Es posible derivar varias propiedades y valores de los triángulos rectángulos utilizando las reglas trigonométricas. Pero, ¿qué ocurre si se trata de triángulos que no tienen ángulos rectos? En estos casos, ¿podemos seguir aplicando la trigonometría para averiguar diversas propiedades de los triángulos dados, como los ángulos, las longitudes o el área?
Para que puedas resolver estos interrogantes, en este artículo exploraremos en más detalle las reglas de los triángulos.
- En este tema aprenderemos sobre la resolución de triángulos.
- Te explicaremos los distintos teoremasy fórmulas útiles para resolver triángulos:
- Teorema del seno
- Teorema del coseno
- Teorema de la tangente
- Área del triángulo
- Después veremos los distintos casos de resolución de triángulos.
- Por último, realizaremos algunos ejercicios de resolución de triángulos.
Resolución de triángulos
Resolver un triángulo significa calcular sus valores desconocidos, a partir de valores que sí conocemos —como ángulos y lados—.
Como ya sabrás, si el problema trata sobre un triángulo rectángulo (ese que tiene un ángulo recto), las relaciones entre sus lados y ángulos se pueden hallar a través del seno, coseno y tangente. Por tanto, si desconoces uno de los ángulos o de los lados, pero ya sabes el resto de datos, puedes aplicar alguna de estas relaciones para calcular lo que falta.
Es decir, si tienes un triángulo rectángulo (como el de la figura 1) las relaciones para el ángulo \(\alpha\) son:
\[\sin(\alpha)=\dfrac{a}{h}\]
\[\cos(\alpha)=\dfrac{b}{h}\]
\[\tan(\alpha)=\dfrac{a}{b}\]
Fig. 1. Triángulo rectángulo, donde \(a\) es el lado opuesto, \(b\) es el lado contiguo y \(h\) es la hipotenusa.
Sin embargo, como no todos los triángulos que puedes encontrarte son rectángulos, se puede dar el caso de que el triángulo que quieres resolver no tenga ningún ángulo recto. Entonces, ¿podemos seguir aplicando el seno, coseno y tangente? Pues, en sentido estricto, estas operaciones se definen solo para triángulos rectángulos. Pero, existen unos teoremas con los cuales podemos trabajar para calcular ángulos y lados de triángulos que no son rectángulos. A continuación, los explicaremos.
Teorema del seno
La primera regla de los triángulos que analizaremos se llama regla del seno, que puede utilizarse para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.
Considera el siguiente triángulo, con los lados \(a\), \(b\) y \(c\); y los ángulos, \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) y \(\hat{C}\).
Fig. 2. Triángulo no rectángulo.
En este triángulo, como puedes ver, ninguno de los ángulos es recto. Sin embargo, se puede llegar a las siguientes relaciones, conocidas como teorema del seno:
\[\dfrac{a}{\sin(\hat{A})}=\dfrac{b}{\sin(\hat{B})}=\dfrac{c}{\sin(\hat{C})}\]
A partir de estas relaciones, puedes encontrar los datos que te falten del triángulo.
Adicionalmente, este teorema admite las relaciones inversas; es decir:
\[\dfrac{\sin(\hat{A})}{a}=\dfrac{\sin(\hat{B})}{b}=\dfrac{\sin(\hat{C})}{c}\]
Teorema del coseno
De la misma manera que el teorema del seno, existe otro teorema que nos ayuda a resolver un triángulo, a partir de sus lados y ángulos; este es el teorema del coseno.
El teorema del coseno permite calcular el lado de un triángulo no rectángulo, en función de los otros dos lados conocidos y el ángulo opuesto al lado desconocido. Debido a esto, existen tres relaciones, una para cada lado del triángulo:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A})\]
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\hat{B})\]
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\hat{C})\]
Estas tres relaciones son equivalentes, independientemente de qué nombre le demos a cada lado en un triángulo cualquiera.
Teorema de la tangente
Por último, vamos a ver el teorema de la tangente. En un triángulo en el que denominados los lados y ángulos —al igual que anteriormente— definimos el teorema de la tangente como:
\[\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan\left(\dfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{\tan\left(\dfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}\]
Área del triángulo
Además de los tres teoremas anteriores que se utilizan para hallar lados y ángulos desconocidos de un triángulo, también existe una relación entre el área de un triángulo y las razones trigonométricas. Con esta relación, puedes calcular el área de un triángulo, simplemente, conociendo la medida de dos de sus lados y el ángulo entre ellos dos. Utilizando los mismos triángulos que en los ejemplos anteriores, el área se define como:
\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}ac\sin(\hat{B})\]
Resolución de triángulos: casos
Cuando tienes un problema de resolución de triángulos, los datos que faltan y los que ya tienes pueden ser muy distintos (dependiendo del problema). Aquí te vamos a explicar los distintos casos que hay y la manera de solucionar cada uno.
Para todos estos problemas, vamos a utilizar un triángulo como el anterior (y que volveremos a mostrar en la figura 3).
Fig. 3. Triángulo de ejemplo.
Caso 1: se conocen dos ángulos y un lado
Si conocemos dos ángulos, podemos usar la relación fundamental de los ángulos de los triángulos para calcular el tercero:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]
También, como ya conocemos uno de los lados, podemos calcular los otros dos usando el teorema del seno. Esto proporciona una solución única.
Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Si conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, podemos usar el teorema del coseno para calcular el tercer lado. Como ya sabemos la información de los tres lados, ahora podemos calcular otro ángulo, a partir del teorema del coseno. Podemos calcular el tercer ángulo, puedes usar la relación:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]
Este tipo de problema tiene una solución única.
Caso 3: se conocen dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos
Cuando ya conocemos dos lados y nos falta la información del tercero, usando el teorema del seno, podemos calcular el ángulo faltante. Este se encuentra con:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]
Por último, se calcularía el tercer lado con el teorema del seno —ya que conocemos todos los ángulos y dos lados—. Este proceso puede proporcionar dos, una o ninguna solución.
Caso 4: se conocen los tres lados
A partir del teorema del coseno, podemos calcular dos de los ángulos desconocidos. Por tanto, el tercer ángulo se calcula con:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]
Este caso puede proporcionar una o ninguna solución.
Resolución de triángulos: ejercicios
Por último, hagamos ejercicios de resolución de triángulos, para practicar y comprender todo mejor.
Resuelve el triángulo que tiene \(a=4\text{ cm}\), \(\hat{B}=40^\circ\) y \(\hat{C}=70^\circ\).
Solución:
Conocemos un lado y dos ángulos: se trata de un problema del caso 1.
Calculamos el tercer ángulo con la relación:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\]
Por lo que:
\[\hat{A}+40^\circ+70^\circ=180^\circ\Rightarrow \hat{A}=70^\circ\]
Ahora, utilizamos el teorema del seno para calcular los otros lados:
\[\dfrac{a}{\sin(\hat{A})}=\dfrac{b}{\sin(\hat{B})} \Rightarrow b=a\dfrac{\sin(\hat{B})}{\sin(\hat{A})}\]
\[b=4\dfrac{\sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}=2{,}74\text{ cm}\]
Y volvemos a utilizar el teorema del seno para calcular el lado restante:
\[\dfrac{a}{\sin(\hat{A})}=\dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \Rightarrow c=a\dfrac{\sin(\hat{C})}{\sin(\hat{A})}\]
\[c=4\dfrac{\sin(70^\circ)}{\sin(70^\circ)}=4\text{ cm}\]
Resuelve el triángulo con lados \(a=5\text{ cm}\), \(b=8\text{ cm}\) y \(c=10\text{ 10}\).
Solución:
Se trata de un problema del caso 4.
Como sabemos todos los lados, podemos usar dos para calcular un ángulo, a partir del teorema del coseno:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A}) \Rightarrow \cos(\hat{A})=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\]
Introduciendo los datos que conocemos:
\[\cos(\hat{A})=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{8^2+10^2-5^2}{2·8·10}=\dfrac{139}{160}\]
\[\hat{A}=\arccos\left(\dfrac{139}{160}\right)=29{,}69^\circ\]
Podemos calcular otro ángulo del mismo modo:
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\hat{B}) \Rightarrow \cos(\hat{B})=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\]
\[\cos(\hat{B})=\dfrac{5^2+10^2-8^2}{2·5·10}=\dfrac{61}{100}\]
\[\hat{B}=\arccos\left(\dfrac{61}{100}\right)=52{,}41^\circ\]
Podemos llegar a conocer el último ángulo, sabiendo que la suma de los tres ángulos es de \(180^\circ\):
\[\hat{C}=180-29{,}69-52{,}41=97{,}9^\circ\]
Resuelve el triángulo con \(a=5\text{ cm}\), \(b=8\text{ cm}\) y \(\hat{C}=50^\circ\). Luego, calcula su área.
Solución:
Como tenemos dos lados y un ángulo que es el comprendido entre esos lados, el problema es del caso 2.
Tenemos dos lados y el ángulo opuesto al lado que falta, así que podemos calcular el tercero usando el teorema del coseno:
\[c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\hat{C})}=\sqrt{5^2+8^2-2·5·8·\cos(50^\circ)}=6{,}13\text{ cm}\]
Ahora, podemos calcular el ángulo \(\hat{A}\) utilizando, de nuevo, el teorema del coseno:
\[\cos(\hat{A})=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{8^2+6{,}13^2-5^2}{2·8·6{,}13}=0{,}7808\]
\[\hat{A}=\arccos(0{,}7808)=38{,}67^\circ\]
El último ángulo será:
\[\hat{B}=180^\circ-50^\circ-38{,}67^\circ=91{,}33^\circ\]
Podríamos haber calculado el área del triángulo desde el principio así:
\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}ac\sin(\hat{B})\]
Al final, sustituyendo, llegamos a:
\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}5·6{,}13·\sin(90^\circ)=15{,}32\text{ cm}^2\]
Resolución de triángulos - Puntos clave
- Resolver un triángulo significa calcular sus valores desconocidos, a partir de valores que sí conocemos —como ángulos y lados—.
- El teorema del seno relaciona la longitud de los lados con el seno del ángulo correspondiente:\[\dfrac{a}{\sin(\hat{A})}=\dfrac{b}{\sin(\hat{B})}=\dfrac{c}{\sin(\hat{C})}\]
- El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo:\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A})\]
- A partir de los teoremas anteriores, podemos deducir el área de un triángulo como:\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}ac\sin(\hat{B})\]
- La resolución de triángulos se puede dividir en cuatro casos, según los elementos que sean conocidos:
- Caso 1: se conocen dos ángulos y un lado.
- Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Caso 3: se conocen dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos.
- Caso 4: se conocen los tres lados.
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