Proyecciones ortogonales

Calcula la proyección ortogonal del punto \(P(2,4,4)\) sobre el plano \(\pi:\space 2x-y+3z-1=0\).

Solución:

Compruba si el punto \(P\) pertenece al plano \(\pi\):

\[2·2-4+3·4-1\neq 0\]

El punto \(P\) no pertenece, entonces, al plano \(\pi\).

Por tanto, ahora obtenemos el vector normal al plano a partir de su ecuación general:

\[\vec{n}=(2,-1,3)\]

De este modo, podemos escribir la recta perpendicular al plano \(\pi\) que pasa por el punto \(P\):

\[r:\space \left\{\begin{array}\, x=2+2\lambda \\ y=4-\lambda \\ z=4+3\lambda \end{array}\right.\]

Como ya tenemos la ecuación de la recta, podemos hallar la proyección como la solución entre el plano y la recta.

Para esto, metemos los valores de la recta que ya tenemos despejados en la ecuación del plano:

\[2(2+2\lambda)-(4-\lambda)+3(4+3\lambda)-1=0\]

\[\lambda=-\dfrac{11}{14}\]

Ahora, introducimos este valor en las coordenadas de la recta para calcular el punto:

\[x=\dfrac{3}{7}\]

\[y=\dfrac{67}{14}\]

\[z=\dfrac{23}{14}\]

El punto \(S\), que es la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\), tiene coordenadas:

\[S\left(\dfrac{3}{7},\dfrac{67}{14},\dfrac{23}{14}\right)\]

Fig. 2: El punto \(S\) es la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\).

Calcula la proyección ortogonal del punto \(P(2,3,2)\) sobre la recta \(r:\space (x,y,z)=(-1,2,-2)+\lambda(-1,3,2)\).

Solución:

En primer lugar, comprobamos si el punto \(P\) pertenece a la recta \(r\). Para esto, introducimos los valores de \(P\) en la ecuación de la recta.

En este caso, comprobamos que no obtenemos los mismos valores de \(\lambda\) si introducimos el punto en la recta. Por esta razón, no está contenido.

Ahora, calculamos el plano perpendicular a la recta.

Sabemos que el plano tendrá como vector normal el vector director de la recta \(\vec{v}=(-1,3,2)\), por lo que podemos usar la ecuación normal del plano; además, tiene que pasar por el punto \(P\), por lo que metemos este punto en la ecuación normal del plano:

\[-(x-2)+3(y-3)+2(z-2)=0\]

\[x-3y-2z+11=0\]

Hemos obtenido la ecuación del plano perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(P\). La proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\) es la intersección del plano \(\pi\) con la recta \(r\). Haciendo esto obtenemos el valor de \(\lambda\):

\[\lambda=\dfrac{4}{7}\]

Introducimos este valor en la ecuación de la recta para calcular el punto \(S\), que es la proyección ortogonal:

\[S=\left(-\dfrac{11}{7},\dfrac{26}{7},-\dfrac{6}{7}\right)\]

Fig. 3: El punto \(S\) es la proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\).

Determina la proyección ortogonal de la recta \(r:\space (x,y,z)=(2,2,1)+\lambda(-3,1,-2)\) sobre el plano \(\pi:\space x-y+z=-2\).

Solución:

Podemos usar cualquiera de los métodos explicados; incluso hay más opciones. En este caso, usaremos el primero.

Primero, calculamos la intersección de la recta con el plano.

Introducimos la ecuación de la recta en el plano:

\[2-3\lambda -2-\lambda +1-2\lambda =-2\]

\[\lambda=\frac{1}{2}\]

Luego, calculamos el punto de intersección, introduciendo este valor de \(\lambda\) en la ecuación de la recta:

\[I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2},0\right)\]

Entonces, cogemos otro punto cualquiera de la recta, para hallar su proyección sobre el plano \(\pi\); por ejemplo, haciendo \(\lambda=0\):

\[P(2,2,1)\]

Ahora, calculamos la proyección ortogonal de este punto sobre el plano \(\pi\). Con el vector normal de \(\pi\) que es \(\vec{n}=(1,-1,1)\) y el punto \(P\) podemos hallar la ecuación de la recta \(s\) que es perpendicular al plano y pasa por \(P\):

\[s:\space (x,y,z)=(2,2,1)+t(1,-1,1)\]

Luego, hallamos la intersección con el plano \(\pi\) y xalculamos \(t\):

\[2+t-2+t+1+t=-2\]

\[t=-1\]

Por tanto, el punto de intersección de \(s\) con \(\pi\) es:

\[B(1,3,0)\]

Ya tenemos los puntos \(P\) y \(B\) que forman parte de la recta \(r'\), que es la proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi\). Podemos crear el vector \(\overrightarrow{PB}\) y usar el punto \(B\) para crear la ecuación de la recta \(r'\):

\[\overrightarrow{PB}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)\propto (1,1,0)\]

\[r':\space (x,y,z)=(1,3,0)+\mu(1,1,0)\]

Fig. 4: La recta \(r'\) es la proyección de la recta \(r\) sobre el plano \(\pi\).

Calcula el simétrico del punto \(P(1,2,-1)\) con respecto al plano \(\pi:\space x+2y-2z=1\).

Solución:

Calculamos la proyección del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\). Para ello, calculamos la recta que pasa por \(P\) y tiene como vector director el vector normal del plano:

\[r:\space (x,y,z)=(1,2,-1)+\lambda(1,2,-2)\]

La proyección será, entonces, la intersección entre esta recta y el plano \(\pi\):

\[1+\lambda +2(2+2\lambda)-2(-1-2\lambda)=1\]

\[\lambda=-\dfrac{2}{3}\]

El punto que es la proyección es, entonces:

\[I=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)\]

Como la proyección sobre el plano es el punto medio entre \(P\) y su simétrico \(P'\) se cumple:

\[\dfrac{P+P'}{2}=I\]

Finalemente, podemos definir \(P'(a,b,c)\) y calcular sus coordenadas:

\[\dfrac{1+a}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{3}\]

\[\dfrac{2+b}{2}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow b=-\dfrac{2}{3}\]

\[\dfrac{-1+c}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow c=\dfrac{5}{3}\]

Por tanto, el punto simétrico es:

\[P'\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\right)\]

Fig. 5: El punto \(P'\) es el simétrico del punto \(P\) con respecto del plano \(\pi\).

Calcula el simétrico del punto \(P(2,1,3)\) con respecto a la recta \(r:\space (x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda(1,-2,0)\).

Solución:

Tenemos que calcular la proyección ortogonal del punto \(P\) sobre la recta \(r\).

Para ello, creamos el plano \(\pi\), que es perpendicular a la recta y pasa por el punto \(P\). Por tanto, podemos escribir la ecuación normal del plano con el vector director de la recta \(r\) y el punto \(P\):

\[\pi:\space 1(x-2)-2(y-1)+0(z-3)=0\]

\[\pi:\space x-2y=0\]

Ahora, hallamos la intersección entre el plano \(\pi\) y la recta \(r\), siendo esta intersección la proyección del punto \(P\) sobre la recta:

\[1+\lambda -2(-1-2\lambda)=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac{3}{5}\]

Hallamos, entonces, el punto de intersección:

\[I\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{5},1\right)\]

Por último, el simétrico \(P'(a,b,c)\) lo calculamos sabiendo que \(I\) es el punto medio entre \(P\) y \(P'\):

\[\dfrac{P+P'}{2}=I\]

Por tanto:

\[\dfrac{2+a}{2}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{6}{5}\]

\[\dfrac{1+b}{2}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow b=-\dfrac{3}{5}\]

\[\dfrac{3+c}{2}=1\Rightarrow c=-1\]

El punto simétrico \(P'\) es, entonces:

\[P'\left(-\dfrac{6}{5},-\dfrac{3}{5},-1\right)\]

Fig. 6: El punto \(P'\) es el simétrico de \(P\) respecto a la recta \(r\).