Si ya has leído nuestro artículo sobre la circunferencia, ya sabes que se trata de una cónica que está definida por una ecuación cuadrática como: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Si ya tienes esto claro, seguro sabrás cómo representar una circunferencia en el plano; y, de manera inversa, si tienes una circunferencia representada en el plano, puedes determinar su centro y radio para definir la ecuación de la circunferencia. Pero ahora, además de poder hacer todo esto, añadirás más objetos; como, por ejemplo, una recta. Y no una recta cualquiera, sino la recta tangente a la circunferencia. Bueno, pues aquí encontrarás toda la información necesaria para calcular la ecuación de esta recta.
Recta tangente a una circunferencia
En general, una recta tangente es una recta que corta a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto de esta.
Ejemplo de recta tangente
Por ejemplo, \(x=3\) es una recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\), porque toca al círculo una vez en el punto \((3, 0)\), tal como se puede ver en la Figura 1.
Fig. 1. Recta tangente en un punto a una circunferencia.
Una recta tangente se diferencia de una secante, porque una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos; es decir, cruza la circunferencia, no solamente lo toca.
Para representar una tangente a una circunferencia, simplemente debes hacer una recta que toque a la circunferencia en un punto, pero que no la cruce. Esto es contrario a la recta secante, que corta la circunferencia en dos puntos.
Ecuación de la recta tangente a una circunferencia
Muchas preguntas se refieren a la búsqueda de la ecuación de la recta tangente a una cierta circunferencia. Para encontrar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario entender cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia. Gracias a esta característica, podemos hallar fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.
Hallar la pendiente de la recta tangente
El primer paso para hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia. Se necesita el radio entre el centro de la circunferencia y el punto exterior porque será perpendicular a la tangente. Esto se debe a que este radio de la circunferencia actúa como una línea normal a la tangente.
Para hallar la pendiente del radio de la circunferencia, en primer lugar, necesitamos conocer las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) y del punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente \(P(t_1,t_2)\).
Entonces, para calcular la pendiente \(m\) del radio que va del centro a este punto \(P\), resolvemos:
\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}\]
Vamos a hacer un ejemplo para aplicar lo visto.
Una circunferencia con ecuación \(x^2+y^2=9\) toca una tangente en \(P(3, 0)\). ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia que va del centro a este punto?
Solución:
Como en la ecuación de la circunferencia no hay términos en \(x\) o \(y\), podemos determinar que el centro de la circunferencia es el origen \(O(0,0)\).
Queremos encontrar la pendiente de la recta que pasa por el radio que va del centro al punto \(P(3,0)\). Por tanto, introduciendo las coordenadas del centro de la circunferencia y del punto en la fórmula de la pendiente, llegamos a: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{0-0}{3-0}=\dfrac{0}{3}=0\]
En consecuencia, la pendiente del radio de la circunferencia es \(m=0\).
Hallar la pendiente de la tangente de la circunferencia
Uno de los teoremas de la circunferencia es la ecuación de la bisectriz perpendicular. En ese caso, la tangente de una circunferencia corta perpendicularmente con el radio de la circunferencia. Por lo tanto, para encontrar la pendiente de la tangente, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia. Si la pendiente del radio es \(m_r\), entonces la pendiente de la tangente es \(m_t=-\dfrac{1}{m_r}\).
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a una circunferencia, cuando la pendiente del radio de la misma circunferencia tiene un valor de \(m_r=\dfrac{1}{4}\)?
Solución:
Aplicamos la fórmula del recíproco negativo de la pendiente: \[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=-4\]
Por tanto, la pendiente de la tangente de la circunferencia es de \(m_t=-4\).
Hallar la ecuación de la tangente de la circunferencia
Una recta tangente toca a la circunferencia \(A\) en \(P(5, 6)\). ¿Cuál es la ecuación de una tangente a la circunferencia \(A\), cuando la pendiente del radio es \(m_r=-\dfrac{1}{5}\)?
Solución:
Para hallar la pendiente de la tangente, se hace el recíproco negativo; así que:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=5\]
Como ya tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos usar la forma punto-pendiente para expresar la ecuación de esta recta, ya que sabemos que el punto por el que pasa es el \(P(5,6)\): \[y-6=5(x-5)\]
Luego, podemos realizar operaciones y despejar \(y\) para llegar a la ecuación explícita de la recta:
\[y=5x-25+6\]
\[y=5x-19\]
Esta es la ecuación de la recta tangente.
Ecuación de la recta tangente: ejercicios resueltos
La circunferencia \(B\) tiene la ecuación \(x^2+y^2=25\). Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\).
Solución:
Paso 1: confirmar que el punto pertenezca a la circunferencia.
Como no hay términos con las variables \(x\) o \(y\), determinamos que el centro de la circunferencia es \(O(0,0)\).
Por la fórmula de la circunferencia, sabemos también que su radio es \(r=5\).
Además, comprobamos que el punto que nos dicen que es tangente pertenece a la circunferencia (si no fuera así, el problema acabaría aquí):
\[(4)^2+(-3)^2=25\]
La igualdad se cumple, por lo que el punto pertenece a la circunferencia.
Paso 2: hallar la pendiente del radio de la circunferencia.
Para hacerlo, sustituimos las coordenadas en la fórmula de la pendiente: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{-3-0}{4-0}=-\dfrac{3}{4}\]
Por tanto, la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\) es de \(m_r=-\dfrac{3}{4}\).
Paso 3: encontrar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia.
Para hallarla, hacemos el recíproco inverso de la pendiente del radio de la circunferencia:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=\dfrac{4}{3}\]
Paso 4: encontrar la ecuación de la tangente del círculo.
Utilizamos la forma punto-pendiente:
\[y-t_2=m(x-t_1)\]
\[y+3=\dfrac{4}{3}(x-4)\]
Simplificando, llegamos a:
\[4x-3y=25\]
Gráficamente, podemos verlo como:
Fig. 2. Recta tangente en un punto a una circunferencia.
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