Resolución de triángulos

Resolución de triángulos

Como ya sabrás, si el problema trata sobre un triángulo rectángulo (ese que tiene un ángulo recto), las relaciones entre sus lados y ángulos se pueden hallar a través del seno, coseno y tangente. Por tanto, si desconoces uno de los ángulos o de los lados, pero ya sabes el resto de datos, puedes aplicar alguna de estas relaciones para calcular lo que falta.

Es decir, si tienes un triángulo rectángulo (como el de la figura 1) las relaciones para el ángulo \(\alpha\) son:

\[\sin(\alpha)=\dfrac{a}{h}\]

\[\cos(\alpha)=\dfrac{b}{h}\]

\[\tan(\alpha)=\dfrac{a}{b}\]

Fig. 1. Triángulo rectángulo, donde \(a\) es el lado opuesto, \(b\) es el lado contiguo y \(h\) es la hipotenusa.

Sin embargo, como no todos los triángulos que puedes encontrarte son rectángulos, se puede dar el caso de que el triángulo que quieres resolver no tenga ningún ángulo recto. Entonces, ¿podemos seguir aplicando el seno, coseno y tangente? Pues, en sentido estricto, estas operaciones se definen solo para triángulos rectángulos. Pero, existen unos teoremas con los cuales podemos trabajar para calcular ángulos y lados de triángulos que no son rectángulos. A continuación, los explicaremos.

Teorema del seno

La primera regla de los triángulos que analizaremos se llama regla del seno, que puede utilizarse para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.

Considera el siguiente triángulo, con los lados \(a\), \(b\) y \(c\); y los ángulos, \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) y \(\hat{C}\).

Fig. 2. Triángulo no rectángulo.

En este triángulo, como puedes ver, ninguno de los ángulos es recto. Sin embargo, se puede llegar a las siguientes relaciones, conocidas como teorema del seno:

\[\dfrac{a}{\sin(\hat{A})}=\dfrac{b}{\sin(\hat{B})}=\dfrac{c}{\sin(\hat{C})}\]

A partir de estas relaciones, puedes encontrar los datos que te falten del triángulo.

Adicionalmente, este teorema admite las relaciones inversas; es decir:

\[\dfrac{\sin(\hat{A})}{a}=\dfrac{\sin(\hat{B})}{b}=\dfrac{\sin(\hat{C})}{c}\]

Teorema del coseno

De la misma manera que el teorema del seno, existe otro teorema que nos ayuda a resolver un triángulo, a partir de sus lados y ángulos; este es el teorema del coseno.

El teorema del coseno permite calcular el lado de un triángulo no rectángulo, en función de los otros dos lados conocidos y el ángulo opuesto al lado desconocido. Debido a esto, existen tres relaciones, una para cada lado del triángulo:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A})\]

\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\hat{B})\]

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\hat{C})\]

Estas tres relaciones son equivalentes, independientemente de qué nombre le demos a cada lado en un triángulo cualquiera.

Teorema de la tangente

Por último, vamos a ver el teorema de la tangente. En un triángulo en el que denominados los lados y ángulos —al igual que anteriormente— definimos el teorema de la tangente como:

\[\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan\left(\dfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{\tan\left(\dfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}\]

Área del triángulo

Además de los tres teoremas anteriores que se utilizan para hallar lados y ángulos desconocidos de un triángulo, también existe una relación entre el área de un triángulo y las razones trigonométricas. Con esta relación, puedes calcular el área de un triángulo, simplemente, conociendo la medida de dos de sus lados y el ángulo entre ellos dos. Utilizando los mismos triángulos que en los ejemplos anteriores, el área se define como:

\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}ac\sin(\hat{B})\]

Resolución de triángulos: casos

Cuando tienes un problema de resolución de triángulos, los datos que faltan y los que ya tienes pueden ser muy distintos (dependiendo del problema). Aquí te vamos a explicar los distintos casos que hay y la manera de solucionar cada uno.

Para todos estos problemas, vamos a utilizar un triángulo como el anterior (y que volveremos a mostrar en la figura 3).

Fig. 3. Triángulo de ejemplo.

Caso 1: se conocen dos ángulos y un lado

Si conocemos dos ángulos, podemos usar la relación fundamental de los ángulos de los triángulos para calcular el tercero:

\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]

También, como ya conocemos uno de los lados, podemos calcular los otros dos usando el teorema del seno. Esto proporciona una solución única.

Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Si conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, podemos usar el teorema del coseno para calcular el tercer lado. Como ya sabemos la información de los tres lados, ahora podemos calcular otro ángulo, a partir del teorema del coseno. Podemos calcular el tercer ángulo, puedes usar la relación:

\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]

Este tipo de problema tiene una solución única.

Caso 3: se conocen dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos

Cuando ya conocemos dos lados y nos falta la información del tercero, usando el teorema del seno, podemos calcular el ángulo faltante. Este se encuentra con:

\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]

Por último, se calcularía el tercer lado con el teorema del seno —ya que conocemos todos los ángulos y dos lados—. Este proceso puede proporcionar dos, una o ninguna solución.

Caso 4: se conocen los tres lados

A partir del teorema del coseno, podemos calcular dos de los ángulos desconocidos. Por tanto, el tercer ángulo se calcula con:

\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]

Este caso puede proporcionar una o ninguna solución.

Resolución de triángulos: ejercicios

Por último, hagamos ejercicios de resolución de triángulos, para practicar y comprender todo mejor.