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Tangente de una circunferencia

Tangente de una circunferencia

Si ya has leído nuestro artículo sobre la circunferencia, ya sabes que se trata de una cónica que está definida por una ecuación cuadrática como: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

  • Donde \((a,b)\) es la coordenada del centro de la circunferencia y \(r\) es el radio.

Si ya tienes esto claro, seguro sabrás cómo representar una circunferencia en el plano; y, de manera inversa, si tienes una circunferencia representada en el plano, puedes determinar su centro y radio para definir la ecuación de la circunferencia. Pero ahora, además de poder hacer todo esto, añadirás más objetos; como, por ejemplo, una recta. Y no una recta cualquiera, sino la recta tangente a la circunferencia. Bueno, pues aquí encontrarás toda la información necesaria para calcular la ecuación de esta recta.

Recta tangente a una circunferencia

En general, una recta tangente es una recta que corta a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto de esta.

Ejemplo de recta tangente

Por ejemplo, \(x=3\) es una recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\), porque toca al círculo una vez en el punto \((3, 0)\), tal como se puede ver en la Figura 1.

Tangente de una circunferencia, representación de una recta tangente en un punto a una circunferencia, StudySmarterFig. 1. Recta tangente en un punto a una circunferencia.

Una recta tangente se diferencia de una secante, porque una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos; es decir, cruza la circunferencia, no solamente lo toca.

Para representar una tangente a una circunferencia, simplemente debes hacer una recta que toque a la circunferencia en un punto, pero que no la cruce. Esto es contrario a la recta secante, que corta la circunferencia en dos puntos.

Ecuación de la recta tangente a una circunferencia

Muchas preguntas se refieren a la búsqueda de la ecuación de la recta tangente a una cierta circunferencia. Para encontrar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario entender cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia. Gracias a esta característica, podemos hallar fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.

Hallar la pendiente de la recta tangente

El primer paso para hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia. Se necesita el radio entre el centro de la circunferencia y el punto exterior porque será perpendicular a la tangente. Esto se debe a que este radio de la circunferencia actúa como una línea normal a la tangente.

Para hallar la pendiente del radio de la circunferencia, en primer lugar, necesitamos conocer las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) y del punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente \(P(t_1,t_2)\).

Entonces, para calcular la pendiente \(m\) del radio que va del centro a este punto \(P\), resolvemos:

\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}\]

Vamos a hacer un ejemplo para aplicar lo visto.

Una circunferencia con ecuación \(x^2+y^2=9\) toca una tangente en \(P(3, 0)\). ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia que va del centro a este punto?

Solución:

Como en la ecuación de la circunferencia no hay términos en \(x\) o \(y\), podemos determinar que el centro de la circunferencia es el origen \(O(0,0)\).

Queremos encontrar la pendiente de la recta que pasa por el radio que va del centro al punto \(P(3,0)\). Por tanto, introduciendo las coordenadas del centro de la circunferencia y del punto en la fórmula de la pendiente, llegamos a: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{0-0}{3-0}=\dfrac{0}{3}=0\]

En consecuencia, la pendiente del radio de la circunferencia es \(m=0\).

Hallar la pendiente de la tangente de la circunferencia

Uno de los teoremas de la circunferencia es la ecuación de la bisectriz perpendicular. En ese caso, la tangente de una circunferencia corta perpendicularmente con el radio de la circunferencia. Por lo tanto, para encontrar la pendiente de la tangente, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia. Si la pendiente del radio es \(m_r\), entonces la pendiente de la tangente es \(m_t=-\dfrac{1}{m_r}\).

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a una circunferencia, cuando la pendiente del radio de la misma circunferencia tiene un valor de \(m_r=\dfrac{1}{4}\)?

Solución:

Aplicamos la fórmula del recíproco negativo de la pendiente: \[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=-4\]

Por tanto, la pendiente de la tangente de la circunferencia es de \(m_t=-4\).

Hallar la ecuación de la tangente de la circunferencia

Una vez que tenemos el punto exterior y la pendiente de la tangente, lo más sencillo es utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta tangente: \[y-t_2=m_t(x-t_1)\].

Resolvamos un ejemplo, para que veas cómo se aplica lo anterior:

Una recta tangente toca a la circunferencia \(A\) en \(P(5, 6)\). ¿Cuál es la ecuación de una tangente a la circunferencia \(A\), cuando la pendiente del radio es \(m_r=-\dfrac{1}{5}\)?

Solución:

Para hallar la pendiente de la tangente, se hace el recíproco negativo; así que:

\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=5\]

Como ya tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos usar la forma punto-pendiente para expresar la ecuación de esta recta, ya que sabemos que el punto por el que pasa es el \(P(5,6)\): \[y-6=5(x-5)\]

Luego, podemos realizar operaciones y despejar \(y\) para llegar a la ecuación explícita de la recta:

\[y=5x-25+6\]

\[y=5x-19\]

Esta es la ecuación de la recta tangente.

Ecuación de la recta tangente: ejercicios resueltos

La circunferencia \(B\) tiene la ecuación \(x^2+y^2=25\). Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\).

Solución:

Paso 1: confirmar que el punto pertenezca a la circunferencia.

Como no hay términos con las variables \(x\) o \(y\), determinamos que el centro de la circunferencia es \(O(0,0)\).

Por la fórmula de la circunferencia, sabemos también que su radio es \(r=5\).

Además, comprobamos que el punto que nos dicen que es tangente pertenece a la circunferencia (si no fuera así, el problema acabaría aquí):

\[(4)^2+(-3)^2=25\]

La igualdad se cumple, por lo que el punto pertenece a la circunferencia.

Paso 2: hallar la pendiente del radio de la circunferencia.

Para hacerlo, sustituimos las coordenadas en la fórmula de la pendiente: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{-3-0}{4-0}=-\dfrac{3}{4}\]

Por tanto, la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\) es de \(m_r=-\dfrac{3}{4}\).

Paso 3: encontrar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia.

Para hallarla, hacemos el recíproco inverso de la pendiente del radio de la circunferencia:

\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=\dfrac{4}{3}\]

Paso 4: encontrar la ecuación de la tangente del círculo.

Utilizamos la forma punto-pendiente:

\[y-t_2=m(x-t_1)\]

\[y+3=\dfrac{4}{3}(x-4)\]

Simplificando, llegamos a:

\[4x-3y=25\]

Gráficamente, podemos verlo como:

Tangente de una circunferencia, representación de una recta tangente en un punto a una circunferencia, StudySmarterFig. 2. Recta tangente en un punto a una circunferencia.

Tangente de un círculo - Puntos clave

  • Una recta tangente a una circunferencia es una recta que la corta en un único punto de la circunferencia.
  • Necesitas la ecuación de la circunferencia y el punto de corte para encontrar la ecuación de la recta tangente.
  • Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que calcular la pendiente del radio desde el centro hasta el punto de corte.
  • La pendiente del radio de la circunferencia actuará como la recta normal perpendicular a la tangente. A continuación, haces el recíproco negativo de la pendiente del radio para obtener la pendiente de la tangente. Por último, sustituyes el punto de corte en una ecuación lineal para obtener la ecuación de la recta tangente.

Preguntas frecuentes sobre Tangente de una circunferencia

Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que calcular la pendiente del radio desde el centro hasta el punto de corte. 


La pendiente del radio de la circunferencia actuará como la recta normal perpendicular a la tangente. 


A continuación, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio, para obtener la pendiente de la tangente. 


Por último, se sustituye el punto de corte en una ecuación lineal para obtener la ecuación de la recta tangente.

Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que calcular la pendiente del radio desde el centro hasta el punto de corte. 


La pendiente del radio de la circunferencia actuará como la recta normal perpendicular a la tangente. 


A continuación, haz el recíproco negativo de la pendiente del radio para obtener la pendiente de la tangente. 


Por último, sustituye el punto de corte en una ecuación lineal para obtener la ecuación de la recta tangente. Lo más fácil es usar la forma punto-pendiente:

y-t2=m(x-t1)

Si tenemos una circunferencia que tiene un radio cuya pendiente es mr=-1/3 y cuyo punto de corte con la tangente es P(2,1), la pendiente de la recta tangente es el recíproco negativo de la del radio: mt=3. La ecuación de la recta tangente en el punto P con la pendiente mt es: y-1=3(x-2)

La pendiente de la tangente es el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte. 


Por ejemplo: si el radio tiene una pendiente de mr=-1/2, entonces la pendiente de la tangente es: mt=2.

Para calcular la pendiente de la tangente hay que calcular el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte. 


Por ejemplo: si el radio tiene una pendiente de mr=-1/2, entonces la pendiente de la tangente es: mt=2.

Cuestionario final de Tangente de una circunferencia

Pregunta

¿Qué es una tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Una tangente es una línea que corta la circunferencia en un solo punto. 

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Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-5,1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{3}+\frac{8}{3}\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-1,-1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=3x+2\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+18\)

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=2x-14\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,2)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+4\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=x-6\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación (\(x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+7\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,-4)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-11\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,5)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+9\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((3,8)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{2}+\frac{13}{2}\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \(x^2+y^2=32\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-4,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-8\).

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Pregunta

Si la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte con la recta tangente es \(m_r=-1\), ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en ese punto?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=1\).

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Pregunta

La pendiente de una recta tangente a una circunferencia en el punto \(P(3,-4)\) es \(m_t=-3\). ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por el punto de corte y el centro de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\(m=\dfrac{1}{3}\).

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Pregunta

¿Qué distancia hay entre una recta tangente a una circunferencia y el centro de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

El radio de la circunferencia.

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Pregunta

Si una circunferencia tiene una recta tangente en uno de sus puntos, ¿puede existir otra recta tangente a esta circunferencia que sea paralela a la primera recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, solo una.

Show question

Pregunta

¿A qué distancia están dos rectas tangentes a una misma circunferencia que son paralelas entre sí?

Mostrar respuesta

Answer

La distancia es el diámetro de la circunferencia.

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Pregunta

Se tiene la circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2=9\).

Calcula la pendiente del radio que pasa por el punto \(P(2,\sqrt{5})\).

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=\dfrac{\sqrt{5}{2}\).

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Pregunta

Se tiene una circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2=25\)

Calcula la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto \(P(4,2)\).

Mostrar respuesta

Answer

El punto \(P\) no pertenece a la circunferencia, por lo que no existe la recta tangente en este punto.

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Pregunta

Calcula la pendiente del radio de la circunferencia \((x-2)^2+(y+1)^2=26\) que pasa por el punto \(P(1,4)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=-5\).

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Pregunta

Calcula la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=36\) en el punto \(P(5,-\sqrt{11})\).

Mostrar respuesta

Answer

\(y-5=\dfrac{\sqrt{11}}{5}(x+\sqrt{11})\).

Show question

Pregunta

¿En cuántos puntos corta una recta tangente a una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Cuántas rectas tangentes puede tener una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitas.

Show question

Pregunta

¿Cómo se relaciona la pendiente del radio con la pendiente de la recta tangente a la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Una es el recíproco negativo de la otra.

Show question

Pregunta

Si la pendiente de la recta tangente a una circunferencia es \(m_t=4\), ¿cuánto vale la pendiente del radio que va del centro al punto de corte entre la circunferencia y la recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=\dfrac{-1}{4}\).

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Pregunta

¿Cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\) en el punto \(P(3,0)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=\infty\). Esto es porque la recta tangente es la recta \(y=3\) cuya pendiente es infinita.

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Pregunta

¿Cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=25\) en el punto \(P(0,5)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=0\) y, por tanto, la recta tangente es \(x=5\).

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