Una vez que conocemos las ecuaciones de la recta en el plano, nos puede surgir el siguiente problema: dadas dos ecuaciones de rectas, ¿cómo se relacionan las rectas entre sí?, ¿se cortan en algún punto? o ¿no se cortan nunca? ¡Incluso, puede que las dos ecuaciones se refieran a la misma recta!
En este artículo veremos cómo resolver este tipo de preguntas sobre las posiciones relativas de rectas en el plano. Empecemos por definirlas.
Posiciones relativas de rectas
Como ya sabes de años anteriores, las rectas en un plano pueden cortarse en un punto, en ninguno o en infinitos. De este modo, diferenciamos entre:
Rectas secantes: son las que se cortan en un punto.
Rectas paralelas: son las que no se cortan nunca.
Rectas coincidentes: son las que se superponen, una a la otra; es decir, son la recta misma.
A continuación puedes ver una representación de estas tres posiciones relativas.
Fig. 1: Posiciones relativas de rectas:a) rectas secantes b) rectas paralelas c) rectas coincidentes.
Ahora que ya sabemos qué posiciones puede tener una recta con respecto a otra, vamos a ver distintos métodos para reconocer estas posiciones a partir de las ecuaciones de la recta.
Posiciones relativas según los vectores directores
Una manera de saber la posición relativa entre dos rectas es comparando sus vectores directores. Como el vector director indica la dirección de cada recta, viendo si estos vectores van en la misma dirección o en direcciones distintas, podemos saber si son rectas paralelas, coincidentes o secantes.
Entonces, si tenemos dos rectas \(r\) y \(s\), con vectores directores \(\vec{u}_r\) y \(\vec{u}_s\), las rectas son:
Secantes: si los vectores directores de cada una no son paralelos entre sí; es decir, no son proporcionales \(\vec{u}_r\neq \lambda\vec{u}_s\).
Paralelas o coincidentes: si los vectores directores de cada recta son paralelos; es decir, son proporcionales \(\vec{u}_r=\lambda \vec{u}_s\).
Como puedes ver, por este método no podemos distinguir si dos rectas son paralelas o coincidentes, porque en ambos casos sus vectores directores son proporcionales.
El mismo proceso se puede hacer con los vectores normales de las rectas: si estos vectores son proporcionales, entonces las rectas son paralelas o coincidentes; si no son proporcionales, las rectas son secantes.
Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:
\[r: \space (x,y)=(1,2)+t(4,-3)\]
\[s: \space \dfrac{x-1}{-8}=\dfrac{x+3}{6}\]
Solución:
Como podemos observar, cada recta está expresada de una forma distinta. La recta \(r\) está en forma vectorial y la recta \(s\), en forma continua. Tenemos que obtener el vector director de cada una de estas rectas. Para ello, debemos conocer cada una de estas ecuaciones.
Para la recta \(r\), el vector director es el que va con el parámetro \(t\):
\[\vec{u}_r=(4,-3)\]
Para la recta \(s\), el vector director se forma a partir de los denominadores:
\[\vec{u}_s=(-8,6)\]
Ahora vemos si estos vectores son proporcionales, dividiendo coordenada a coordenada y verificando si esta división produce el mismo número. En este caso:
\[x:\dfrac{-8}{4}=-2\]
\[y:\dfrac{6}{-3}=-2\]
Por tanto, los vectores son proporcionales y podemos decir que las rectas son paralelas o coincidentes.
Posiciones relativas según las pendientes
Como ya explicamos en el tema sobre las Ecuaciones de la recta en el plano, la inclinación de una recta viene dada por su pendiente \(m\). Podemos encontrar este parámetro, explícitamente, en la ecuación punto-pendiente de la recta o en la ecuación explícita de la recta. Asimismo, una manera de determinar la posición relativa entre dos rectas es comparando sus pendientes. Veámoslo a continuación.
Si tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) con pendientes \(m_r\) y \(m_s\), correspondientemente, pueden ser:
Determina la posición relativa de las siguientes rectas:
\[r:\space y-2=3(x+4)\]
\[s:\space \left\{\begin{array}\,x=2-3t\\y=-1-t\end{array}\right.\]
Solución:
Como puedes ver, la recta \(r\) está en forma punto-pendiente, por lo que la pendiente es fácil de determinar:
\[m_r=3\]
La recta \(s\) está en forma paramétrica y, por tanto, tenemos que calcular la pendiente a partir del vector director, cuyas coordenadas son los coeficientes que van con el parámetro \(t\):
\[\vec{u}_s=(-3,-1)\]
La pendiente será la división de la coordenada \(y\) entre la coordenada \(x\) del vector director:
\[m_s=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\]
Las pendientes son distintas, por lo que podemos decir que las rectas son secantes.
Posiciones relativas a partir de la ecuación general de la recta
Dadas dos rectas, siempre podremos expresarlas mediante su ecuación general o implícita. A partir de estas ecuaciones, podemos formar un sistema con el que —sin necesidad de resolverlo— podemos ver si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes. Para ello, tenemos que tener las dos ecuaciones en forma implícita:
\[r:\space Ax+By+C=0\]
\[s:\space A'x+B'y+C'=0\]
Las rectas son:
Secantes: si \(\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}\), el sistema formado por las dos rectas tiene solución única y esta solución es el punto donde se cortan ambas rectas.
Paralelas: si \(\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}\), el sistema formado por las dos rectas no tiene ninguna solución; esto es porque no hay ningún punto en común que satisfaga las dos ecuaciones a la vez.
Coincidentes: si \(\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}\), el sistema tiene infinitas soluciones, puesto que ambas rectas tienen infinitos puntos en común que satisfacen ambas ecuaciones a la vez.
Gracias a este método, podemos determinar muy fácilmente la posición relativa entre dos rectas; solo basta con tener ambas rectas en forma implícita. Además, si las rectas son secantes, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas rectas, obtenemos el punto en el que se cortan.
Dadas las rectas:
\[r:\space 3x+4y-2=0\]
\[s:\space y=-3x+2\]
\[t:\space y-1=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\]
\[u:\space 6x+8y-2=0\]
Determina las posiciones relativas entre:
a) \(r\) y \(s\)
b) \(s\) y \(t\)
c) \(r\) y \(u\)
Solución:
a) La recta \(r\) ya está en forma implícita, así que tenemos que llevar la recta \(s\) —que está en forma explícita— a su forma implícita:
\[y=-3x+2\Rightarrow 3x+y-2=0\]
Ahora, identificamos términos y dividimos:
\[\dfrac{A}{A'}=\dfrac{3}{3}=1\]
\[\dfrac{B}{B'}=\dfrac{4}{1}=4\]
Como vemos, se da el caso en que \(\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}\); por tanto, estas dos rectas son secantes.
b) Calculamos la ecuación implícita de la recta \(t\):
\[y-1=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\Rightarrow y-1=-3x+1\Rightarrow 3x+y-2=0\]
Ahora, identificamos términos y dividimos:
\[\dfrac{A}{A'}=\dfrac{3}{3}=1\]
\[\dfrac{B}{B'}=\dfrac{1}{1}=1\]
Por tanto, se cumple \(\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\) y, de momento, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes. Diferenciamos entre estas dos situaciones, en función del parámetro \(C\):
\[\dfrac{C}{C'}=\dfrac{-2}{-2}=1\]
Como el valor de esta división es igual a los valores anteriores, concluimos que las rectas \(s\) y \(t\) son coincidentes.
c) Las dos rectas están en forma implícita, por lo que:
\[\dfrac{A}{A'}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\]
\[\dfrac{B}{B'}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\]
\[\dfrac{C}{C'}=\dfrac{-2}{-2}=1\]
Como solo las dos primeras divisiones son iguales y la última no, concluimos que estas rectas son paralelas.
Haz de rectas secantes
Como antes hemos visto, dos rectas secantes cortan en un punto. Podemos crear un haz de rectas que sean todas secantes en el mismo punto; a esto se le conoce como haz de rectas secantes de vértice \(P(a,b)\). Las ecuaciones de todas estas rectas son:
\[y-b=m(x-a)\]
- Donde \(a\) y \(b\) son las coordenadas del vértice del haz de rectas y lo único que varía es la pendiente \(m\).
Para que el haz quede completo, debemos añadir la recta \(x=a\), puesto que también pasa por el punto \(P(a,b)\), pero no se tiene la ecuación mencionada anteriormente.
En la Fig. 2 puedes ver un haz de rectas con vértice en \(P(-1,2)\).
Fig. 2. Haz de rectas secantes con vértice en \(P(-1,2)\).
¿Las rectas \(r:\space y+4=-2(x+2)\), \(s:\space x+y+6=0\) y \(t:\space \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+4}{3}\) forman parte del mismo haz de rectas?
Solución:
Las rectas que forman parte del mismo haz de rectas secantes tienen pendientes distintas y todas se cortan en el mismo punto. Para ver esto, pasamos todas las ecuaciones a la forma punto-pendiente; excepto la recta \(r\), que ya está en forma punto-pendiente.
La recta \(s\):
\[y=-x-6\Rightarrow y+4=m(x+2)\Rightarrow m=-1\]
Por lo tanto, la recta \(s\) es \(y+4=-1(x+2)\).
La recta \(t\):
\[3(x+2)=2(y+4)\Rightarrow y+4=\dfrac{3}{2}(x+2)\]
Como podemos ver, las tres rectas pasan por el punto \(P(-2,-4)\), pero cada una tiene una pendiente distinta. Por lo tanto, estas tres rectas forman parte del mismo haz de rectas.
Haz de rectas paralelas
Algo parecido podemos ver con las rectas paralelas. Se puede crear un haz de rectas paralelas a partir de la ecuación explícita de una recta en la que solo cambiamos la ordenada en el origen. En consecuencia, un haz de rectas paralelas se define como:
\[y=mx+n\]
- Donde \(m\) es fija y \(n\) es la ordenada en el origen que va cambiando para cada recta del haz de rectas paralelas.
Fig. 3: Haz de rectas paralelas.
Crea un haz de rectas paralelas que tengan pendiente \(m=2\).
Solución:
Para que las rectas sean paralelas, todas tienen que tener la misma pendiente. En este caso, sabemos que \(m=2\). Entonces, la ecuación del haz de rectas será:
\[y=2x-n\]
Puedes sustituir la ordenada en el origen por cualquier valor para obtener una recta distinta cada vez, pero todas serán paralelas entre sí.
Posiciones relativas de rectas en el plano - Puntos clave
Rectas secantes: se cortan en un punto.
Rectas paralelas: no se cortan nunca.
Rectas coincidentes: se superponen una a la otra; es decir, son la recta misma.
Dos rectas son secantes si sus vectores directores no son proporcionales entre sí y son paralelas o coincidentes si sus vectores directores son proporcionales entre sí.
Dos rectas son secantes si tienen pendientes distintas y son paralelas o coincidentes si tienen la misma pendiente.
Un haz de rectas secantes tiene la ecuación: \(y-b=m(x-a)\), con \((a,b)\) de coordenadas del vértice donde se cortan todas.
Un haz de rectas paralelas tiene la ecuación: \(y=mx+n\), donde \(m\) es fijo y \(n\) varía.
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