Muchas magnitudes (como la velocidad o la aceleración) están asociadas, además del módulo, a una dirección y sentido. Por esta razón, se expresan no sólo como números (que en estos casos se llaman escalares) sino como vectores.
Los vectores son objetos matemáticos que nos dan más información, aparte del valor de la magnitud.
Por ejemplo, si te dicen que un coche va a 40 m/s, esto nos dice la magnitud de la velocidad del coche. Pero, si te dicen que va de Sevilla a Valencia, también te están indicando una dirección e, incluso, un sentido. Con un vector puedes expresar toda esta información.
Un vector es un objeto matemático que expresa la magnitud (módulo), dirección y sentido. Se dibujan como una flecha, en la que la longitud de la fecha expresa el módulo, la orientación de la flecha expresa la dirección con respecto al sistema de coordenadas y el sentido lo indica la punta de la flecha.
Fig. 1; Representación gráfica de un vector, donde se aprecia que es una flecha con una determinada longitud y dirección y sentido. Vectores fijos
Los vectores son objetos que tienen un punto de origen y un punto de extremo. Debido a esto, dependiendo del punto de origen y del extremo, cada vector tendrá: un módulo, una dirección y un sentido.
Entonces, si tenemos un vector con origen en el punto \(A\) y con extremo en el punto \(B\):
El módulo del vector \(\overrightarrow{AB}\) es la distancia entre el punto de origen y el punto extremo. Su valor siempre es un número real positivo o nulo. El módulo se escribe como \(|\overrightarrow{AB}|\).
La dirección del vector \(\overrightarrow{AB}\) viene determinada por la recta que contiene los puntos de origen y el extremo.
El sentido del vector \(\overrightarrow{AB}\) se considera dentro de la dirección, puesto que cada dirección tiene dos sentidos —como el que va desde el origen \(A\) hasta el extremo \(B\)—.
Vectores equipolentes y vectores libres
Se dice que dos vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Se representa como:
\[\overrightarrow{AB}\approx\overrightarrow{CD}\]
Otra definición sería que dos vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\), que pertenecen a dos rectas diferentes, son equipolentes si el cuadrilátero con vértices \(ABCD\) es un paralelogramo.
Fig. 2: Aunque estén representados en ubicaciones distintas, los vectores \(u\) y \(v\) son vectores equipolentes: tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. También, podemos observar que entre ambos se forma un paralelepípedo.
Tras esta definición, podemos pasar lo que es un vector libre:
Se llama vector libre al conjunto de vectores formado por todos los vectores equipolentes a un vector fijo.
Ten en cuenta que todas estas definiciones se aplican a todos los vectores, en cualquier dimensión. Normalmente trabajarás con vectores en el plano o en el espacio —vectores de dos o tres dimensiones— y, por tanto, coordenadas, respectivamente.
Vectores linealmente independientes
Si tenemos varios vectores de la forma \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\), ... , \(\vec{u}_n\), podemos definir una combinación lineal de estos vectores de la forma \(a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+...+a_n\vec{u}_n\); siendo los coeficientes \(a_1,...,a_n\) números reales.
Por tanto, el vector \(\vec{u}\) se dice que depende linealmente del conjunto de vectores \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\), ... , \(\vec{u}_n\), si \(\vec{u}\) se puede escribir como una combinación lineal de este conjunto. En caso de que \(\vec{u}\) no se pueda expresar como una combinación lineal de este conjunto de vectores, se dice que \(\vec{u}\) es linealmente independiente de este conjunto.
Coordenadas y bases
¡Ahora, ya sabes qué son los vectores y las relaciones que hay ente ellos! Pero, ¿cómo los representamos y cómo los ubicamos en el plano o en el espacio?: asignamos coordenadas a los vectores.
Las coordenadas son una serie de números que indican la posición de un punto con respecto a un origen, normalmente, el origen de coordenadas.
El primer número corresponde a la posición con respecto al eje \(x\), el segundo número corresponde a la posición con respecto al eje \(y\) y, si hay un tercero, corresponde a la posición con respecto al eje \(z\).
Si tenemos los puntos \(A=(2,4)\) y \(B=(5,2)\), ¿cuál es el vector definido como \(\overrightarrow{AB}\)?
Solución:
En primer lugar, observamos que este vector está contenido en el plano, puesto que los puntos solo tienen dos coordenadas.
El vector que va de un origen a un extremo se define con las coordenadas: \(\overrightarrow{AB}=B-A\).
Por tanto:
\[\overrightarrow{AB}=(5,2)-(2,4)=(3,-2)\]
A partir de los vectores \(\vec{u}=(3,5,0)\) y \(\vec{v}=(2,0,1)\), calcula un tercer vector \(\vec{w}\) que sea una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
Solución:
En este caso, tenemos vectores en el espacio, porque tienen tres coordenadas.
Según la definición anterior de combinación lineal de vectores, podemos decir que el vector \(\vec{w}\) es:
\[\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\]
Siendo \(a\) y \(b\) números reales.
Por tanto, podemos elegir aleatoriamente estos números para formar cualquier combinación lineal. Vamos a elegir, por ejemplo, \(a=-1\) y \(b=2\).
Entonces, el vector \(\vec{w}\):
\[\vec{w}=-1\vec{u}+2\vec{v}=(-3,-5,0)+(4,0,2)=(1,-5,2)\]
En estos dos ejemplos, hemos realizado cálculos con vectores.
Vector unitario
Como ya hemos dicho, una de las características de un vector es su longitud —denominada módulo—. Por tanto, dos vectores pueden tener misma dirección y sentido, pero distinto módulo. Esto significa que si, por ejemplo, estos vectores están asociados a las velocidades de dos coches, los dos coches se mueven en la misma dirección y el mismo sentido, pero el de mayor módulo es el que más rápido se mueve.
Dicho esto, podemos definir vectores que tengan módulo unitario; es decir, igual a la unidad.
Un vector unitario es aquel que tiene módulo unidad.
Dicho esto, vamos a ver un ejemplo.
Determina si los siguientes vectores son unitarios, o no.
\[\vec{a}=(1,0,1)\]
\[\vec{b}=(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\]
\[\vec{c}=(0,-1)\]
\[\vec{d}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)\]
Solución:
Calculamos el módulo del vector \(\vec{a}\):
\[|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}\neq 1\]
Por tanto, este vector no tiene módulo unidad y no es unitario. Probemos con el vector \(\vec{b}\):
\[|\vec{b}|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}}=1\]
Podemos decir que el vector \(\vec{b}\) es unitario porque su módulo es igual a la unidad.
Ahora, calculemos el módulo del vector \(\vec{c}\):
\[|\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{1}=1\]
El vector \(\vec{c}\) es, también, un vector unitario.
Por último, para calcular el módulo del vector \(\vec{d}\), se introduce el factor dentro de cada una de las coordenadas, para tenerlo en cuenta:
\[|\vec{d}|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}=1\]
Por tanto, el vector \(\vec{d}\) es, también, un vector unitario.
Bases
Una base es un conjunto de vectores que son linealmente independientes entre sí; por tanto, podemos expresar el resto de vectores como una combinación lineal de los vectores de esta base.
- Una base en el plano, al ser de dimensión 2 —también llamada base de \(\mathbb R^2\)— estará formada por cualesquiera dos vectores linealmente independientes. A partir de estos, puede expresarse cualquier otro vector.
- En el espacio, al constar de 3 dimensiones, se necesitan tres vectores linealmente independientes para formar una base de \(\mathbb R^3\).
Se sabe que los vectores \(\vec{u}_1=(2,1)\) y \(\vec{u}_2=(3,0)\) forman una base de \(\mathbb R^2\).
Expresa el vector \(\vec{v}=(-1,2)\) en esta base.
Solución:
Si \(\vec{u}_1\) y \(\vec{u}_2\) forman una base, quiere decir que son linealmente independientes y, por tanto, cualquier otro vector de \(\mathbb R^2\) puede expresarse como una combinación lineal de estos dos vectores:
\[\vec{v}=\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\]
Separamos en componentes:
\[(v_1,v_2)=\alpha(2,1)+\beta(3,0)\]
Expresamos como un sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{align}\ v_1&=2\alpha+3\beta\\v_2&=\alpha\end{align}\right.\]
Resolvemos este sistema por el método que más nos convenga. En este caso, ya tenemos despejado \(\alpha=2\). Entonces, sustituimos en la primera ecuación y obtenemos \(\beta=-\dfrac{5}{3}\). Por tanto, ya tenemos los coeficientes de la combinación lineal.
El vector \(\vec{v}\) se expresa en la nueva base como:
\[\vec{v}=2\vec{u}_1-\dfrac{5}{3}\vec{u}_2\]
Para poder determinar si un conjunto de vectores forma una base, podemos realizar el determinante de la matriz formada por estos vectores:
Si el determinante resulta ser \(0\), indica que los vectores son linealmente dependientes y por tanto, no pueden formar una base.
Si, por el contrario, el determinante resulta ser distinto de \(0\), los vectores son linealmente independientes y pueden formar una base.
Si una base está formada por vectores ortogonales entre sí, se dice que la base es ortogonal.
Si además de perpendiculares, los vectores son unitarios, la base es ortonormal.
Si aún no sabes lo que es una matriz y un determinante, pásate por nuestro artículos de Matrices y Determinantes, donde te explicamos todo lo que necesitas saber
Determina el valor de \(\alpha\) para que los vectores \(\vec{u}_1=(2,\alpha,0)\), \(\vec{u}_2=(\alpha,1,1)\) y \(\vec{u}_3=(0,-2,2)\) sean linealmente dependientes.
Solución:
Si estos vectores son linealmente dependientes, significa que el determinante de la matriz formada por ellos es nula. Esto es:
\[\begin{vmatrix}2&\alpha&0\\ \alpha&1&1\\0&-2&2\end{vmatrix}=0\]
Si aplicamos la regla de Sarrus para calcular el determinante y lo igualamos a cero, obtenemos:
\[\det\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}=2·1·2+\alpha ·(-2)·0+\alpha ·1·0-0·1·0-2\alpha ^2+4=0\]
\[4-2\alpha ^2+4=0\Rightarrow\alpha=\pm 2\]
Por tanto, si \(\alpha=\pm 2\), entonces estos vectores son linealmente dependientes y no forman una base de \(\mathbb R^3\).
Base canónica
Las bases canónicas son bases formadas por vectores linealmente independientes que, además, son unitarios y perpendiculares entre sí.
Según esta definición, puede haber más de una base canónica para cada dimensión. Sin embargo, a continuación, vamos a mostrarte las bases canónicas más utilizadas en \(\mathbb R^2\) y en \(\mathbb R^3\):
La base canónica de \(\mathbb R^2\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0)\) y \(\vec{\jmath}=(0,1)\). Esta base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\}\).
Por tanto, todos los vectores del plano pueden expresarse como una combinación lineal de estos dos vectores:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}\]
Fig. 3: Base canónica de \(\mathbb R^2\).
Expresa el vector \(\vec{v}=(3,-5)\) como una combinación lineal en la base canónica.
Solución:
Representamos la combinación lineal:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}\]
\[(3,-5)=\alpha_1(1,0)+\alpha_2(0,1)\]
Este sistema tiene soluciones directas con \(\alpha_1=3\) y \(\alpha_2=-5\). Por tanto, el vector se expresa en la base canónica como:
\[\vec{v}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}\]
La base canónica de \(\mathbb R^3\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0,0)\), \(\vec{\jmath}=(0,1,0)\) y \(\vec{k}=(0,0,1)\). Esta base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}\).
De igual manera, todos los vectores en el espacio pueden expresarse en términos de la base canónica:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}+\alpha_3\vec{k}\]
Fig. 4: Base canónica de \(\mathbb R^3\).
Representa los siguientes vectores como una combinación lineal de la base canónica:
\[\vec{u}=(2,1,-3)\]
\[\vec{v}=(0,0,2)\]
\[\vec{w}=(1,-3,0)\]
Solución:
Usando la base canónica en \(\mathbb R^3\):
\[\vec{u}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-3\vec{k}\]
\[\vec{v}=2\vec{k}\]
\[\vec{w}=\vec{\imath}-3\vec{\jmath}\]
Como puedes observar en el último caso, la base canónica de \(\mathbb R^2\) está contenida en la base canónica de \(\mathbb R^3\).
Vectores - Puntos clave
- Un vector es un objeto matemático que expresa módulo, dirección y sentido.
- Los vectores se dibujan como una flecha, en la que la longitud de la fecha expresa el módulo, la orientación expresa la dirección con respecto al sistema de coordenadas y el sentido está indicado la punta de la flecha.
- Se dice que dos vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
- Se llama vector libre al conjunto de vectores formado por todos los vectores equipolentes a un vector fijo.
- Un vector unitario es aquel que tiene módulo unidad.
- Una base es un conjunto de vectores que son linealmente independientes entre sí; por tanto, podemos expresar el resto de vectores como una combinación lineal de los vectores de esta base.
- Las bases canónicas son bases formadas por vectores linealmente independientes que, además, son unitarios y perpendiculares entre sí.
- La base canónica de \(\mathbb R^2\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0)\) y \(\vec{\jmath}=(0,1)\). La base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\}\).
- La base canónica de \(\mathbb R^3\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0,0)\), \(\vec{\jmath}=(0,1,0)\) y \(\vec{k}=(0,0,1)\). La base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}\).
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