmente. Así, para un punto inicial A(_x1, _y2), un punto medio M (_xm, _ym) y un punto final B (_x2, _y2), el punto medio para el eje x se calcula como

${\mathit{x}}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

y el punto medio para el eje y se calcula como:

${\mathit{y}}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

Sin embargo, lo que nos interesa es encontrar el punto inicial cuando sólo se dan el punto final y el punto medio. En este caso, basta con hacer que en sus respectivos casos _x1 o _y1 sean el sujeto de la fórmula. Esto significa que la coordenada del punto inicial en el eje x, _x1 es:

${\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}{\mathit{x}}_{\mathbf{m}}\mathbf{-}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}$

y la coordenada del punto inicial en el eje y, _y1 es:

${\mathit{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}{\mathit{y}}_{\mathbf{m}}\mathbf{-}{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}$

¿Cuál es la longitud de un segmento de círculo?

Un segmento de circunferencia está delimitado por un arco y una cuerda. El segmento de recta de una circunferencia puede ser el diámetro de una circunferencia cuando la recta pasa por el centro de la circunferencia o una cuerda si la recta pasa por cualquier otro lugar distinto del centro de una circunferencia.

Para calcular la longitud del segmento de una circunferencia cuando pasa por el centro, multiplica el radio dado por 2. Sin embargo, cuando pasa por fuera del centro, la longitud de un segmento de circunferencia es la longitud de la cuerda calculada como

$d=2r\times \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

Donde r es el radio y θ es el ángulo subtendido por el sector que forma el segmento.