Una ecuación trigonométrica es aquella formada por una función trigonométrica, o que contiene una o más funciones trigonométricas.
Las funciones o razones trigonométricas incluyen el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante.
Un ejemplo de ello sería:
\[\tan(x)+2=\sqrt[3]{4}\]
Dependiendo del tipo de ecuación trigonométrica —si consiste en solo una razón trigonométrica igualada a cierta constante, o si es parte de un sistema de ecuaciones— puede resolverse usando:
Sin embargo, es muy probable que cuando tengas un sistema de ecuaciones con funciones trigonométricas necesites usar todas estas herramientas.
En este artículo te explicaremos cómo resolver ecuaciones con funciones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y sistemas sencillos de ecuaciones con funciones trigonométricas. ¡Comencemos!
Ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas son expresiones que contienen una incógnita y las funciones involucradas son funciones trigonométricas.
Por ejemplo:
\[\sin(x)+3\cos(x)=2\]
Como pudimos observar, hay funciones trigonométricas (como el seno y el coseno) y una incógnita (en este caso, la \(x\)) cuyo valor debemos encontrar.
Pero, ¿cómo resolvemos este tipo de ecuaciones?
Resolver ecuaciones trigonométricas simples
La forma más simple de una ecuación trigonométrica simple es aquella en la que se cumple una de las siguientes características:
La función \(f(x)\) se compone de una sola función trigonométrica que tiene un solo término.
Contienen dos o más funciones trigonométricas que son del mismo tipo \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), etc.
Contiene dos funciones trigonométricas distintas, donde todas pueden ser re-expresadas usando la misma función trigonométrica.
Aquí nos centraremos en el punto uno y dos. Veremos el tercero más adelante, cuando hagamos un repaso de las identidades trigonométricas y cómo usarlas para resolver una ecuación trigonométrica.
Ecuaciones con un solo término
Las ecuaciones con un solo término son las más sencillas, puesto que solo debes despejarlo con respecto a los coeficientes que pueda tener. Si consideramos que \(f(x)\) es una función trigonométrica, la ecuación tiene la forma:
\[f(x)=a\]
Después de esto, solo debes de aplicar la inversa de la función en ambos lados:
\[f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x)\]
\[x=f^{-1}(x)\]
Las inversas de las funciones trigonométricas principales son:
Función | Inversa |
\[\sin(x)\] | \[\arcsin(x)\] |
\[\cos(x)\] | \[\arccos(x)\] |
\[\tan(x)\] | \[\arctan(x)\] |
Tabla 1: Funciones trigonométricas principales y sus inversas.
Resuelve:
\[3\cos(x)-1=2\]
Solución:
Despejamos la función trigonométrica:
\[\cos(x)=1\]
Ahora, aplicamos la inversa para despejar la \(x\):
\[x=\arccos(1)\]
\[x=0\]
Ecuaciones con dos términos similares
Puede suceder que tengamos una ecuación compuesta de dos funciones del mismo tipo; estas pueden ser dos cosenos, por ejemplo. En esos casos, podemos operar con la función trigonométrica usando las reglas básicas del álgebra.
Ten en cuenta que las funciones trigonométricas que aparezcan en la ecuación deben ser las mismas y, además, tener el mismo argumento. Si no tienen el mismo argumento no se pueden aplicar las leyes básicas del álgebra; por ejemplo,
\[\sin(x)+\sin(2x)=3\]
En esta ecuación la función es la misma, pero el argumento es distinto; por tanto, no podemos sumar las funciones.
Resuelve:
\[5\sin(x)-3\sin(x)=\sqrt{3}\]
Solución:
En este caso, vemos que la ecuación tiene dos términos trigonométricos que son el mismo y además tienen el mismo argumento. Entonces, podemos operar:
\[2\sin(x)=\sqrt{3}\]
\[\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]
Ahora, podemos aplicar la función inversa para despejar la \(x\):
\[x=\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[x=\dfrac{\pi}{3}\]
Pasos para resolver ecuaciones trigonométricas
A partir de lo que acabamos de explicar y de los ejemplos que hemos visto, podemos saber cuáles son los pasos para resolver ecuaciones trigonométricas sencillas. Pero, cuando tenemos ecuaciones en las que hay varios términos con distintas funciones trigonométricas, tenemos que pensar un poco más para llegar a la solución:
El primer paso es identificar las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación.
A continuación, convertir una función trigonométrica en otra, usando las identidades trigonométricas. Para ello, debes recordarlas.
Después de haber transformado todas las funciones trigonométricas en una sola, debes simplificar hasta obtener una ecuación sencilla del tipo: \(f(x)=a\).
Finalmente, despejas la incógnita usando la función trigonométrica inversa.
No olvides aplicar las identidades trigonométricas para poder cambiar de una función a otra.
Identidades trigonométricas
Demos un ligero repaso a una de las herramientas más importantes cuando se resuelven o se desea desarrollar ecuaciones trigonométricas: las identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son relaciones algebraicas entre las distintas funciones trigonométricas que existen.
Hay varios tipos de identidades trigonométricas muy útiles para realizar operaciones con estas dentro de ecuaciones; algunas que verás en este artículo, y que son muy importantes son:
Las identidades que surgen de la razón de las funciones.
Las identidades pitagóricas.
Las identidades de los ángulos complementarios.
Las identidades del ángulo doble.
Las identidades del medio ángulo.
Las identidades de suma a producto.
Las identidades de la razón de funciones
Estas surgen de la definición de las funciones trigonométricas, en términos de las otras identidades. Algunas de ellas son:
\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
\[\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\]
\[\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\]
\[\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}\]
Las identidades de ángulos complementarios
Estas identidades surgen del hecho que las funciones trigonométricas, como el seno y el coseno, pueden ser iguales a la otra, si se suma o resta la cantidad de \(\frac{\pi}{2}\) en el argumento. Algunas de estas identidades son:
\[\sin(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos(x)\]
\[\cos(x+\tfrac{\pi}{2})=\sin(x)\]
\[\tan(x+\tfrac{\pi}{2})=\cot(x)\]
Esto lo puedes comprobar fácilmente para las funciones seno y coseno, que están ambas fuera de fase (desplazadas) \(90º\) o \(\frac{\pi}{2}\) rad.
Fig. 1: Gráfica del seno en azul y del coseno en cian. Puedes ver que las primeras raíces de las funciones caen en \(\frac{\pi}{2}\) para el seno y \(\pi\) para el coseno.
La misma relación aplica a las fórmulas, si restas la misma cantidad.
Las identidades pitagóricas
Estas identidades surgen de la famosa fórmula pitagórica que relaciona los catetos de un triángulo rectángulo, como se ve en la figura siguiente:
Fig. 2: Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º, y sus catetos siguen las relaciones pitagóricas.
La más famosa de estas identidades es la fórmula que se conoce como la parametrización de la circunferencia unitaria, donde las variables \((x,y)\) que nos dicen la posición de cada punto en la circunferencia son sustituidas por el ángulo y el vector de longitud unitaria.
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Por supuesto, esto puede ser reemplazado por la incógnita \(x\) que encontrarás en las ecuaciones:
\[\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\]
Además de esta relación, a partir de la circunferencia unitaria encontramos otras identidades trigonométricas. Algunas de estas identidades son:
\[\tan^2(x)+1=\sec^2(x)\]
\[\cot^2(x)+1=\csc^2(x)\]
Identidades de ángulo doble y el ángulo mitad
Estas identidades expresan el doble de un ángulo en una función, como una relación entre funciones trigonométricas para las identidades de ángulo doble y como funciones irracionales para las identidades del ángulo mitad. Las cuatro más importantes que usarás son:
\[\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)\]
\[\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\]
\[\cos\left( \frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\theta)}{2}}\]
\[\sin\left( \frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\theta)}{2}}\]
Identidades de suma a producto
Estas identidades nos permiten transformar la suma de funciones trigonométricas en el producto de funciones trigonométricas, o viceversa. Las más importantes son:
\[\sin(\theta_1)\pm\sin(\theta_2)=2\sin\left( \dfrac{\theta_1±\theta_2 }{2} \right) \cos\left(\dfrac{\theta_1±\theta_2 }{2} \right)\]
\[\cos(\theta_1)+\cos(\theta_2)=2\cos\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2 }{2} \right) \cos\left(\dfrac{\theta_1-\theta_2 }{2} \right)\]
\[\cos(\theta_1)-\cos(\theta_2)=2\sin\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2 }{2} \right) \sin\left(\dfrac{\theta_1-\theta_2 }{2} \right)\]
Uso de las identidades en ecuaciones trigonométricas
Supongamos que tienes la ecuación del tipo:
\[\sin(x)+\cos(2x)=1\]
Esta ecuación es algo complicada, ya que no puedes resolver para \(x\) directamente; pero sí puedes simplificar, y este es uno de los usos principales de las identidades dentro de las ecuaciones trigonométricas: simplificar ecuaciones.
Hagamos un ejemplo, para que lo veas más detenidamente.
Resuelve la anterior ecuación trigonométrica:
\[\sin(x)+\cos(2x)=1\]
Solución:
Vemos que hay dos tipos de funciones trigonométricas: el seno y el coseno. Pero, además, el coseno tiene un argumento distinto que el del seno. Aplicamos, entonces, la identidad trigonométrica del ángulo doble para el coseno \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\):
\[\sin(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x)=1\]
Ahora que todo tiene el mismo argumento, necesitamos que todo esté en función de la misma identidad trigonométrica.
Podemos usar la identidad pitagórica para pasar del coseno al seno \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\):
\[\sin(x)+1-\sin^2(x)-\sin^2(x)=1\]
Ahora, operamos:
\[\sin(x)-2\sin^2(x)=0\]
Podemos sacar un \(\sin(x)\) como factor común:
\[\sin(x)(1-2\sin(x))=0\]
Ahora, podemos separar la ecuación en dos ecuaciones:
\[\sin(x)=0\]
\[1-2\sin(x)=0\]
Resolvemos para la primera ecuación:
\[\sin(x)=0\Rightarrow x_1=\arcsin(0)\]
\[x_1=0+2n\pi\]
\[x_1=\pi+2n\pi\]
Finalmente:
\[x_1=n\pi\]
Para la segunda ecuación:
\[1-2\sin(x)=0\]
\[\sin(x)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x_2=\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\]
De nuevo, tenemos dos soluciones:
\[x_2=\dfrac{\pi}{6}+2n\pi\]
\[x_2=\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\]
Por lo tanto, tenemos tres soluciones que dependen de \(n\), puesto que la función seno es periódica y tiene infinitas raíces.
Como puedes ver, el uso principal de las identidades es simplificar o expandir las funciones y así ayudar a resolverlas. Veamos ahora ecuaciones trigonométricas y empecemos a usar las identidades en estas.
Sistemas trigonométricos
Existe también la posibilidad de que te encuentres con sistemas de ecuaciones que poseen funciones trigonométricas. Estos sistemas son un poco más complicados que los sistemas de ecuaciones lineales, porque no pueden ser resueltos por métodos como el de eliminación gaussiana o recurriendo a métodos que se usan en matrices. Esto se debe a que no puedes eliminar o simplificar funciones trigonométricas usando operaciones elementales en matrices o en sistemas de ecuaciones lineales.
En ese caso debes:
Identificar si hay una función en la que puedas despejar \(x\) en términos de \(y\)
Encontrar dónde puedes sustituir esto en las ecuaciones restantes que tengan las funciones trigonométricas, de tal forma que todas las ecuaciones tengan el mismo argumento.
En este método tienes ecuaciones como:
\[F_1(x)+F_2(y)=cte_1\]
\[F_3(x)+F_4(y)=cte_2\]
De este modo, se despeja la primera ecuación:
\[y=F_2^{-1}(cte_1-F_1(x))=A(x)\]
Y esto se sustituye en la segunda ecuación:
\[F_3(x)+F_4(A(x))=cte_2\]
Por lo cual, se tiene todo en términos del mismo argumento, que es \(x\).
En este punto, \(F_3(x)\) y \(F_4(A(x))\) son funciones trigonométricas. En ese caso, se deben transformar ambas para que, no solo tengan el mismo argumento, sino también sean la misma función (sea seno, coseno, etc.) Después de esto, se puede resolver o deducir dónde existen las soluciones de estas ecuaciones.
Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es el siguiente sistema:
Resuelve el siguiente sistema trigonométrico:
\[\left\{\begin{array}\,2x-2y=\pi\\2\sin(x)+\cos(y)=0\end{array}\right.\]
Solución:
En este caso, podemos fácilmente despejar \(x\) de la primera ecuación:
\[y=x-\frac{\pi}{2}\]
Y, reemplazando esto en la segunda ecuación:
\[2\sin(x)+\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=0\]
Debido a que las funciones trigonométricas son cíclicas cada \(\pi x\) —es decir, \(\sin(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\)—, esto significa que:
\[\cos(x-\tfrac{\pi}{2})=\sin(x)\]
Lo que implica que la segunda ecuación es:
\[2\sin(x)+\sin(x)=0\]
\[3\sin(x)=0\]
\[\sin(x)=0\]
Aplicamos la inversa para despejar \(x\):
\[x=\arcsin(0)\]
\[x=n\pi\]
Ecuaciones trigonométricas ejercicios
Hagamos más ejercicios, para que puedas resolver las ecuaciones trigonométricas.
Resuelve la siguiente ecuación que contiene funciones trigonométricas:
\[\sin^2(x)+\cos(x)=\dfrac{5}{4}\]
Solución:
En este caso, debes transformar la expresión para que tengas un solo tipo de función trigonométrica. Aquí usaremos las identidades trigonométricas para transformar la función seno o coseno en la otra.
Podemos usar la identidad pitagórica para transformar el seno en coseno:
\[1-\cos^2(x)+\cos(x)=\dfrac{5}{4}\]
Operamos hasta obtener:
\[4\cos^2(x)-4\cos(x)+1=0\]
Podemos tratar el \(\cos(x)\) como una nueva variable como \(u=\cos(x)\):
\[4u^2-4u+1=0\]
Resolvemos para \(u\) usando la fórmula cuadrática:
\[u=\dfrac{4\pm\sqrt{16-16}}{8}\Rightarrow u=\dfrac{1}{2}\]
Deshacemos el cambio de variable como \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) y despejamos la \(x\):
\[x=\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)\]
Así, tenemos dos soluciones posibles:
\[x_1=\dfrac{\pi}{3}\]
\[x_2=\dfrac{5\pi}{3}\]
Supongamos que se tienen las ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\,x+y=0\\ \cos(2x)+\sin^2(y)=0\end{array}\right.\]
Solución:
Lo primero que podemos notar es que esto es un sistema homogéneo de ecuaciones, ya que todos los términos están igualados a cero.
Lo siguiente es identificar cuál de las ecuaciones podemos despejar más fácilmente; en este caso, es la primera ecuación.
Así que despejamos y obtenemos:
\[x=-y\]
Esto lo sustituimos en la segunda ecuación:
\[\cos(-2y)+\sin^2(y)=0\]
Por paridad de las funciones trigonométricas, sabemos que:
\[\cos(-a)=\cos(a)\]
Así que esto se puede reexpresar como:
\[\cos(2y)+\sin^2(y)=0\]
Pero, sabemos por las identidades de doble ángulo que:
\[\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\]
Sustituyendo esto de regreso en la ecuación original, tenemos:
\[\cos^2(y)-\sin^2(y)+\sin^2(y)=0\]
Reduciendo:
\[\cos^2(y)=0\Rightarrow \cos(y)=0\]
Y esto es solo cero cuando se tienen múltiplos de \(n\) en \(y=n\pi\).
Finalmente:
\[x=-n\pi\]
Resolución de ecuaciones trigonométricas - Puntos clave
- Dependiendo de las expresiones, estas se pueden resolver usando:
- Para resolver estas ecuaciones puedes seguir tres opciones:
- Buscar si se conocen los resultados de las razones trigonométricas, usando ángulos o funciones.
- Definir si existen identidades que simplifiquen tus ecuaciones.
- Resolver la expresión o la resultante.
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