Tú sabes que la tierra es redonda. O, si no bien perfectamente redonda, algo ovalada por los polos. Hoy en día esto es muy fácil de comprobar, ya que incluso somos capaces de viajar al espacio y tomar fotografías del planeta. Pero, ¿cómo quedarías si te decimos que alguien lo logró demostrar hace más de \(2200\) años? Este fue el matemático griego Eratóstenes, quien calculó la circunferencia de la Tierra y descubrió que esta era redonda. Y, ¿qué herramienta utilizó alguien que vivió hace tantos años? Muy sencillo: la trigonometría.
La trigonometría es el estudio de los ángulos y las relaciones geométricas entre ellos. Muchas veces también está relacionada con el estudio de las figuras geométricas (como los triángulos y los cuadrados, entre otras) y su caracterización.
Las funciones con las que trata la trigonometría —como el seno, el coseno o la tangente— están relacionadas con los ángulos y lados de un triángulo. Tenemos además las funciones inversas de estas: la secante, cosecante y cotangente. Otras funciones que nos sirven para encontrar los ángulos son las trigonométricamente inversas de las ya mencionadas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente.
La trigonometría es muy útil en cálculos ingenieriles, para campos como la ingeniería mecánica y civil, entre otras.
Trigonometría básica
En la trigonometría básica, las funciones trigonométricas nos permiten encontrar los ángulos y longitudes de los lados de un triángulo. Para ello, primero se deben definir los lados de un triángulo: en el caso de un triángulo rectángulo existen los dos lados llamados catetos, cuya intersección incluye el ángulo recto, y la hipotenusa —el lado más largo de un triángulo rectángulo y contraria a este ángulo recto—.
Fig. 1: Imagen de un triángulo rectángulo. El ángulo marcado con un cuadrado es conocido como ángulo recto y mide 90 grados.
Fórmulas de la trigonometría
Las relaciones trigonométricas expresan relaciones entre los ángulos y las longitudes de un triángulo; se pueden utilizar para obtener cantidades desconocidas. Puedes verlas en las fórmulas siguientes:
\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]
\[\cos(\theta)=\dfrac{CA}{H}\]
\[\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{CO}{CA}\]
Aqui:
\(CO=\) cateto opuesto.
\(CA=\) cateto adyacente.
\(H=\) hipotenusa.
Esta es una de las maneras más fáciles de explicar la trigonometría, usando los catetos de un triángulo.
En consecuencia, para encontrar algún valor del triángulo rectángulo con estas fórmulas tenemos que:
Encontrar los valores conocidos, ya sean catetos o ángulos.
Escoger la ecuación trigonométrica, dependiendo del valor que se debe encontrar y los datos de los que se dispone.
Sustituir los datos en la ecuación.
Resolver la ecuación para encontrar la cantidad desconocida.
En el caso en el que se necesite encontrar un ángulo, y no una longitud, podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas. Estas aparecen a continuación:
\[\theta=arcsin \left( \dfrac{CO}{H} \right) \]
\[\theta=arccos \left( \dfrac{CA}{H} \right) \]
\[\theta=arctan \left( \dfrac{CO}{CA} \right) \]
Encontremos el valor de la longitud que hace falta.
Fig. 2: Triángulo rectángulo con un cateto y un ángulo dado.
El primer paso es identificar los catetos y la hipotenusa de nuestro triángulo y asignarles variables.
Fig. 3: Triángulo rectángulo con la relación de los lados con respecto a un ángulo.
Al identificar el cateto opuesto, cuya longitud se quiere averiguar, y la hipotenusa, y sabiendo que el ángulo formado es de \(55^o\), se puede utilizar la fórmula del seno.
\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]
Después de esto, puedes sustituir los valores de la fórmula para obtener la longitud de la hipotenusa.
\[H=\dfrac{CO}{\sin(\theta)}=\dfrac{16cm}{\sin(55^o)}=19{,}53cm\]
Triángulos no rectángulos
Las fórmulas trigonométricas también son válidas en triángulos que no son rectángulos. En este caso, se suelen usar las reglas del seno y del coseno. De nuevo, es crucial identificar adecuadamente los lados del triángulo que queremos estudiar.
Fig. 4: Triángulo escaleno, donde ningún lado es similar al otro.
Regla del coseno
La regla del coseno es empleada para encontrar la longitud en triángulos, cuando se desconoce la longitud de uno de los catetos. La fórmula es la siguiente:
\[a=\sqrt{b^2+c^2-2bc \cdot \cos(A)}\]
Por supuesto, también se puede usar esta regla para encontrar el ángulo, despejando de la función el \(A\).
\[A=arccos \left( \dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \right)\]
Regla del seno
Al igual que la regla del coseno, se puede usar la regla del seno para encontrar la longitud de un lado de un triángulo que no es rectángulo, o para averiguar longitudes desconocidas. Las fórmulas son las siguientes:
Para un lado:
\[a=b \dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}\]
Para un ángulo:
\[A=arcsin \left( \dfrac{a \cdot (B)}{b} \right)\]
Encontremos el valor de \(x\).
Fig. 5: Triángulo escaleno, del que conocemos dos lados.
En la imagen podemos observar que la cantidad que no conocemos \((x)\) es un ángulo. El problema es que no tenemos la longitud de los tres lados. Podríamos intentar resolverlo con la regla de los cosenos, dado que no disponemos de la información directa de ningún ángulo; pero, necesitaríamos conocer el valor del lado contrario al ángulo, por lo cual no se puede resolver el ejemplo de esa forma.
Esto nos muestra que, en ocasiones, los ejercicios de trigonometría no se pueden resolver, dado que desconocemos las variables necesarias para encontrar un resultado.
Imaginemos ahora que el costado que nos falta vale . Podríamos encontrar el ángulo con la regla del coseno que hemos visto anteriormente, tal que:
\[A=arccos \left( \dfrac{5^2-6{,}5^2-11^2}{-2 \cdot 6{,}5 \cdot 11} \right)\]
Área de un triángulo
Si conocemos la longitud de dos lados de cualquier triángulo y el ángulo entre ellos, se puede encontrar el área del triángulo empleando el seno del ángulo formado:
\[A=\dfrac{1}{2} a \cdot b \sin(C)\]
Tomemos el caso de un triángulo arbitrario:
Fig. 6. Triángulo escaleno.
Primero, debemos nombrar el ángulo que conocemos como \(c\); al lado opuesto también lo llamaremos \(c\), en ese caso. Después, denotamos los lados que se intersecan formando el ángulo \(c\) como \(a\) y \(b\). Al sustituir en la fórmula, obtenemos:
\[A=\dfrac{1}{2} a \cdot b \sin(C)\]
\[A=\dfrac{1}{2} 15 \cdot 12 \sin(70^o)\]
\[A=85{,}6 cm^2\]
El círculo unitario
Un círculo unitario es una figura geométrica que puede ayudar a comprender las funciones trigonométricas. Este círculo tiene un radio de \(1\) (las unidades de longitud son irrelevantes) y su centro está en las coordenadas \((0,0)\). Se puede obtener una relación muy sencilla para las coordenadas cartesianas de un punto arbitrario que se encuentra en la circunferencia utilizando las funciones trigonométricas:
\(\cos(\theta)=x\), la coordenadade.
\(\sin(\theta)=y\), la coordenada \(y\) de \(P\).
En este caso, medimos el ángulo \(\theta\), en dirección contraria a las agujas del reloj.
A continuación, tienes un ejemplo de un círculo unitario:
Fig. 7. Círculo unitario y coordenadas del círculo unitario.
Para encontrar la pendiente formada por la recta que pasa por el punto \(P\) y por el centro, se debe usar la relación trigonométrica siguiente:
\[\tan(\theta)= \dfrac{y}{x} \]
Tabla de trigonometría
Es importante saber que, en trigonometría, los valores de las funciones son cíclicos; es decir, que se repiten en intervalos fijos. Estos valores se repiten cuando damos un giro de \(360^o\) o \(2 \pi rad\) y obtenemos los mismos valores, pero con signo cambiado, cuando el giro sea la mitad.
Veamos valores comunes en la tabla debajo para las funciones seno, coseno y tangente:
| Función (grados, radianes) | Seno | Coseno | Tangente |
| \(0^o,0\pi\) | 0 | 1 | 0 |
| \(90^0, \dfrac{\pi}{2}\) | 1 | 0 | Indeterminado |
| \(180^o,\pi\) | 0 | -1 | 0 |
| \(270^0, \dfrac{3\pi}{2}\) | -1 | 0 | Indeterminado |
| \(360^o,2\pi\) | 0 | 1 | 0 |
Tabla 1. Valores del seno, coseno y tangente para diferentes ángulos relevantes.
Como puedes observar, al llegar al valor, los términos se repiten nuevamente.
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