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Sin embargo, en los primeros años estudiarás geometría en el plano; es decir, en dos dimensiones. Por tanto, en este artículo hablaremos de los elementos geométricos que podemos encontrar en el plano —como rectas, ángulos, vectores, cónicas y polígonos, entre otros—.
No obstante, si lo que necesitas aprender está relacionado con la geometría en tres dimensiones, echa un vistazo a nuestro artículo sobre Geometría en el espacio.
¿Qué es la geometría plana?
La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones.
Es decir, podríamos definir la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen. Veamos en profundidad algunos elementos importantes de esta geometría plana.
Sistema de coordenadas en el plano
Para poder representar todos los objetos geométricos que vas a aprender, necesitas primero conocer el sistema de coordenadas en el plano. También, puedes ver el artículo dedicado exhaustivamente a los distintos sistemas de coordenadas; pero, aquí comentaremos brevemente el de dos dimensiones.
El sistema de coordenadas en el plano es un sistema bidimensional; es decir, está formado por dos dimensiones.
- Por tanto, utilizaremos el plano cartesiano, y nuestros ejes principales serán: el eje de abscisas (o eje \(x\)) y el eje de ordenadas (o eje \(y\)), que son perpendiculares entre sí.
Para expresar las coordenadas de un punto en el plano, usamos la siguiente notación:
\[P(x,y)\]
Esto quiere decir que el punto \(P\) tiene:
- Una coordenada \(x\), que significa la distancia a la que está desde el \(0\) hasta el valor de \(x\) en el eje de abscisas.
- Una coordenada \(y\), que indica la distancia del punto desde el \(0\) hasta el valor de \(y\) en el eje.
Formas bidimensionales
- Un objeto bidimensional es una figura definida en un plano que considera solo dos dimensiones: longitud y anchura.
- Un plano es una superficie plana que se extiende perpetuamente en dos dimensiones.
Recta, semirrecta y segmento
Empecemos por definir una recta en el plano.
Una recta es un objeto geométrico formado por infinitos puntos alineados en la misma dirección.
Se representa mediante la ecuación \(y=mx+c\)
- Donde \(m\) es la pendiente de la recta y \(c\) es la intersección con el eje \(y\).
La pendiente mide la inclinación de una línea y viene dada por la fórmula:
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Hay varios tipos de rectas. La siguiente tabla describe cuatro de ellos.:
Tipo de recta | Diagrama | Descripción |
Líneas paralelas Es importante tener en cuenta que un par de líneas paralelas no se intersecan entre sí, por mucho que se extiendan. |
| Se dice que dos líneas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. Un par de rectas paralelas tienen la misma pendiente. |
Líneas perpendiculares |
| Se dice que dos rectas son perpendiculares si se cortan en ángulo recto. El producto de las dos pendientes es -1. |
Segmento |
| Un segmento es una línea recta con dos puntos extremos. |
Semirrecta |
| Una semirrecta es una recta con un punto de partida fijo y un punto final que se prolonga eternamente. |
Tabla 1: Tipos de recta.
Ángulos
Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común. El ángulo se representa con el símbolo \(\angle\).
Hay seis tipos de ángulos con los que debes familiarizarte. Se muestran en la siguiente tabla:
Tipo de ángulo | Diagrama | Descripción |
Ángulo agudo |
| Ángulo de menos de \(90º\). |
Ángulo recto |
| Ángulo de \(90º\). |
Ángulo obtuso |
| Ángulo de más de \(90º\), pero menos de \(180º\). |
Ángulo llano |
| Ángulo de \(180º\). |
Ángulo cóncavo |
| Ángulo de más de \(180º\), pero menos de \(360º\). |
Rotación completa |
| Ángulo de \(360º\). |
Tabla 2: Clasificación de los ángulos.
Aquí hay varios tipos de ángulos más notables:
- Un ángulo interior es un ángulo dentro de una forma; está formado por dos lados del polígono.
- Un ángulo exterior es un ángulo entre cualquier lado de una forma y una línea extendida desde el siguiente lado del polígono.
- Dos ángulos se llaman suplementarios si suman \(180º\).
- Se dice que dos ángulos son complementarios si suman \(90º\).
Puedes encontrar una explicación detallada de los ángulos en Ángulos.
Perímetro y área
Comecemos definiendo el perímetro y el área de un objeto.
- El perímetro es la distancia alrededor de los bordes de un objeto. En otras palabras, es la suma de las medidas de todos sus lados.
- El área de un objeto es el tamaño de su superficie.
Aquí tienes un ejemplo:
Encuentra el perímetro y el área de un rectángulo, cuyo lado mayor mide 3 unidades y cuyo lado menor mide 2 unidades.
Solución:
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
Por lo tanto:
\[P = 2 + 2 + 3 + 3 = 10\text{ unidades}\]
El área de un rectángulo se encuentra al multiplicar su longitud y su anchura. Así, obtenemos:
\[A=2\times 3 = 6\text{ unidades}^2\]
Por tanto, el perímetro del rectángulo es de 10 unidades y su área es de 6 unidades2.
Polígono
¿Qué obtienes si unes varias líneas por sus extremos?, ¿adivinas la forma? Así es: ¡se llama polígono!
Un polígono es una forma cerrada bidimensional formada por líneas rectas.
- Si todos los lados y todos los ángulos de un polígono son iguales, se llama polígono regular.
- En caso contrario, se denomina polígono irregular.
Hay dos propiedades importantes de los polígonos que debes conocer. Se enumeran en la siguiente tabla:
Propiedad | Descripción |
Ángulo exterior de un polígono | La suma de los ángulos exteriores de un polígono es \(360º\). Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo exterior es igual a: \[\text{Ángulo exterior}=\frac{360º}{n}\] |
Ángulo interior de un polígono | Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo interior de un polígono viene dado por la fórmula: \[\text{Ángulo interior}=180º-\text{Ángulo exterior}\] |
Tabla 3. Propiedades de los polígonos.
Triángulos
Un triángulo es un polígono con tres lados y tres vértices.
Los triángulos, como verás a lo largo de la Geometría, juegan un papel importante en otro subtema llamado Trigonometría. Aunque, ¡más adelante hablaremos de ello! Aquí, solo cubriremos el área de un triángulo básico y describiremos varias formas de triángulos que se ven comúnmente a lo largo de este temario. Puedes encontrar una información más detallada sobre los triángulos en nuestro artículo al respecto.
Una propiedad fundamental de un triángulo es que la suma de sus ángulos interiores es \(180º\).
El área de un triángulo viene dada por la fórmula:
\[A=\dfrac{b\times h}{2},\]
- Donde: \(b\) es la base y \(h\) es la altura.
.
La siguiente tabla ilustra seis tipos fundamentales de triángulos.
Tipo de triángulo | Propiedades | Diagrama |
Triángulo equilátero | Tres lados iguales y tres ángulos iguales. |
|
Triángulo isósceles | Dos lados iguales y dos ángulos iguales. |
|
Triángulo escaleno | Sin lados iguales y sin ángulos iguales. |
|
Triángulo acutángulo | Todos los ángulos son menores de \(90º\). |
|
Triángulo rectángulo | Tiene un ángulo igual a \(90º\). |
|
Triángulo obtusángulo | Tiene un ángulo mayor de \(90º\). |
|
Tabla 4: Clasificación de triángulos.
Cónicas
Pasemos a otras forma de interés, llamadas cónicas.
Las cónicas son figuras geométricas en dos dimensiones que se expresan mediante ecuaciones cuadráticas.
Todas las cónicas se pueden definir como un lugar geométrico en el plano. Puedes encontrar una explicación completa de la geometría de las cónicas en su correspondiente artículo.
La siguiente tabla describe las cuatro formas principales de cónicas.
| Nombre | Descripción | Diagrama |
Figura que tiene un centro y un radio. |
| |
Elipse | Las elipses tienen dos focos, un semieje mayor y un semieje menor. |
|
Parábola | Las parábolas se forman a partir de una recta directriz y un foco. |
|
La hipérbola tiene dos focos, un semieje real y un semieje imaginario. |
|
Tabla 5: Tipos de cónicas.
Vectores
Un vector es un concepto importante a la hora de describir el movimiento de un punto a otro.
Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido.
Un vector puede visualizarse geométricamente como un segmento con una dirección, una longitud igual a la magnitud del vector y un sentido indicado por una flecha. A continuación, se muestra una representación gráfica de un vector.
Fig. 2: Representación de un vector.
Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas, como mencionamos anteriormente.
Este tema se trata detenidamente en el artículo de Vectores.
Veamos, ahora, algunas operaciones vectoriales comunes:
Operaciones con vectores | Notación | Representación gráfica |
Suma de vectores | \[\vec{a}+\vec{b}\] |
|
Resta de vectores | \[\vec{a}-\vec{b}\] |
|
Producto por un escalar | \[k\cdot\vec{a}\] |
|
Producto escalar | \[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)\] |
|
Tabla 5: Operaciones con vectores.
Geometría en el plano - Puntos clave
- El sistema de coordenadas en el plano es un sistema bidimensional; es decir, está formado por dos dimensiones.
- Una recta se representa mediante la ecuación \(y=mx+c\); donde \(m\) es la pendiente de la recta y \(c\) es la intersección con el eje \(y\).
- Podemos clasificar los tipos de recta como: rectas paralelas, rectas perpendiculares, segmentos y semirrectas.
- Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común.
- Podemos clasificar los ángulos como: ángulos agudos, ángulos rectos, ángulos obtusos, ángulos llanos, ángulos cóncavos, ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
- El perímetro es la distancia alrededor de los bordes de un objeto. En otras palabras, es la suma de las medidas de todos sus lados.
- El área de un objeto es el tamaño de la superficie de un objeto.
- Un polígono es una forma cerrada bidimensional formada por líneas rectas.
- Un triángulo es un polígono con tres lados y tres vértices.
- Existen cuatro tipos de cónicas: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola.
- Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido. Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas.
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Preguntas frecuentes sobre Geometría plana
¿Qué es el plano, en geometría?
El plano es el objeto geométrico que tiene dos dimensiones extensas que ocupan toda la superficie.
¿Qué es un ángulo en el plano?
Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común.
¿Qué es una recta y una semirrecta?
- Una recta es un objeto geométrico formado por infinitos puntos alineados en la misma dirección.
- Mientras que una semirrecta es una recta con un punto de partida fijo y un punto final, que se prolonga eternamente.
¿Qué son las cónicas, en el plano cartesiano?
Las cónicas son lugares geométricos del plano.
- Por ejemplo, la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están todos a la misma distancia de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.
¿Qué es un vector en el plano y cuál es su interpretación geométrica?
Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido. Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas.
¿Qué es la geometría plana?
La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones. En otras palabras, la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen
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