Posiciones relativas de rectas en el plano

Posiciones relativas de rectas

Como ya sabes de años anteriores, las rectas en un plano pueden cortarse en un punto, en ninguno o en infinitos. De este modo, diferenciamos entre:

• Rectas secantes: son las que se cortan en un punto.

• Rectas paralelas: son las que no se cortan nunca.

• Rectas coincidentes: son las que se superponen, una a la otra; es decir, son la recta misma.

A continuación puedes ver una representación de estas tres posiciones relativas.

Fig. 1: Posiciones relativas de rectas:a) rectas secantes b) rectas paralelas c) rectas coincidentes.

Ahora que ya sabemos qué posiciones puede tener una recta con respecto a otra, vamos a ver distintos métodos para reconocer estas posiciones a partir de las ecuaciones de la recta.

Posiciones relativas según los vectores directores

Una manera de saber la posición relativa entre dos rectas es comparando sus vectores directores. Como el vector director indica la dirección de cada recta, viendo si estos vectores van en la misma dirección o en direcciones distintas, podemos saber si son rectas paralelas, coincidentes o secantes.

Entonces, si tenemos dos rectas \(r\) y \(s\), con vectores directores \(\vec{u}_r\) y \(\vec{u}_s\), las rectas son:

• Secantes: si los vectores directores de cada una no son paralelos entre sí; es decir, no son proporcionales \(\vec{u}_r\neq \lambda\vec{u}_s\).

• Paralelas o coincidentes: si los vectores directores de cada recta son paralelos; es decir, son proporcionales \(\vec{u}_r=\lambda \vec{u}_s\).

Como puedes ver, por este método no podemos distinguir si dos rectas son paralelas o coincidentes, porque en ambos casos sus vectores directores son proporcionales.

El mismo proceso se puede hacer con los vectores normales de las rectas: si estos vectores son proporcionales, entonces las rectas son paralelas o coincidentes; si no son proporcionales, las rectas son secantes.

Posiciones relativas según las pendientes

Como ya explicamos en el tema sobre las Ecuaciones de la recta en el plano, la inclinación de una recta viene dada por su pendiente \(m\). Podemos encontrar este parámetro, explícitamente, en la ecuación punto-pendiente de la recta o en la ecuación explícita de la recta. Asimismo, una manera de determinar la posición relativa entre dos rectas es comparando sus pendientes. Veámoslo a continuación.

Si tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) con pendientes \(m_r\) y \(m_s\), correspondientemente, pueden ser:

• Secantes: si las rectas tienen pendientes distintas \(m_r\neq m_s\).

• Paralelas o coincidentes: si las rectas tienen la misma pendiente \(m_r=m_s\).

Posiciones relativas a partir de la ecuación general de la recta

Dadas dos rectas, siempre podremos expresarlas mediante su ecuación general o implícita. A partir de estas ecuaciones, podemos formar un sistema con el que —sin necesidad de resolverlo— podemos ver si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes. Para ello, tenemos que tener las dos ecuaciones en forma implícita:

\[r:\space Ax+By+C=0\]

\[s:\space A'x+B'y+C'=0\]

Las rectas son:

• Secantes: si \(\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}\), el sistema formado por las dos rectas tiene solución única y esta solución es el punto donde se cortan ambas rectas.

• Paralelas: si \(\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}\), el sistema formado por las dos rectas no tiene ninguna solución; esto es porque no hay ningún punto en común que satisfaga las dos ecuaciones a la vez.

• Coincidentes: si \(\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}\), el sistema tiene infinitas soluciones, puesto que ambas rectas tienen infinitos puntos en común que satisfacen ambas ecuaciones a la vez.

Gracias a este método, podemos determinar muy fácilmente la posición relativa entre dos rectas; solo basta con tener ambas rectas en forma implícita. Además, si las rectas son secantes, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas rectas, obtenemos el punto en el que se cortan.

Haz de rectas secantes

Como antes hemos visto, dos rectas secantes cortan en un punto. Podemos crear un haz de rectas que sean todas secantes en el mismo punto; a esto se le conoce como haz de rectas secantes de vértice \(P(a,b)\). Las ecuaciones de todas estas rectas son:

\[y-b=m(x-a)\]

• Donde \(a\) y \(b\) son las coordenadas del vértice del haz de rectas y lo único que varía es la pendiente \(m\).

Para que el haz quede completo, debemos añadir la recta \(x=a\), puesto que también pasa por el punto \(P(a,b)\), pero no se tiene la ecuación mencionada anteriormente.

En la Fig. 2 puedes ver un haz de rectas con vértice en \(P(-1,2)\).

Haz de rectas paralelas

Algo parecido podemos ver con las rectas paralelas. Se puede crear un haz de rectas paralelas a partir de la ecuación explícita de una recta en la que solo cambiamos la ordenada en el origen. En consecuencia, un haz de rectas paralelas se define como:

\[y=mx+n\]

• Donde \(m\) es fija y \(n\) es la ordenada en el origen que va cambiando para cada recta del haz de rectas paralelas.