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Fig. 1. Recta secante a un plano de la que se puede obtener su proyección sobre el plano.
- En este artículo te explicaremos cómo calcular proyecciones ortogonales.
- En primer lugar, te enseñaremos la proyección ortogonal de un punto sobre un plano.
- Después veremos la proyección ortogonal de un punto sobre una recta.
- A continuación, estudiaremos la proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
- Después veremos cómo calcular el simétrico de un punto respecto a un plano.
- Por último, aprenderemos a calcular el simétrico de un punto respecto a una recta.
Proyección ortogonal de un punto sobre un plano
Empecemos por el caso más sencillo: un punto en el espacio que se proyecta sobre un plano. La proyección ortogonal de un punto sobre un plano se hace a través de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto.
Para conseguir esta proyección ortogonal, en primer lugar, determinamos si el punto \(P(a_1,a_2,a_3)\) pertenece al plano. Si el punto pertenece al plano, este punto es su propia proyección.
De modo contrario: si el punto no pertenece al plano, calculamos la recta perpendicular al plano. Para esto, sabemos que el vector director de la recta, será el vector normal del plano. Si el plano \(\pi\) tiene ecuación general \(Ax+By+Cz+D=0\), sabemos que su vector normal tiene componentes \(\vec{n}=(A,B,C)\).
Calculamos la recta usando el vector director \(\vec{n}=(A,B,C)\) y el punto \(P(a_1,a_2,a_3)\).
Puedes usar cualquiera de las ecuaciones de la recta que has estudiado en nuestro artículo Ecuaciones de la recta en el espacio.
Una vez que tenemos la recta perpendicular al plano \(\pi\) y que pasa por el punto \(P\), la proyección ortogonal de este punto sobre el plano será el punto de intersección entre la recta y el plano.
Es decir, hay que resolver el sistema formado por la ecuación de la recta y del plano.
Practiquemos:
Calcula la proyección ortogonal del punto \(P(2,4,4)\) sobre el plano \(\pi:\space 2x-y+3z-1=0\).
Solución:
Compruba si el punto \(P\) pertenece al plano \(\pi\):
\[2·2-4+3·4-1\neq 0\]
El punto \(P\) no pertenece, entonces, al plano \(\pi\).
Por tanto, ahora obtenemos el vector normal al plano a partir de su ecuación general:
\[\vec{n}=(2,-1,3)\]
De este modo, podemos escribir la recta perpendicular al plano \(\pi\) que pasa por el punto \(P\):
\[r:\space \left\{\begin{array}\, x=2+2\lambda \\ y=4-\lambda \\ z=4+3\lambda \end{array}\right.\]
Como ya tenemos la ecuación de la recta, podemos hallar la proyección como la solución entre el plano y la recta.
Para esto, metemos los valores de la recta que ya tenemos despejados en la ecuación del plano:
\[2(2+2\lambda)-(4-\lambda)+3(4+3\lambda)-1=0\]
\[\lambda=-\dfrac{11}{14}\]
Ahora, introducimos este valor en las coordenadas de la recta para calcular el punto:
\[x=\dfrac{3}{7}\]
\[y=\dfrac{67}{14}\]
\[z=\dfrac{23}{14}\]
El punto \(S\), que es la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\), tiene coordenadas:
\[S\left(\dfrac{3}{7},\dfrac{67}{14},\dfrac{23}{14}\right)\]
Fig. 2: El punto \(S\) es la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\).
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Ahora, vamos a estudiar el caso en el que queremos hallar la proyección ortogonal de un punto sobre una recta. En ese caso, creamos un plano que sea ortogonal a la recta y que contenga el punto. Después de esto, solo tenemos que calcular el punto de intersección entre el plano y la recta. Este punto será la proyección ortogonal.
Calcula la proyección ortogonal del punto \(P(2,3,2)\) sobre la recta \(r:\space (x,y,z)=(-1,2,-2)+\lambda(-1,3,2)\).
Solución:
En primer lugar, comprobamos si el punto \(P\) pertenece a la recta \(r\). Para esto, introducimos los valores de \(P\) en la ecuación de la recta.
En este caso, comprobamos que no obtenemos los mismos valores de \(\lambda\) si introducimos el punto en la recta. Por esta razón, no está contenido.
Ahora, calculamos el plano perpendicular a la recta.
Sabemos que el plano tendrá como vector normal el vector director de la recta \(\vec{v}=(-1,3,2)\), por lo que podemos usar la ecuación normal del plano; además, tiene que pasar por el punto \(P\), por lo que metemos este punto en la ecuación normal del plano:
\[-(x-2)+3(y-3)+2(z-2)=0\]
\[x-3y-2z+11=0\]
Hemos obtenido la ecuación del plano perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(P\). La proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\) es la intersección del plano \(\pi\) con la recta \(r\). Haciendo esto obtenemos el valor de \(\lambda\):
\[\lambda=\dfrac{4}{7}\]
Introducimos este valor en la ecuación de la recta para calcular el punto \(S\), que es la proyección ortogonal:
\[S=\left(-\dfrac{11}{7},\dfrac{26}{7},-\dfrac{6}{7}\right)\]
Fig. 3: El punto \(S\) es la proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\).
Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
La última posibilidad de proyección ortogonal es la proyección ortogonal de una recta \(r\) sobre un plano \(\pi\). Hay varias opciones para el cálculo de esta proyección ortogonal. Podrás usar cada método, según te convenga en tu ejercicio concreto.
El primer método consiste en calcular el punto de intersección entre la recta \(r\) y el plano \(\pi\). Este punto pertenecerá a la recta \(r'\) proyectada. Luego calculamos otro punto cualquiera \(B\) de la recta \(r\) y calculamos su proyección sobre el plano \(\pi\). Esta proyección \(B'\) también pertenece a la recta \(r'\), por lo que podemos crear la ecuación de esta recta a partir de los puntos \(B\) y \(B'\).
El segundo método consiste en crear el plano \(\pi'\), que es perpendicular al plano \(\pi\) y que contiene a la recta \(r\). Por tanto, el nuevo plano \(\pi'\) tendrá como uno de sus vectores directores el vector normal del plano \(\pi\), puesto que son perpendiculares. El otro vector director del plano \(\pi'\) será el vector director de la recta \(r\). También, necesitaremos un punto de la recta \(r\) que también forma parte del plano \(\pi'\), para así terminar de escribir su ecuación. Finalmente, la recta que es la proyección ortogonal vendrá dada de forma implícita como la intersección entre el plano \(\pi'\) y el plano \(\pi'\) que acabamos de crear.
Determina la proyección ortogonal de la recta \(r:\space (x,y,z)=(2,2,1)+\lambda(-3,1,-2)\) sobre el plano \(\pi:\space x-y+z=-2\).
Solución:
Podemos usar cualquiera de los métodos explicados; incluso hay más opciones. En este caso, usaremos el primero.
Primero, calculamos la intersección de la recta con el plano.
Introducimos la ecuación de la recta en el plano:
\[2-3\lambda -2-\lambda +1-2\lambda =-2\]
\[\lambda=\frac{1}{2}\]
Luego, calculamos el punto de intersección, introduciendo este valor de \(\lambda\) en la ecuación de la recta:
\[I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2},0\right)\]
Entonces, cogemos otro punto cualquiera de la recta, para hallar su proyección sobre el plano \(\pi\); por ejemplo, haciendo \(\lambda=0\):
\[P(2,2,1)\]
Ahora, calculamos la proyección ortogonal de este punto sobre el plano \(\pi\). Con el vector normal de \(\pi\) que es \(\vec{n}=(1,-1,1)\) y el punto \(P\) podemos hallar la ecuación de la recta \(s\) que es perpendicular al plano y pasa por \(P\):
\[s:\space (x,y,z)=(2,2,1)+t(1,-1,1)\]
Luego, hallamos la intersección con el plano \(\pi\) y xalculamos \(t\):
\[2+t-2+t+1+t=-2\]
\[t=-1\]
Por tanto, el punto de intersección de \(s\) con \(\pi\) es:
\[B(1,3,0)\]
Ya tenemos los puntos \(P\) y \(B\) que forman parte de la recta \(r'\), que es la proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi\). Podemos crear el vector \(\overrightarrow{PB}\) y usar el punto \(B\) para crear la ecuación de la recta \(r'\):
\[\overrightarrow{PB}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)\propto (1,1,0)\]
\[r':\space (x,y,z)=(1,3,0)+\mu(1,1,0)\]
Fig. 4: La recta \(r'\) es la proyección de la recta \(r\) sobre el plano \(\pi\).
Simétrico de un punto respecto a un plano
El punto simétrico \(P'\) de un punto \(P\) con respecto al plano \(\pi\) es el punto que hace que el punto medio entre \(P\) y \(P'\) sea la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(\pi\).
Por tanto, para calcular el simétrico de un punto respecto a un plano, debemos hallar primero la proyección del punto sobre el plano y, después, sabiendo que esta proyección es el punto medio entre \(P\) y \(P'\), podemos hallar \(P'\).
Calcula el simétrico del punto \(P(1,2,-1)\) con respecto al plano \(\pi:\space x+2y-2z=1\).
Solución:
Calculamos la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\). Para ello, calculamos la recta que pasa por \(P\) y tiene como vector director el vector normal del plano:
\[r:\space (x,y,z)=(1,2,-1)+\lambda(1,2,-2)\]
La proyección será, entonces, la intersección entre esta recta y el plano \(\pi\):
\[1+\lambda +2(2+2\lambda)-2(-1-2\lambda)=1\]
\[\lambda=-\dfrac{2}{3}\]
El punto que es la proyección es, entonces:
\[I=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)\]
Como la proyección sobre el plano es el punto medio entre \(P\) y su simétrico \(P'\) se cumple:
\[\dfrac{P+P'}{2}=I\]
Finalemente, podemos definir \(P'(a,b,c)\) y calcular sus coordenadas:
\[\dfrac{1+a}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{3}\]
\[\dfrac{2+b}{2}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow b=-\dfrac{2}{3}\]
\[\dfrac{-1+c}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow c=\dfrac{5}{3}\]
Por tanto, el punto simétrico es:
\[P'\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\right)\]
Fig. 5: El punto \(P'\) es el simétrico del punto \(P\) con respecto del plano \(\pi\).
Simétrico de un punto respecto a una recta
El punto simétrico \(P'\) de un punto \(P\) con respecto a la recta \(r\) es el punto que hace que el punto medio entre \(P\) y \(P'\) sea la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\).
De esta manera, para calcular el punto simétrico de un punto respecto a una recta, tenemos que calcular la proyección ortogonal de ese punto sobre la recta. Después, podemos hallar el simétrico, sabiendo que la proyección es el punto medio entre ambos puntos.
Calcula el simétrico del punto \(P(2,1,3)\) con respecto a la recta \(r:\space (x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda(1,-2,0)\).
Solución:
Tenemos que calcular la proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\).
Para ello, creamos el plano \(\pi\), que es perpendicular a la recta y pasa por el punto \(P\). Por tanto, podemos escribir la ecuación normal del plano con el vector director de la recta \(r\) y el punto \(P\):
\[\pi:\space 1(x-2)-2(y-1)+0(z-3)=0\]
\[\pi:\space x-2y=0\]
Ahora, hallamos la intersección entre el plano \(\pi\) y la recta \(r\), siendo esta intersección la proyección del punto \(P\) sobre la recta:
\[1+\lambda -2(-1-2\lambda)=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac{3}{5}\]
Hallamos, entonces, el punto de intersección:
\[I\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{5},1\right)\]
Por último, el simétrico \(P'(a,b,c)\) lo calculamos sabiendo que \(I\) es el punto medio entre \(P\) y \(P'\):
\[\dfrac{P+P'}{2}=I\]
Por tanto:
\[\dfrac{2+a}{2}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{6}{5}\]
\[\dfrac{1+b}{2}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow b=-\dfrac{3}{5}\]
\[\dfrac{3+c}{2}=1\Rightarrow c=-1\]
El punto simétrico \(P'\) es, entonces:
\[P'\left(-\dfrac{6}{5},-\dfrac{3}{5},-1\right)\]
Fig. 6: El punto \(P'\) es el simétrico de \(P\) respecto a la recta \(r\).
Proyecciones ortogonales - Puntos clave
- La proyección ortogonal de un punto \(P\) sobre un plano \(\pi\) es el punto de intersección entre el plano y la recta perpendicular al plano que pasa por el punto \(P\).
- La proyección ortogonal de un punto \(P\) sobre una recta \(r\) es el punto de intersección entre la recta y el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto \(P\).
- La proyección ortogonal de una recta \(r\) sobre un plano \(\pi\) es la recta de intersección entre el plano \(\pi\) y el plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\).
- El punto simétrico \(P'\) de un punto \(P\) con respecto al plano \(\pi\) es el punto que hace que el punto medio entre \(P\) y \(P'\) sea la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(\pi\).
- El punto simétrico \(P'\) de un punto \(P\) con respecto a la recta \(r\) es el punto que hace que el punto medio entre \(P\) y \(P'\) sea la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\).
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Preguntas frecuentes sobre Proyecciones ortogonales
¿Qué se entiende por proyección ortogonal?
Una proyección ortogonal es la sombra de un objeto sobre otro, cuando estos se relacionan formando ángulos rectos.
¿Cuáles son los elementos de la proyección ortogonal?
Los elementos implicados en las proyecciones ortogonales son puntos, rectas y planos.
¿Cuáles son los tipos de proyecciones?
Se puede determinar la proyección ortogonal de un punto sobre un plano, la proyección ortogonal de un punto sobre una recta y la proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
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