La elipse

¿Qué es una elipse?

Dependiendo del punto de vista, la elipse puede tener varias definiciones. Aquí vamos a tomar como base la definición de que se trata de un lugar geométrico del plano:

En la Figura 1 puedes ver una elipse con centro en \((0, 0)\).

Elementos de la elipse

Para estudiar los elementos de la elipse, vamos a considerar la de la figura a continuación; es decir, una elipse centrada en el origen y que tiene sus ejes sobre los ejes de coordenadas.

Fig. 1: Elementos de una elipse.

• Semieje menor: \(b\).

• Semieje mayor: \(a\).

• Focos: \(F\) y \(F'\).

• Centro: \(O(0,0)\).

• Vértices: \(A(a,0)\), \(A'(-a,0)\), \(B(0,b)\) y \(B'(0,-b)\).

• Distancia focal: \(\overline{F'F}\).

• Semidistancia focal: \(c\).

• Radios vectores del punto \(K\): \(\overline{KF'}\) y \(\overline{KF}\).

A partir de estos elementos, podemos construir las relaciones fundamentales de la elipse; así como calcular su excentricidad, tal como veremos a continuación.

Relación fundamental de la elipse

Como dijimos al principio, la particularidad de la elipse consiste en que las suma de las distancias desde los focos a un punto de la elipse es constante. Esto también se cumple para el vértice \(A\), por lo que: \[\overline{KF'}+\overline{KF}=2a\]

Siendo \(a\) el semieje mayor que puedes ver en la Fig. 1.

Como el vértice \(B\) también pertenece a la elipse, si ahora \(K\) es el vértice \(B\), la ecuación anterior también se cumple: \[\overline{BF'}+\overline{BF}=2a\]

Si te fijas en la figura de la elipse, los puntos \(OBF\) forman un triángulo rectángulo; entonces, con la ecuación anterior podemos decir que: \[a^2=b^2+c^2\]

Esta es la relación fundamental de la elipse.

Excentricidad de la elipse

Una de las medidas más importantes de la elipse es su excentricidad.

En un sentido simple: cuanto más excéntrica es la elipse, más achatada se hace y el valor de la excentricidad tiende a uno. Cuando su valor tiende a cero, esta elipse se transforma en un círculo.

La excentricidad está dada por la siguiente fórmula: \[\epsilon=\dfrac{c}{a}\]

Donde \(a\) es el semieje mayor y \(c\) es la semidistancia focal.

Esto lo puedes ver en la Figura 2:

Fig. 2: Parámetros que definen la excentricidad de una elipse.

Para comprender más y empezar a practicar, hagamos un ejercicio sobre la excentricidad de una elipse:

Una característica fundamental de la excentricidad es que sus valores están entre \([0 \leq \epsilon \leq 1]\).

Ecuación de la elipse

Para definir la ecuación de la elipse, tenemos en cuenta su definición: \[d(K,F)+d(K,F')=2a\]

Desarrollando esto, llegamos a una relación entre las coordenadas del punto \(K(x,y)\), que se verifican para todos los puntos de la elipse: \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

La ecuación general de la elipse cuyo centro está en el punto \(C(x_0,y_0)\) es: \[\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\]

Sigamos aprendiendo, a partir de ejemplos y ejercicios:

Orientación de las elipses

Las elipses que hemos visto han sido todas horizontales; es decir, que su eje mayor cae en el eje de las \(x\). Sin embargo, las elipses también pueden ser verticales. Un ejemplo de elipse vertical es el siguiente:

Fig. 4. Elipse con orientación vertical.

La ecuación de esta elipse es: \[\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\]

Como puedes ver, en este caso, lo que cambia son los valores de \(a\) y \(b\).

En consecuencia, la ecuación de la elipse vertical con centro en el punto \(C(x_0,y_0)\) es:

\[\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}=1\]