Geometría plana

Como ya sabes, la geometría es una rama de las matemáticas que analiza y compara las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos, superficies y figuras sólidas en el espacio

Geometría plana Geometría plana

Crea materiales de aprendizaje sobre Geometría plana con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis
Tarjetas de estudio
Índice de temas

    Sin embargo, en los primeros años estudiarás geometría en el plano; es decir, en dos dimensiones. Por tanto, en este artículo hablaremos de los elementos geométricos que podemos encontrar en el plano —como rectas, ángulos, vectores, cónicas y polígonos, entre otros—.

    No obstante, si lo que necesitas aprender está relacionado con la geometría en tres dimensiones, echa un vistazo a nuestro artículo sobre Geometría en el espacio.

    ¿Qué es la geometría plana?

    La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones.

    Es decir, podríamos definir la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen. Veamos en profundidad algunos elementos importantes de esta geometría plana.

    Sistema de coordenadas en el plano

    Para poder representar todos los objetos geométricos que vas a aprender, necesitas primero conocer el sistema de coordenadas en el plano. También, puedes ver el artículo dedicado exhaustivamente a los distintos sistemas de coordenadas; pero, aquí comentaremos brevemente el de dos dimensiones.

    El sistema de coordenadas en el plano es un sistema bidimensional; es decir, está formado por dos dimensiones.

    • Por tanto, utilizaremos el plano cartesiano, y nuestros ejes principales serán: el eje de abscisas (o eje \(x\)) y el eje de ordenadas (o eje \(y\)), que son perpendiculares entre sí.

    Para expresar las coordenadas de un punto en el plano, usamos la siguiente notación:

    \[P(x,y)\]

    Esto quiere decir que el punto \(P\) tiene:

    1. Una coordenada \(x\), que significa la distancia a la que está desde el \(0\) hasta el valor de \(x\) en el eje de abscisas.
    2. Una coordenada \(y\), que indica la distancia del punto desde el \(0\) hasta el valor de \(y\) en el eje.

    Formas bidimensionales

    • Un objeto bidimensional es una figura definida en un plano que considera solo dos dimensiones: longitud y anchura.
    • Un plano es una superficie plana que se extiende perpetuamente en dos dimensiones.

    Recta, semirrecta y segmento

    Empecemos por definir una recta en el plano.

    Una recta es un objeto geométrico formado por infinitos puntos alineados en la misma dirección.

    Se representa mediante la ecuación \(y=mx+c\)

    • Donde \(m\) es la pendiente de la recta y \(c\) es la intersección con el eje \(y\).

    La pendiente mide la inclinación de una línea y viene dada por la fórmula:

    \[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

    Hay varios tipos de rectas. La siguiente tabla describe cuatro de ellos.:

    Tipo de recta

    Diagrama

    Descripción

    Líneas paralelas

    Es importante tener en cuenta que un par de líneas paralelas no se intersecan entre sí, por mucho que se extiendan.

    Geometría plana rectas paralelas, StudySmarter

    Se dice que dos líneas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se cruzan.

    Un par de rectas paralelas tienen la misma pendiente.

    Líneas perpendiculares

    Geometría plana, rectas perpendiculares, StudySmarter

    Se dice que dos rectas son perpendiculares si se cortan en ángulo recto.

    El producto de las dos pendientes es -1.

    Segmento

    Geometría plana, segmento, StudySmarter

    Un segmento es una línea recta con dos puntos extremos.

    Semirrecta

    Geometría plana, semirrecta, StudySmarter

    Una semirrecta es una recta con un punto de partida fijo y un punto final que se prolonga eternamente.

    Tabla 1: Tipos de recta.

    Ángulos

    Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común. El ángulo se representa con el símbolo \(\angle\).

    Hay seis tipos de ángulos con los que debes familiarizarte. Se muestran en la siguiente tabla:

    Tipo de ángulo

    Diagrama

    Descripción

    Ángulo agudo

    Geometría plana, ángulo agudo, StudySmarter

    Ángulo de menos de \(90º\).

    Ángulo recto

    Geometría plana, ángulo recto, StudySmarter

    Ángulo de \(90º\).

    Ángulo obtuso

    Geometría plana, ángulo obtuso, StudySmarter

    Ángulo de más de \(90º\), pero menos de \(180º\).

    Ángulo llano

    Geometría plana, ángulo llano, StudySmarter

    Ángulo de \(180º\).

    Ángulo cóncavo

    Geometría plana, ángulo cóncavo, StudySmarter

    Ángulo de más de \(180º\), pero menos de \(360º\).

    Rotación completa

    Geometría plana, rotación completa, StudySmarter

    Ángulo de \(360º\).

    Tabla 2: Clasificación de los ángulos.

    Aquí hay varios tipos de ángulos más notables:

    • Un ángulo interior es un ángulo dentro de una forma; está formado por dos lados del polígono.
    • Un ángulo exterior es un ángulo entre cualquier lado de una forma y una línea extendida desde el siguiente lado del polígono.
    • Dos ángulos se llaman suplementarios si suman \(180º\).
    • Se dice que dos ángulos son complementarios si suman \(90º\).

    Puedes encontrar una explicación detallada de los ángulos en Ángulos.

    Perímetro y área

    Comecemos definiendo el perímetro y el área de un objeto.

    • El perímetro es la distancia alrededor de los bordes de un objeto. En otras palabras, es la suma de las medidas de todos sus lados.
    • El área de un objeto es el tamaño de su superficie.

    Aquí tienes un ejemplo:

    Encuentra el perímetro y el área de un rectángulo, cuyo lado mayor mide 3 unidades y cuyo lado menor mide 2 unidades.

    Solución:

    El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.

    Por lo tanto:

    \[P = 2 + 2 + 3 + 3 = 10\text{ unidades}\]

    El área de un rectángulo se encuentra al multiplicar su longitud y su anchura. Así, obtenemos:

    \[A=2\times 3 = 6\text{ unidades}^2\]

    Por tanto, el perímetro del rectángulo es de 10 unidades y su área es de 6 unidades2.

    Polígono

    ¿Qué obtienes si unes varias líneas por sus extremos?, ¿adivinas la forma? Así es: ¡se llama polígono!

    Un polígono es una forma cerrada bidimensional formada por líneas rectas.

    • Si todos los lados y todos los ángulos de un polígono son iguales, se llama polígono regular.
    • En caso contrario, se denomina polígono irregular.

    Hay dos propiedades importantes de los polígonos que debes conocer. Se enumeran en la siguiente tabla:

    Propiedad

    Descripción

    Ángulo exterior de un polígono

    La suma de los ángulos exteriores de un polígono es \(360º\).

    Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo exterior es igual a:

    \[\text{Ángulo exterior}=\frac{360º}{n}\]

    Ángulo interior de un polígono

    Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo interior de un polígono viene dado por la fórmula:

    \[\text{Ángulo interior}=180º-\text{Ángulo exterior}\]

    Tabla 3. Propiedades de los polígonos.

    Triángulos

    Un triángulo es un polígono con tres lados y tres vértices.

    Los triángulos, como verás a lo largo de la Geometría, juegan un papel importante en otro subtema llamado Trigonometría. Aunque, ¡más adelante hablaremos de ello! Aquí, solo cubriremos el área de un triángulo básico y describiremos varias formas de triángulos que se ven comúnmente a lo largo de este temario. Puedes encontrar una información más detallada sobre los triángulos en nuestro artículo al respecto.

    Una propiedad fundamental de un triángulo es que la suma de sus ángulos interiores es \(180º\).

    El área de un triángulo viene dada por la fórmula:

    \[A=\dfrac{b\times h}{2},\]

    • Donde: \(b\) es la base y \(h\) es la altura.

    .Geometría plana, componentes para calcular el área de un triángulo, StudySmarter

    Fig. 1: Componentes para calcular el área de un triángulo.

    La siguiente tabla ilustra seis tipos fundamentales de triángulos.

    Tipo de triángulo

    Propiedades

    Diagrama

    Triángulo equilátero

    Tres lados iguales y tres ángulos iguales.

    Geometría plana, triángulo equilátero, StudySmarter

    Triángulo isósceles

    Dos lados iguales y dos ángulos iguales.

    Geometría plana, triángulo isósceles, StudySmarter

    Triángulo escaleno

    Sin lados iguales y sin ángulos iguales.

    Geometría plana, triángulo isósceles, StudySmarter

    Triángulo acutángulo

    Todos los ángulos son menores de

    \(90º\).

    Geometría plana, triángulo acutángulo, StudySmarter

    Triángulo rectángulo

    Tiene un ángulo igual a \(90º\).

    Geometría plana, triángulo rectángulo, StudySmarter

    Triángulo obtusángulo

    Tiene un ángulo mayor de \(90º\).

    Geometría plana, triángulo obtusángulo, StudySmarter

    Tabla 4: Clasificación de triángulos.

    Cónicas

    Pasemos a otras forma de interés, llamadas cónicas.

    Las cónicas son figuras geométricas en dos dimensiones que se expresan mediante ecuaciones cuadráticas.

    Todas las cónicas se pueden definir como un lugar geométrico en el plano. Puedes encontrar una explicación completa de la geometría de las cónicas en su correspondiente artículo.

    La siguiente tabla describe las cuatro formas principales de cónicas.

    NombreDescripciónDiagrama

    Circunferencia

    Figura que tiene un centro y un radio.

    Geometría plana, circunferencia, StudySmarter

    Elipse

    Las elipses tienen dos focos, un semieje mayor y un semieje menor.

    Geometría plana, elipse, StudySmarter

    Parábola

    Las parábolas se forman a partir de una recta directriz y un foco.

    Geometría plana, parábola, StudySmarter

    Hipérbola

    La hipérbola tiene dos focos, un semieje real y un semieje imaginario.

    Geometría plana, hipérbola, StudySmarter

    Tabla 5: Tipos de cónicas.

    Vectores

    Un vector es un concepto importante a la hora de describir el movimiento de un punto a otro.

    Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido.

    Un vector puede visualizarse geométricamente como un segmento con una dirección, una longitud igual a la magnitud del vector y un sentido indicado por una flecha. A continuación, se muestra una representación gráfica de un vector.

    Geometría plana, representación de un vector, StudySmarterFig. 2: Representación de un vector.

    Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas, como mencionamos anteriormente.

    Este tema se trata detenidamente en el artículo de Vectores.

    Veamos, ahora, algunas operaciones vectoriales comunes:

    Operaciones con vectores

    Notación

    Representación gráfica

    Suma de vectores

    \[\vec{a}+\vec{b}\]

    Geometría plana, suma de vectores, StudySmarter

    Resta de vectores

    \[\vec{a}-\vec{b}\]

    Geometría plana, resta de vectores, StudySmarter

    Producto por un escalar

    \[k\cdot\vec{a}\]

    Geometría plana, productor de un vector por un escalar, StudySmarter

    Producto escalar

    \[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)\]

    Geometría plana, producto escalar de dos vectores, StudySmarter

    Tabla 5: Operaciones con vectores.

    Geometría en el plano - Puntos clave

    • El sistema de coordenadas en el plano es un sistema bidimensional; es decir, está formado por dos dimensiones.
    • Una recta se representa mediante la ecuación \(y=mx+c\); donde \(m\) es la pendiente de la recta y \(c\) es la intersección con el eje \(y\).
    • Podemos clasificar los tipos de recta como: rectas paralelas, rectas perpendiculares, segmentos y semirrectas.
    • Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común.
    • Podemos clasificar los ángulos como: ángulos agudos, ángulos rectos, ángulos obtusos, ángulos llanos, ángulos cóncavos, ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
    • El perímetro es la distancia alrededor de los bordes de un objeto. En otras palabras, es la suma de las medidas de todos sus lados.
    • El área de un objeto es el tamaño de la superficie de un objeto.
    • Un polígono es una forma cerrada bidimensional formada por líneas rectas.
    • Un triángulo es un polígono con tres lados y tres vértices.
    • Existen cuatro tipos de cónicas: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola.
    • Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido. Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas.
    Preguntas frecuentes sobre Geometría plana

    ¿Qué es el plano, en geometría?

    El plano es el objeto geométrico que tiene dos dimensiones extensas que ocupan toda la superficie.

    ¿Qué es un ángulo en el plano?

    Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común.

    ¿Qué es una recta y una semirrecta?

    • Una recta es un objeto geométrico formado por infinitos puntos alineados en la misma dirección. 
    • Mientras que una semirrecta es una recta con un punto de partida fijo y un punto final, que se prolonga eternamente.

    ¿Qué son las cónicas, en el plano cartesiano?

    Las cónicas son lugares geométricos del plano. 

    • Por ejemplo, la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están todos a la misma distancia de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.

    ¿Qué es un vector en el plano y cuál es su interpretación geométrica?

    Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido. Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas.

    ¿Qué es la geometría plana?

    La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones. En otras palabras, la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    ¿Qué es una recta perpendicular?

    ¿Qué es una mediatriz?

    ¿Qué es la bisectriz de dos ángulos?

    Siguiente

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 10 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner