En artículos como Ecuaciones de la recta en el espacio y Ecuaciones del plano en el espacio has aprendido cómo construir las ecuaciones de una recta, a partir de sus elementos —como un vector director, un punto que pertenece a la recta, etc.—, y lo mismo para el plano.
Entonces, como ya conoces las ecuaciones de las rectas y los planos en el espacio, en este comprenderás con mayor facilidad lo que veremos en este artículo: los ángulos formados en el espacio a partir del cruce de esos elementos.
Ángulo entre dos rectas
Dos rectas en el espacio pueden tener tres posiciones relativas:
Rectas coincidentes: las dos rectas se superponen y todos los puntos de una pertenecen a la otra.
Rectas paralelas: las dos rectas tienen vectores directores proporcionales y nunca se cortan en el espacio.
Rectas secantes: las dos rectas se cortan en un punto en el espacio.
Rectas que se cruzan: los vectores directores de las rectas no son proporcionales; pero, nunca se cortan en el espacio y forman un ángulo entre sí.
Como puedes observar, si las rectas son coincidentes o paralelas, el ángulo que forman entre ellas es nulo, puesto que sus vectores directores son proporcionales y ambas llevan la misma dirección. Sin embargo, cuando dos rectas son secantes, estas forman cuatro ángulos en el espacio —iguales, dos a dos—.
Fig. 1. Dos rectas secantes forman cuatro ángulos que son iguales, dos a dos.
También se cumple (como puedes ver en la figura anterior) que los dos ángulos distintos \(\alpha\) y \(\beta\) son sumplementarios; es decir, suman \(180º\). Por su parte, el ángulo entre dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos formados entre ellas.
Además, en dos rectas que se cruzan en el espacio, pero que no se cortan, el ángulo entre ellas es el formado por sus rectas paralelas, que sí se cortan. Si tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) que se cortan, con vectores directores \(\vec{u}_r\) y \(\vec{u}_s\), respectivamente, el ángulo entre las rectas es:
\[\cos(\alpha)=\cos(\widehat{r,s})=\dfrac{|\vec{u}_r·\vec{u}_s|}{|\vec{u}_r||\vec{u}_s|}\]
Dadas las rectas \(r\) y \(s\) con vectores directores \(\vec{u}_r=(2,3,-1)\) y \(\vec{u}_s=(-2,1,1)\), calcula el ángulo formado entre ellas.
Solución:
Dados los vectores directores de las rectas, el ángulo entre ellas es:
\[\begin{align}\cos(\alpha)&=\dfrac{|(2,3,-1)·(-2,1,1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}}=\\&=\dfrac{|2·(-2)+3·1+(-1)·1|}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\\&=\dfrac{2}{\sqrt{84}}\end{align}\]
Por lo tanto, el ángulo será:
\[\alpha=\arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{84}}\right)=77{,}4º\]
Vector director de una recta, a partir de sus ecuaciones implícitas
Recuerda que una recta en el espacio puede expresarse como la intersección de dos planos en el espacio, \(\pi\) y \(\pi'\). Esto conforma un sistema de ecuaciones implícitas del tipo:
\[\left\{\begin{array}\,Ax+By+Cz+D=0\\A'x+B'y+C'z+D'=0\end{array}\right.\]
Cada una de estas ecuaciones, corresponde a un plano, siendo el vector \(\vec{n}_\pi=(A,B,C)\) el normal del primer plano \(\pi\) y el vector \(\vec{n}_{\pi'}=(A',B',C')\) el normal del vector \(\pi'\).
Por tanto, el vector director de la recta \(r\) formada por estos planos es:
\[\vec{u}_r=\vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi'}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A & B & C \\ A' & B' & C' \end{vmatrix}\]
Ángulo entre dos planos
El ángulo formado entre dos planos es el mismo que el formado por los vectores normales de los planos. Puedes observa esto en la siguiente figura.
Fig. 2. El ángulo formado entre dos planos es el mismo que el formado entre los vectores normales de los planos.
De este modo, si tenemos las ecuaciones implícitas de los planos, podemos obtener fácilmente los vectores normales de los planos y calcular el ángulo entre ellos:
\[\cos(\alpha)=\cos(\widehat{\pi,\pi'})=\dfrac{|\vec{n}_\pi·\vec{n}_{\pi'}|}{|\vec{n}_\pi||\vec{n}_{\pi'}|}\]
Calcula el ángulo formado entre los planos:
\[\pi:\space 2x-3y+z=2\]
\[\pi':\space x-2y-z=1\]
Solución:
Los vectores normales de los planos son:
\[\vec{n}_\pi=(2,-3,1)\]
\[\vec{n}_{\pi'}=(1,-2,-1)\]
Por tanto, el coseno del ángulo entre los planos es:
\[\cos(\alpha)=\dfrac{|(2,-3,1)·(1,-2,-1)|}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\dfrac{7}{\sqrt{84}}\]
Y el ángulo es:
\[\alpha=\arccos\left(\dfrac{7}{\sqrt{84}}\right)=40{,}2º\]
Ángulo entre una recta y un plano
Una recta \(r\) que corta un plano \(\pi\) forma un ángulo \(\alpha\) entre la recta y su proyección sobre el plano. Como resulta más sencillo trabajar con el vector normal del plano, el ángulo entre este y el vector director de la recta es \(90-\alpha\); es decir, es el ángulo complementario.
Fig. 3. Ángulo formado entre una recta y un plano.
Por tanto, para calcular el ángulo entre la recta y el plano, hacemos:
\[\sin(\alpha)=\cos(90º-\alpha)=\dfrac{|\vec{u}_r·\vec{n}_\pi|}{|\vec{u}_r||\vec{n}_\pi|}\]
Perpendicularidad entre recta y plano
Una de las propiedades que podemos determinar es la perpendicularidad u ortogonalidad entre una recta y un plano. Para ello, lo que debemos determinar es si el vector director de la recta y el vector normal del plano son proporcionales; es decir: paralelos. Por tanto, si la recta con vector director \(\vec{u}_r=(u_x,u_y,u_z)\) y el plano con vector normal \(\vec{n}_\pi=(A,B,C)\) son perpendiculares, se cumple:
\[\dfrac{u_x}{A}=\dfrac{u_y}{B}=\dfrac{u_z}{C}\]
Determina si el plano \(\pi:\space 2x+4y-z=2\) es perpendicular a la recta \(r\) con vector director \(\vec{u}_r=(1,2,1)\).
Solución:
Para determinar si la recta y el plano son perpendiculares, debemos ver si sus vectores director y normal (respectivamente) son proporcionales. El vector normal del plano es, a partir de su ecuación implícita:
\[\vec{n}_\pi=(2,4,-1)\]
Por tanto, comprobamos si los dos vectoresson proporcionales:
\[\dfrac{u_x}{A}=\dfrac{1}{2}\]
\[\dfrac{u_y}{B}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
\[\dfrac{u_z}{C}=\dfrac{1}{-1}=-1\]
Como podemos ver, el cociente de las componentes del eje \(z\) no es igual a los otros dos cocientes. Por tanto, las rectas no son perpendiculares y forman un ángulo distinto de 90º.
Paralelismo entre recta y plano
De manera similar, podemos determinar si una recta y un plano son paralelos entre sí. Si esto ocurre, quiere decir que el vector director de la recta y el vector normal del plano son perpendiculares y, por tanto, su producto escalar es nulo. De este modo, podemos decir que si la recta y el plano son paralelos, se cumple:
\[\vec{u}_r·\vec{n}_pi=0\]
Determina si la recta con vector director \(\vec{u}_r=(2,-3,1)\) es paralela al plano \(\pi:\space 3x+y-3z=2\).
Solución:
Si la recta y el plano son paralelos, se debe cumplir:
\[\vec{u}_r·\vec{n}_pi=0\]
Por tanto, calculando con los datos que nos dan:
\[(2,-3,1)·(3,1,-3)=2·3+(-3)·1+1·(-3)=0\]
El producto escalar es nulo; entonces, podemos afirmar que esta recta y este plano son paralelos entre sí.
Ángulos en el espacio - Puntos clave
- Dos rectas en el espacio pueden tener tres posiciones relativas:
Rectas coincidentes: las dos rectas se superponen y todos los puntos de una pertenecen a la otra.
Rectas paralelas: las dos rectas tienen vectores directores proporcionales y nunca se cortan en el espacio.
Rectas secantes: las dos rectas se cortan en un punto en el espacio.
El ángulo entre dos rectas es:
\[\cos(\alpha)=\cos(\widehat{r,s})=\dfrac{|\vec{u}_r·\vec{u}_s|}{|\vec{u}_r||\vec{u}_s|}\]
El ángulo entre dos planos es:
\[\cos(\alpha)=\cos(\widehat{\pi,\pi'})=\dfrac{|\vec{u}_\pi·\vec{u}_{\pi'}|}{|\vec{u}_\pi||\vec{u}_{\pi'}|}\]
El ángulo entre una recta y un plano es:
\[\sin(\alpha)=\cos(90º-\alpha)=\dfrac{|\vec{u}_r·\vec{n}_\pi|}{|\vec{u}_r||\vec{n}_\pi|}\]
Si una recta y un plano son perpendiculares, se cumple:
\[\dfrac{u_x}{A}=\dfrac{u_y}{B}=\dfrac{u_z}{C}\]
Si una recta y un plano son paralelos, se cumple:
\[\vec{u}_r·\vec{n}_pi=0\]
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