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Trigonometría

Trigonometría

Tú sabes que la tierra es redonda. O, si no bien perfectamente redonda, algo ovalada por los polos. Hoy en día esto es muy fácil de comprobar, ya que incluso somos capaces de viajar al espacio y tomar fotografías del planeta. Pero, ¿cómo quedarías si te decimos que alguien lo logró demostrar hace más de \(2200\) años? Este fue el matemático griego Eratóstenes, quien calculó la circunferencia de la Tierra y descubrió que esta era redonda. Y, ¿qué herramienta utilizó alguien que vivió hace tantos años? Muy sencillo: la trigonometría.

La trigonometría es el estudio de los ángulos y las relaciones geométricas entre ellos. Muchas veces también está relacionada con el estudio de las figuras geométricas (como los triángulos y los cuadrados, entre otras) y su caracterización.

Las funciones con las que trata la trigonometría —como el seno, el coseno o la tangente— están relacionadas con los ángulos y lados de un triángulo. Tenemos además las funciones inversas de estas: la secante, cosecante y cotangente. Otras funciones que nos sirven para encontrar los ángulos son las trigonométricamente inversas de las ya mencionadas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

La trigonometría es muy útil en cálculos ingenieriles, para campos como la ingeniería mecánica y civil, entre otras.

Trigonometría básica

En la trigonometría básica, las funciones trigonométricas nos permiten encontrar los ángulos y longitudes de los lados de un triángulo. Para ello, primero se deben definir los lados de un triángulo: en el caso de un triángulo rectángulo existen los dos lados llamados catetos, cuya intersección incluye el ángulo recto, y la hipotenusa —el lado más largo de un triángulo rectángulo y contraria a este ángulo recto—.

Trigonometría Básica StudySmarterFig. 1: Imagen de un triángulo rectángulo. El ángulo marcado con un cuadrado es conocido como ángulo recto y mide 90 grados.

Fórmulas de la trigonometría

Las relaciones trigonométricas expresan relaciones entre los ángulos y las longitudes de un triángulo; se pueden utilizar para obtener cantidades desconocidas. Puedes verlas en las fórmulas siguientes:

\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]

\[\cos(\theta)=\dfrac{CA}{H}\]

\[\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{CO}{CA}\]

Aqui:

\(CO=\) cateto opuesto.

\(CA=\) cateto adyacente.

\(H=\) hipotenusa.

Esta es una de las maneras más fáciles de explicar la trigonometría, usando los catetos de un triángulo.

En consecuencia, para encontrar algún valor del triángulo rectángulo con estas fórmulas tenemos que:

  1. Encontrar los valores conocidos, ya sean catetos o ángulos.

  2. Escoger la ecuación trigonométrica, dependiendo del valor que se debe encontrar y los datos de los que se dispone.

  3. Sustituir los datos en la ecuación.

  4. Resolver la ecuación para encontrar la cantidad desconocida.

En el caso en el que se necesite encontrar un ángulo, y no una longitud, podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas. Estas aparecen a continuación:

\[\theta=arcsin \left( \dfrac{CO}{H} \right) \]

\[\theta=arccos \left( \dfrac{CA}{H} \right) \]

\[\theta=arctan \left( \dfrac{CO}{CA} \right) \]

Encontremos el valor de la longitud que hace falta.

Trigonometría Fórmulas de la trigonometría StudySmarterFig. 2: Triángulo rectángulo con un cateto y un ángulo dado.

El primer paso es identificar los catetos y la hipotenusa de nuestro triángulo y asignarles variables.

Trigonometría Ejemplo fórmulas trigonometría StudySmarterFig. 3: Triángulo rectángulo con la relación de los lados con respecto a un ángulo.

Al identificar el cateto opuesto, cuya longitud se quiere averiguar, y la hipotenusa, y sabiendo que el ángulo formado es de \(55^o\), se puede utilizar la fórmula del seno.

\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]

Después de esto, puedes sustituir los valores de la fórmula para obtener la longitud de la hipotenusa.

\[H=\dfrac{CO}{\sin(\theta)}=\dfrac{16cm}{\sin(55^o)}=19{,}53cm\]

Triángulos no rectángulos

Las fórmulas trigonométricas también son válidas en triángulos que no son rectángulos. En este caso, se suelen usar las reglas del seno y del coseno. De nuevo, es crucial identificar adecuadamente los lados del triángulo que queremos estudiar.

Trigonometría Regla del seno StudySmarterFig. 4: Triángulo escaleno, donde ningún lado es similar al otro.

Regla del coseno

La regla del coseno es empleada para encontrar la longitud en triángulos, cuando se desconoce la longitud de uno de los catetos. La fórmula es la siguiente:

\[a=\sqrt{b^2+c^2-2bc \cdot \cos(A)}\]

Por supuesto, también se puede usar esta regla para encontrar el ángulo, despejando de la función el \(A\).

\[A=arccos \left( \dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \right)\]

Regla del seno

Al igual que la regla del coseno, se puede usar la regla del seno para encontrar la longitud de un lado de un triángulo que no es rectángulo, o para averiguar longitudes desconocidas. Las fórmulas son las siguientes:

Para un lado:

\[a=b \dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}\]

Para un ángulo:

\[A=arcsin \left( \dfrac{a \cdot (B)}{b} \right)\]

Encontremos el valor de \(x\).

Trigonometría Regla del coseno StudySmarterFig. 5: Triángulo escaleno, del que conocemos dos lados.

En la imagen podemos observar que la cantidad que no conocemos \((x)\) es un ángulo. El problema es que no tenemos la longitud de los tres lados. Podríamos intentar resolverlo con la regla de los cosenos, dado que no disponemos de la información directa de ningún ángulo; pero, necesitaríamos conocer el valor del lado contrario al ángulo, por lo cual no se puede resolver el ejemplo de esa forma.

Esto nos muestra que, en ocasiones, los ejercicios de trigonometría no se pueden resolver, dado que desconocemos las variables necesarias para encontrar un resultado.

Imaginemos ahora que el costado que nos falta vale . Podríamos encontrar el ángulo con la regla del coseno que hemos visto anteriormente, tal que:

\[A=arccos \left( \dfrac{5^2-6{,}5^2-11^2}{-2 \cdot 6{,}5 \cdot 11} \right)\]

Área de un triángulo

Si conocemos la longitud de dos lados de cualquier triángulo y el ángulo entre ellos, se puede encontrar el área del triángulo empleando el seno del ángulo formado:

\[A=\dfrac{1}{2} a \cdot b \sin(C)\]

Tomemos el caso de un triángulo arbitrario:

Trigonometría Área del triangulo StudySmarterFig. 6. Triángulo escaleno.

Primero, debemos nombrar el ángulo que conocemos como \(c\); al lado opuesto también lo llamaremos \(c\), en ese caso. Después, denotamos los lados que se intersecan formando el ángulo \(c\) como \(a\) y \(b\). Al sustituir en la fórmula, obtenemos:

\[A=\dfrac{1}{2} a \cdot b \sin(C)\]

\[A=\dfrac{1}{2} 15 \cdot 12 \sin(70^o)\]

\[A=85{,}6 cm^2\]

El círculo unitario

Un círculo unitario es una figura geométrica que puede ayudar a comprender las funciones trigonométricas. Este círculo tiene un radio de \(1\) (las unidades de longitud son irrelevantes) y su centro está en las coordenadas \((0,0)\). Se puede obtener una relación muy sencilla para las coordenadas cartesianas de un punto arbitrario que se encuentra en la circunferencia utilizando las funciones trigonométricas:

  • \(\cos(\theta)=x\), la coordenadade.

  • \(\sin(\theta)=y\), la coordenada \(y\) de \(P\).

En este caso, medimos el ángulo \(\theta\), en dirección contraria a las agujas del reloj.

A continuación, tienes un ejemplo de un círculo unitario:

Trigonometría Círculo unitario StudySmarterFig. 7. Círculo unitario y coordenadas del círculo unitario.

Para encontrar la pendiente formada por la recta que pasa por el punto \(P\) y por el centro, se debe usar la relación trigonométrica siguiente:

\[\tan(\theta)= \dfrac{y}{x} \]

Tabla de trigonometría

Es importante saber que, en trigonometría, los valores de las funciones son cíclicos; es decir, que se repiten en intervalos fijos. Estos valores se repiten cuando damos un giro de \(360^o\) o \(2 \pi rad\) y obtenemos los mismos valores, pero con signo cambiado, cuando el giro sea la mitad.

Veamos valores comunes en la tabla debajo para las funciones seno, coseno y tangente:

Función (grados, radianes)SenoCosenoTangente
\(0^o,0\pi\)010
\(90^0, \dfrac{\pi}{2}\)10Indeterminado
\(180^o,\pi\)0-10
\(270^0, \dfrac{3\pi}{2}\)-10Indeterminado
\(360^o,2\pi\)010

Tabla 1. Valores del seno, coseno y tangente para diferentes ángulos relevantes.

Como puedes observar, al llegar al valor, los términos se repiten nuevamente.

Trigonometría - Puntos clave

  • La trigonometría es usada para el estudio de los ángulos y catetos de figuras como los triángulos.
  • Algunas funciones trigonométricas son el seno, el coseno, la tangente y sus inversas (arcoseno, arcocoseno y arcotangente).
  • Es crucial asignar correctamente las variables de ángulos y longitudes de un triángulo para poder obtener información sobre ellos utilizando funciones trigonométricas.
  • Las reglas del seno y coseno nos permiten encontrar los ángulos o longitudes de los lados en triángulos que no son rectángulos.
  • El círculo unitario puede ayudar a comprender la naturaleza de las funciones trigonométricas.

Preguntas frecuentes sobre Trigonometría

Son las relaciones del seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

La trigonometría es el estudio de los ángulos y las relaciones geométricas entre ellos. Muchas veces está también relacionada con el estudio de las figuras geométricas, como los triángulos y los cuadrados.

La trigonometría es muy útil en cálculos ingenieriles para campos como la ingeniería mecánica y civil, entre otras.

Una de las maneras más fáciles de explicar la trigonometría es usando los catetos de un triángulo rectángulo.


Para esto, se toma uno de los ángulos que no es contrario a la hipotenusa. De este modo los lados del triángulo son el opuesto al ángulo, el adyacente al ángulo y la hipotenusa.


Las funciones trigonométricas se clasifican en las tres funciones esenciales que son el seno, coseno y tangente, sus inversas que son la secante, cosecante y cotangente.

Cuestionario final de Trigonometría

Pregunta

 ¿Cuáles son las tres principales funciones trigonométricas?

Mostrar respuesta

Answer

Seno, coseno y tangente.

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Pregunta

¿Cómo se pueden nombrar los tres lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos que no es el recto?

Mostrar respuesta

Answer

Catetos e hipotenusa.

Show question

Pregunta

¿Qué es la hipotenusa?

Mostrar respuesta

Answer

El lado mayor del triángulo y opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

Show question

Pregunta

¿Cómo se encuentra la longitud de los lados en un triángulo que no es rectángulo?

Mostrar respuesta

Answer

Se puede usar la regla de los senos o la de los cosenos.

Show question

Pregunta

 ¿Cuál es la fórmula para la regla del coseno?

Mostrar respuesta

Answer

\(a^2+b^2+c^2-2(a \cdot b) \cos(A)\).


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Pregunta

¿Qué fórmula se debe usar cuando se tiene la hipotenusa y un cateto en un triángulo rectángulo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\).

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Pregunta

¿Qué fórmula se debe usar cuando se tienen los dos catetos en un triángulo rectángulo y se debe encontrar el ángulo entre ambos?

Mostrar respuesta

Answer

En un triángulo rectángulo, el ángulo entre los catetos es siempre de \(90^o\).

Show question

Pregunta

 En un círculo unitario, ¿qué función se usa para obtener la coordenada \(x\) de un punto?

Mostrar respuesta

Answer

 \(\cos(\theta)=x\).

Show question

Pregunta

 En un círculo unitario, ¿qué función se usa para obtener la coordenada \(x\) de un punto?

Mostrar respuesta

Answer

 \(\sin(\theta)=y\).

Show question

Pregunta

¿Cuándo se debe usar la regla del seno?

Mostrar respuesta

Answer

En un triángulo no rectángulo, cuando los datos conocidos son dos lados y un ángulo del triángulo.

Show question

Pregunta

 ¿Qué lados de un triangulo relaciona la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Lados que comparten un ángulo.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación para la secante?



Mostrar respuesta

Answer

\(sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}\).


Show question

Pregunta

¿Cuáles son las tres funciones trigonométricas recíprocas?

Mostrar respuesta

Answer

Arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

Show question

Pregunta

Si el valor del seno es de \(0{,}73\), ¿qué función se debe usar para encontrar un ángulo?

Mostrar respuesta

Answer

El arcoseno.

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Pregunta

 ¿Cuál es el valor de seno de \(\dfrac{\pi}{6}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{1}{2}\) .

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de coseno de \(\dfrac{\pi}{3}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{1}{2}\) .

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de tangente de \(\dfrac{\pi}{2}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

Indeterminado.

Show question

Pregunta

Es una medida alternativa para medir un ángulo en grados:

Mostrar respuesta

Answer

Radianes.

Show question

Pregunta

Escribe la fórmula para coordenada \(x\) de un punto en la circunferencia del círculo unitario.

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Answer

\(x=r\sin(θ)\).

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Pregunta

\(360^o\) es igual a:

Mostrar respuesta

Answer

\(2\pi rad\).

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Pregunta

\(180^o\) es igua al:

Mostrar respuesta

Answer

(\pi rad\).

Show question

Pregunta

¿Cómo convertir grados a radianes?:

Mostrar respuesta

Answer

Multiplicas por \(\pi\) y divides entre \(180^o\).

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Pregunta

Convierte \(30^o\) a radianes.

Mostrar respuesta

Answer

\(0,5235\).

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Pregunta

Convierte \(90^o\) a radianes.

Mostrar respuesta

Answer

\(1,57\).

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Pregunta

Convierte \(60^o\) a radianes.

Mostrar respuesta

Answer

\(1,047\).

Show question

Pregunta

Convierte \(270^o\) a radianes.

Mostrar respuesta

Answer

\(4,7123\).

Show question

Pregunta

Convierte \(3\) radianes a grados.

Mostrar respuesta

Answer

\(171,887\).

Show question

Pregunta

Convierte \(7.6\) radianes a grados.

Mostrar respuesta

Answer

\(435,448\).

Show question

Pregunta

¿Es lo mismo \(\pi rad\) que \(3\pi rad\) en grados?

Mostrar respuesta

Answer

No, no es lo mismo.

Show question

Pregunta

Convierte \(0,34\) radianes a grados.

Mostrar respuesta

Answer

\(19,48\).

Show question

Pregunta

¿Es lo mismo \(2\pi\) radianes que \(4\pi\) radianes?

Mostrar respuesta

Answer

No, no es lo mismo.

Show question

Pregunta

Puedes convertir de radianes a grados usando tu calculadora: ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Una circunferencia con radio uno.

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Pregunta

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Definición: \(x^2+y^2=1\).

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Pregunta

Es la siguiente circunferencia unitaria \(\dfrac{(2x)^2}{4}+\dfrac{(5x)^2}{25}=\dfrac{9^3}{729} \)?



Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es.



Show question

Pregunta

¿Cuánto mide el radio en una circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

\(r=1\).


Show question

Pregunta

Supongamos que se tiene una circunferencia unitaria con centro \((0,0)\). Se toma un vector que sale del origen hasta la circunferencia, ¿cuál es su magnitud?

Mostrar respuesta

Answer

El mismo valor que el radio.

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Pregunta

Se tiene una circunferencia unitaria y se traza un triángulo rectángulo dentro del círculo, estando un vértice en el centro y sobre la circunferencia y otro en el eje de abscisas. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo?

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Answer

\(2\).


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Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\sin\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\).

Show question

Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\cos\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\cos(\theta)=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\).

Show question

Pregunta

En términos de catetos (opuesto, adyacente e hipotenusa), ¿cuál es la fórmula de la función \(\tan\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\).

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Pregunta

¿Cuál de las siguientes es una identidad trigonométrica?

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Answer

\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

Show question

Pregunta

¿Cómo se conoce a la circunferencia con centro en el origen y radio \(r=1\)?

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Answer

Circunferencia unitaria.

Show question

Pregunta

Se tiene la expresión: \(\sin^2(x)+\cos^2(x)\). Si \(x=3\), ¿cuánto vale esta suma?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

Se tiene la siguiente ecuación \((x-3)^2+(y^2)=1\), ¿qué requerimos para convertirla en una circunferencia unitaria?

Mostrar respuesta

Answer

Sumarle un término \(-(-6x+9)\).

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Pregunta

¿Cuál es el valor del radio de la función de la circunferencia unitaria cuando sus coordenadas son iguales a \(\cos(0)\) y \(\sin(1)\)?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente ecuación la de una circunferencia unitaria \(x^2+y^2=-1\)?

Mostrar respuesta

Answer

No.

Show question

Pregunta

¿Qué funciones se usan para conocer el ángulo en un triángulo rectángulo?

Mostrar respuesta

Answer

Seno, coseno y tangente.

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Pregunta

¿Cuáles son las unidades de los radianes?

Mostrar respuesta

Answer

\(rad\).

Show question

Pregunta

¿Qué es un ángulo?

Mostrar respuesta

Answer

Un ángulo es una región cerrada que está formada por dos o más segmentos de línea que comparten el mismo punto final.

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