Tangente de una circunferencia

Si ya has leído nuestro artículo sobre la circunferencia, ya sabes que se trata de una cónica que está definida por una ecuación cuadrática como: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

• Donde \((a,b)\) es la coordenada del centro de la circunferencia y \(r\) es el radio.

Si ya tienes esto claro, seguro sabrás cómo representar una circunferencia en el plano; y, de manera inversa, si tienes una circunferencia representada en el plano, puedes determinar su centro y radio para definir la ecuación de la circunferencia. Pero ahora, además de poder hacer todo esto, añadirás más objetos; como, por ejemplo, una recta. Y no una recta cualquiera, sino la recta tangente a la circunferencia. Bueno, pues aquí encontrarás toda la información necesaria para calcular la ecuación de esta recta.

Recta tangente a una circunferencia

En general, una recta tangente es una recta que corta a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto de esta.

Ejemplo de recta tangente

Por ejemplo, \(x=3\) es una recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\), porque toca al círculo una vez en el punto \((3, 0)\), tal como se puede ver en la Figura 1.

Fig. 1. Recta tangente en un punto a una circunferencia.

Una recta tangente se diferencia de una secante, porque una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos; es decir, cruza la circunferencia, no solamente lo toca.

Ecuación de la recta tangente a una circunferencia

Muchas preguntas se refieren a la búsqueda de la ecuación de la recta tangente a una cierta circunferencia. Para encontrar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario entender cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia. Gracias a esta característica, podemos hallar fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.

Hallar la pendiente de la recta tangente

El primer paso para hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia. Se necesita el radio entre el centro de la circunferencia y el punto exterior porque será perpendicular a la tangente. Esto se debe a que este radio de la circunferencia actúa como una línea normal a la tangente.

Para hallar la pendiente del radio de la circunferencia, en primer lugar, necesitamos conocer las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) y del punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente \(P(t_1,t_2)\).

Entonces, para calcular la pendiente \(m\) del radio que va del centro a este punto \(P\), resolvemos:

\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}\]

Vamos a hacer un ejemplo para aplicar lo visto.

Hallar la pendiente de la tangente de la circunferencia

Uno de los teoremas de la circunferencia es la ecuación de la bisectriz perpendicular. En ese caso, la tangente de una circunferencia corta perpendicularmente con el radio de la circunferencia. Por lo tanto, para encontrar la pendiente de la tangente, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia. Si la pendiente del radio es \(m_r\), entonces la pendiente de la tangente es \(m_t=-\dfrac{1}{m_r}\).

Hallar la ecuación de la tangente de la circunferencia

Una vez que tenemos el punto exterior y la pendiente de la tangente, lo más sencillo es utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta tangente: \[y-t_2=m_t(x-t_1)\].

Resolvamos un ejemplo, para que veas cómo se aplica lo anterior:

Ecuación de la recta tangente: ejercicios resueltos