Cuando cruzas la carretera, quieres reducir al mínimo el tiempo que pasas en ella, para minimizar el riesgo de accidente. Obviamente, la forma más eficaz de hacerlo es cruzar en línea recta de un lado a otro, perpendicularmente a la propia carretera. Este mismo principio se utiliza para hallar la distancia entre líneas, puntos y planos en el espacio tridimensional.
Para entender los conceptos de este tema, te recomendamos que te pases por nuestro artículo sobre proyecciones ortogonales, puesto que es la base para lo que vamos a explicarte ahora.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos en el espacio viene dada por el módulo del vector que une los dos puntos.
Por tanto, lo único que tienes que hacer es calcular el vector entre los dos puntos (restando las coordenadas de un punto a las del otro) y hallar el módulo de este vector:
$$d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|$$
Calcula la distancia entre el punto \(A(4,-2,1)\) y el punto \(B(1,5,-2)\).
Solución:
Calculamos el vector \(\overrightarrow{AB}\):
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,7,-3)$$
La distancia entre los dos puntos será el módulo de este vector:
$$d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+49+9}=\sqrt{67}$$
Distancia de un punto a un plano
La distancia de un punto a un plano coincide con la distancia entre el punto y la proyección ortogonal del punto sobre el plano.
Dicho esto, tendrías que:
- Primero, buscar la proyección ortogonal del punto sobre el plano calculando la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto en cuestión.
- Después, calcular la intersección entre la recta y el plano y, finalmente, calcular la distancia entre el punto de intersección y el punto exterior.
- Sin embargo, después de hacer los cálculos con puntos genéricos, podemos llegar a una fórmula para calcular esta distancia, sin pasar por los pasos intermedios.
Si consideramos el plano \(\pi:\space Ax+By+Cz+D=0\) y el punto exterior al plano \(P(p_1,p_2,p_3)\), podemos hallar la distancia entre ellos con la fórmula:
$$d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
Calcula la distancia entre el punto \(P(2,4,-2)\) y el plano \(\pi:\space x-2y+z=3\).
Solución:
Podemos aplicar la fórmula anterior para calcular la distancia:
$$d(P,\pi)=\dfrac{|1·2+(-2)·4+1·(-2)-3|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{11}{\sqrt{6}}\approx 4{,}49$$
Distancia entre dos planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia entre un punto de uno de los planos y el otro plano.
Por tanto:
- Lo primero que tendrás que hacer es comprobar que los planos son paralelos.
- Si lo son, obtén un punto cualquiera de uno de ellos y calcula la distancia entre este punto y el otro plano, con la fórmula anterior.
Calcula la distancia entre los planos \(\pi: 2x+3y-4z+2=0\) y \(\pi': -4x-6y+8z+2=0\).
Solución:
En primer lugar, comprobamos si son planos paralelos:
$$\dfrac{2}{-4}=\dfrac{3}{-6}=\dfrac{-4}{8}\neq\dfrac{2}{2}$$
Como son paralelos, calculamos un punto cualquiera de uno de los planos. Por ejemplo, el punto \(P\left(0,0,\frac{1}{2}\right) \in \pi\).
Ahora, calculamos la distancia \(d(P,\pi')\):
$$d(P,\pi')=\dfrac{|8·\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{16+36+64}}=\dfrac{6}{\sqrt{116}}\approx 0{,}56$$
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta coincide con la distancia entre el punto y su proyección ortogonal sobre la recta.
Según esto, si tenemos el punto \(P\) y la recta \(r\), habría que calcular la recta \(r'\) que es perpendicular a \(r\) y que pasa por \(P\). Una vez obtenida esta recta, calculamos la intersección con la recta \(r\) y así hallaríamos el punto que es la proyección ortogonal \(P'\) de \(P\) sobre \(r\). La distancia entre \(P\) y \(r\) sería igual a la distancia entre \(P\) y \(P'\).
Sin embargo, realizando estos cálculos con puntos y rectas genéricos, llegamos a la siguiente fórmula para calcular fácilmente la distancia de un punto \(P\) a la recta \(r\), la cual está definida por el vector director \(\vec{v}_r\) y un punto \(Q\) perteneciente a la misma:
$$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}$$
Calcula la distancia entre el punto \(P(2,1,-1)\) y la recta \(r:(x,y,z)=(0,1,3)+t(3,2,-1)\).
Solución:
Según la fórmula anterior, tenemos que buscar un punto \(Q\) que pertenezca a la recta y un vector director de la misma. En este caso, ambos objetos están dados en la ecuación de la recta, por lo que:
$$Q(0,1,3)$$
$$\vec{v}_r=(3,2,-1)$$
Creamos el vector \(\overrightarrow{QP}\):
$$\overrightarrow{QP}=P-Q=(2,0,-4)$$
Ahora, podemos calcular el producto vectorial de la fórmula:
$$\vec{v}_r\times\overrightarrow{QP}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}=-8\vec{i}+10\vec{j}-4\vec{k}=(-8,10,-4)$$
Entonces, la distancia es:
$$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}=\dfrac{\sqrt{64+100+16}}{\sqrt{9+4+1}}=\sqrt{\dfrac{180}{14}}\approx 3{,}59$$
Distancia entre dos rectas
Dos rectas en el espacio pueden no tener ningún punto en común en dos ocasiones distintas:
Distancia entre dos rectas paralelas
Si las rectas son paralelas, esto quiere decir que tienen vectores directores proporcionales entre sí. Esto será lo primero que tienes que comprobar. Una vez que has determinado que son paralelas, solo tendrás que obtener un punto cualquiera de una de ellas. La distancia entre ese punto y la otra recta será la distancia entre ambas rectas.
Calcula la distancia entre las rectas \(r: (x,y,z)=(1,0,2)+t(-1,1,0)\) y \(s: \left\{\begin{align}\, x&+y+1=0\\z&=1\end{align}\right.\).
Solución:
Tenemos que comprobar que las rectas son paralelas. Para ello, comprobamos que sus vectores directores sean proporcionales:
$$\vec{u}_r=(-1,1,0)$$
El vector director de \(s\) será el producto vectorial de los vectores normales que forman la recta:
$$\vec{u}_s=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=\vec{i}-\vec{j}=(1,-1,0)$$
Las rectas son paralelas si los vectores directores son proporcionales:
$$\vec{u}_r=-\vec{u}_s$$
Por tanto, las rectas son paralelas.
Hemos dicho que la distancia entre dos rectas paralelas se calcula como la distancia desde un punto cualquiera de una de las rectas hasta la otra recta. La fórmula de la distancia de un punto a una recta es:
$$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}$$
Por tanto, vamos a obtener un punto cualquiera de la recta \(r\):
$$P(1,0,2)$$
Ahora, un punto cualquiera de la recta \(s\). Según la ecuación, sabemos que \(z=1\) siempre; así que podemos elegir \(x=0\) y calcular el valor de \(y\):
$$Q(0,-1,1)$$
Como ya tenemos el vector director de las rectas, podemos aplicar la fórmula:
$$\overrightarrow{QP}=(-1,-1,-1)$$
$$d(P,r)=\dfrac{|(-1,1,0)\times (-1,-1,-1)|}{|(-1,1,0)|}=\sqrt{3}\approx 1{,}73$$
Distancia entre dos rectas que se cruzan
En el espacio puede ocurrir que dos rectas no sean paralelas porque no tengan vectores directores proporcionales, pero que aun así no se corten nunca. En estos casos, se dice que las rectas se cruzan en el espacio; como no tienen ningún punto en común, podemos calcular también la distancia entre ellas.
Después de un análisis de estas rectas, obtenemos \(\overrightarrow{QP}\) (que es un vector entre dos puntos cualesquiera de \(r\) y \(s\)) y \(\vec{v}_r\) y \(\vec{v}_s\) (que son los vectores directores de cada una de las rectas). Así, se llega a la siguiente fórmula, que nos da la distancia entre este tipo de rectas:
$$d(r,s)=\dfrac{|[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}$$
- Donde el producto \([\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]\) indica el producto mixto entre los tres vectores.
Calcula la distancia entre las siguientes rectas:
$$r:(x,y,z)=(2,-3,1)+t(1,2,-1)$$
$$s:(x,y,z)=(4,-4,2)+\lambda(-1,1,0)$$
Solución:
Comprobamos la posición relativa de estas rectas, a partir de sus vectores directores y un punto de cada una, por ejemplo:
$$\vec{v}_r=(1,2,-1)$$
$$\vec{v}_s=(-1,1,0)$$
$$P(2,-3,1)\in r$$
$$Q(4,-4,2)\in s$$
Calculamos el valor del vector \(\overrightarrow{QP}\):
$$\overrightarrow{QP}=(-2,1,-1)$$
Creamos las matrices:
$$M=\begin{pmatrix} \vec{v}_r\\ \vec{v}_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&-1\\-1&1&0\end{pmatrix}$$
$$M'=\begin{pmatrix}\vec{v}_r\\ \vec{v}_s\\ \overrightarrow{QP} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&1&0\\-2&1&-1\end{pmatrix}$$
Es fácil comprobar que \(Rg(M)=2\) y \(Rg(M')=3\); por tanto, las rectas se cruzan en el espacio.
Ahora, para calcular la distancia entre ellas, como ya tenemos sus vectores directores y puntos que pasan por las mismas, podemos aplicar la fórmula:
$$d(r,s)=\dfrac{|[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}$$
Calculamos, en primer lugar, el numerador:
$$[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&1&0\\-2&1&-1\end{pmatrix}=-4$$
Ahora, el denominador:
$$|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|=|(1,1,3)|=\sqrt{11}$$
Por tanto, la distancia entre las rectas:
$$d(r,s)=\dfrac{|-4|}{\sqrt{11}}=\dfrac{4}{\sqrt{11}}\approx 1{,}21$$
Distancia de un plano a una recta
La distancia de un plano a una recta coincide con la distancia entre cualquier punto de la recta y el plano.
De este modo, lo único que tendrás que hacer es calcular un punto cualquiera de la recta y la distancia entre este punto y el plano, tal como hemos explicado anteriormente.
Calcula la distancia entre la recta \(r: (x,y,z)=(4,3,1)+t(1,2,1)\) y el plano \(\pi: y-2z+3=0\).
Solución:
Lo primero que hay que hacer es comprobar que la recta y el plano son paralelos. Para esto, tenemos que comprobar que el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano es nulo, lo que quiere decir que son perpendiculares entre sí:
$$\vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=(1,2,1)·(0,1,-2)=0$$
Como el producto escalar de estos vectores es nulo, podemos confirmar que el plano y la recta son paralelos.
Ahora cogemos un punto cualquiera de la recta \(r\) —por ejemplo, \(P(4,3,1)\)— y calculamos su distancia al plano \(\pi\):
$$d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{|0+3-2+3|}{\sqrt{0+1+4}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\approx 1{,}79$$
Distancias en el espacio - Puntos clave
La distancia entre dos puntos en el espacio viene dada por el módulo del vector que une los dos puntos: $$d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|$$
La distancia de un punto a un plano coincide con la distancia entre el punto y la proyección ortogonal del punto sobre el plano. $$d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia entre un punto de uno de los planos y el otro plano.
La distancia de un punto a una recta coincide con la distancia entre el punto y su proyección ortogonal sobre la recta. $$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}$$
La distancia entre dos rectas que se cruzan tiene la fórmula: $$d(r,s)=\dfrac{|[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}$$
La distancia de un plano a una recta coincide con la distancia entre cualquier punto de la recta y el plano.
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