Seguro conoces la circunferencia, esa figura redonda cuyo radio \(r\) tiene el mismo valor desde el origen. ¿Pero, sabes qué pasa si lo achatas un poco?: ya no tendría la misma forma, se vería como un huevo. Esa forma geométrica es la elipse, y es muy importante porque que muchos fenómenos en la naturaleza siguen este patrón geométrico.
Las órbitas de los planetas, por ejemplo, son elípticas.
¿Qué es una elipse?
Dependiendo del punto de vista, la elipse puede tener varias definiciones. Aquí vamos a tomar como base la definición de que se trata de un lugar geométrico del plano:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos —denominados focos— es constante.
En la Figura 1 puedes ver una elipse con centro en \((0, 0)\).
Elementos de la elipse
Para estudiar los elementos de la elipse, vamos a considerar la de la figura a continuación; es decir, una elipse centrada en el origen y que tiene sus ejes sobre los ejes de coordenadas.
Fig. 1: Elementos de una elipse.
Semieje menor: \(b\).
Semieje mayor: \(a\).
Focos: \(F\) y \(F'\).
Centro: \(O(0,0)\).
Vértices: \(A(a,0)\), \(A'(-a,0)\), \(B(0,b)\) y \(B'(0,-b)\).
Distancia focal: \(\overline{F'F}\).
Semidistancia focal: \(c\).
Radios vectores del punto \(K\): \(\overline{KF'}\) y \(\overline{KF}\).
A partir de estos elementos, podemos construir las relaciones fundamentales de la elipse; así como calcular su excentricidad, tal como veremos a continuación.
Relación fundamental de la elipse
Como dijimos al principio, la particularidad de la elipse consiste en que las suma de las distancias desde los focos a un punto de la elipse es constante. Esto también se cumple para el vértice \(A\), por lo que: \[\overline{KF'}+\overline{KF}=2a\]
Siendo \(a\) el semieje mayor que puedes ver en la Fig. 1.
Como el vértice \(B\) también pertenece a la elipse, si ahora \(K\) es el vértice \(B\), la ecuación anterior también se cumple: \[\overline{BF'}+\overline{BF}=2a\]
Si te fijas en la figura de la elipse, los puntos \(OBF\) forman un triángulo rectángulo; entonces, con la ecuación anterior podemos decir que: \[a^2=b^2+c^2\]
Esta es la relación fundamental de la elipse.
Excentricidad de la elipse
Una de las medidas más importantes de la elipse es su excentricidad.
Esto lo escucharás mucho en astronomía, cuando se habla de la excentricidad de las órbitas de los planetas. Por ejemplo, la órbita de Plutón, que es un planeta enano, tiene una alta excentricidad en comparación con la de Neptuno.
En un sentido simple: cuanto más excéntrica es la elipse, más achatada se hace y el valor de la excentricidad tiende a uno. Cuando su valor tiende a cero, esta elipse se transforma en un círculo.
La excentricidad está dada por la siguiente fórmula: \[\epsilon=\dfrac{c}{a}\]
Donde \(a\) es el semieje mayor y \(c\) es la semidistancia focal.
Esto lo puedes ver en la Figura 2:
Fig. 2: Parámetros que definen la excentricidad de una elipse.
Para comprender más y empezar a practicar, hagamos un ejercicio sobre la excentricidad de una elipse:
¿Cuál es la excentricidad de una elipse cuyos focos se encuentran en \((-2, 0)\) y \((2, 0)\) y sus vértices en el eje \(x\) son \((-2,4,0)\) y \((-2,4,0)\)?
Solución:
Como sabemos, la excentricidad está dada por la fórmula: \[\epsilon=\dfrac{a}{c}\]
A partir de las coordenadas de los focos y de los vértices, sabemos que \(a= 2\) y \(c=2,4\); por lo que tenemos: \[\epsilon=\dfrac{2}{2,4}=0,83\]
Por tanto, esta elipse tiene una excentricidad de \(\epsilon=0,83\).
Una característica fundamental de la excentricidad es que sus valores están entre \([0 \leq \epsilon \leq 1]\).
Ecuación de la elipse
Para definir la ecuación de la elipse, tenemos en cuenta su definición: \[d(K,F)+d(K,F')=2a\]
Desarrollando esto, llegamos a una relación entre las coordenadas del punto \(K(x,y)\), que se verifican para todos los puntos de la elipse: \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]
La ecuación general de la elipse cuyo centro está en el punto \(C(x_0,y_0)\) es: \[\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\]
Sigamos aprendiendo, a partir de ejemplos y ejercicios:
¿Cuáles son los valores del semieje mayor y el semieje menor en la ecuación para la elipse?
Fig. 3: Imagen de una elipse con centro en el origen (ejercicio).
Los valores se pueden deducir de la gráfica. Estos son:
Semieje mayor: \(a=2\)
Semieje menor: \(b=1\)
Orientación de las elipses
Las elipses que hemos visto han sido todas horizontales; es decir, que su eje mayor cae en el eje de las \(x\). Sin embargo, las elipses también pueden ser verticales. Un ejemplo de elipse vertical es el siguiente:
Fig. 4. Elipse con orientación vertical.
La ecuación de esta elipse es: \[\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\]
Como puedes ver, en este caso, lo que cambia son los valores de \(a\) y \(b\).
En consecuencia, la ecuación de la elipse vertical con centro en el punto \(C(x_0,y_0)\) es:
\[\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}=1\]
Una conexión importante entre las elipses y la astronomía está dada por las órbitas de los planetas. Durante los siglos después del medievo, se consideraba que los planetas seguían órbitas perfectamente circulares en el cielo —tal como establecía la teoría de Ptolomeo—. De acuerdo con esa teoría, los cuerpos celestes tenían órbitas perfectamente circulares y eran parte del modelo epicíclico establecido por Apolonio de Perga.
Sin embargo, había variaciones en la velocidad que los planetas describen en su movimiento celeste. Debido a esto, el astrónomo Johannes Kepler recabó datos que hechos por Tycho Brae. Entonces, Kepler ajusta matemáticamente las trayectorias para, finalmente, descubrir que los retrasos y movimientos extraños de los planetas que no se ajustaban a un círculo se debían a órbitas elípticas, parabólicas o hiperbólicas.
En el caso de los planetas que orbitan el Sol, su primera ley de movimiento orbital menciona que:
La órbita de todos los planetas sigue una trayectoria elíptica, donde el Sol está en uno de sus focos.
Una imagen de estas órbitas representando un cometa se puede ver en la Figura 5, donde \(F\) es la posición donde se encuentra el Sol.
Fig. 5: Representación de la órbita de un cometa alrededor del Sol, donde se puede apreciar la forma elíptica de esta órbita.
La elipse - Puntos clave
- La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos —denominados focos— es constante.
- Una elipse tiene diversos elementos; los más importantes son:
Semieje menor: \(b\).
Semieje mayor: \(a\).
Focos: \(F\) y \(F'\).
Centro: \(O(0,0)\).
Vértices: \(A(a,0)\), \(A'(-a,0)\), \(B(0,b)\) y \(B'(0,-b)\).
Distancia focal: \(\overline{F'F}\).
Semidistancia focal: \(c\).
Radios vectores del punto \(K\): \(\overline{KF'}\) y \(\overline{KF}\).
- En un sentido simple, cuanto más excéntrica sea la elipse, más achatada se hace y su valor tiende a uno. Cuando su valor tiende a cero, esta elipse se transforma en un círculo.
- La excentricidad está dada por la siguiente fórmula: \[\epsilon=\dfrac{c}{a}\]
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