Proyecciones: 'Matemáticas', 'Geometría'

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La proyección escalar da simplemente la longitud en una dirección determinada. El resultado es un escalar que cuantifica esa cantidad. En cambio, la proyección vectorial"proyecta" la longitud de un vector en la dirección de otro. Una forma de verlo es como si la "sombra" de un vector se proyectara sobre la parte superior de otro vector.

Proyección escalar

Empezaremos por la más sencilla de entender conceptualmente. La proyección escalar de un vector determina la parte escalar del vector que se encuentra en una dirección determinada. Se halla utilizando el producto punto del vector con el vector unitario en la dirección en cuestión.

La proyección escalar de un vector $x$ sobre el vector unitario $\hat{u}$ es el escalar dado por el producto punto: $x \cdot \hat{u}$ o $<x, \hat{u}>$

Vector OA Figura 1

Halla la proyección escalar del vector $\vec{OA}$ en la dirección horizontal.

Solución

La "dirección horizontal" es a lo largo del eje x, por lo tanto el vector unitario que utilizaremos es $\hat{u} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ . El vector $\vec{OA}$ en notación vectorial es $[\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]$ .

Intuitivamente, puede que ya te hayas dado cuenta de que la proyección escalar debe ser 3, ya que por definición $\vec{OA}$ consta de 3 unidades en sentido horizontal (y 4 en sentido vertical).

También podemos demostrarlo utilizando el producto punto: $<[\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]> = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$

Por tanto, la proyección escalar de $\vec{OA}$ en la dirección horizontal es igual a 3.

Proyección vectorial

Una proyección vectorial es la proyección de un vector sobre otro. Toma la longitud de un vector y la proyecta en la dirección de otro, creando un nuevo vector con la dirección del segundo.

Vector OB proyección horizontal de OA Figura 2

Vectores a, b y c FIGURA 3

El vector b esla proyección de a en la dirección del eje x (figura 2). Si observas la figura 3, el vector c es un vector en la dirección del eje x, por lo que b también es la proyección de a en la dirección del vector c.

En notación matemática, esto se escribe como ${Proj}_{c} (a)$ . Sabemos que el vector $\underset{B A}{\to}$ debe ser igual a $a - b = a - {Proj}_{c} (a)$ por tanto ${Proj}_{c} (a)$ es tal que $a - {Proj}_{c} (a)$ es ortogonal al vector c.

Esta ortogonalidad es una propiedad esencial para hallar la proyección de a sobre L. ¿Recuerdas el "producto punto"? Puesto que $\underset{B A}{\to}$ es ortogonal a la recta L, el "producto punto" de ambos debe ser igual a cero. Utilizando esta información, podemos deducir una fórmula para la proyección vectorial de a en la dirección de b.

Derivación de la fórmula del vector proyección

Para entender bien lo que hace el vector proyección, puede ser útil ver cómo derivarlo. En primer lugar, consideremos un vector v situado en la recta L. Como ${Proj}_{v} (a)$ está en la dirección de L, podemos escribirlo como un múltiplo escalar del vector v.

{Proj}_{v} (a)

c v

v es algún vector en el espacio 2D
c es una constante

Utiliza el producto punto:

$(a - {Proj}_{L} (a)) \cdot v = (a - c v) \cdot v = 0 a \cdot v - c v \cdot v = 0 a \cdot v = c v \cdot v c = \frac{a \cdot v}{v \cdot v}$

Como el producto punto de un vector consigo mismo es igual a la longitud de ese vector al cuadrado, obtenemos:

$c = \frac{a \cdot v}{| v |^{2}}$ .

Y así ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

La proyección vectorial del vector a sobre el vector es ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

Tenemos vector $x = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}]$ y vector $v = [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}]$ . Halla la proyección de x sobre v.

Utilizando la fórmula : ${Proj}_{v} (x) = \frac{x \cdot v}{{|v|}^{2}} v$

${|v|}^{2} = {(\sqrt{7^{2} + {(- 6)}^{2}})}^{2} = 85$

$x \cdot v = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}] = 42 - 12 = 30$

Por tanto, ${Proj}_{v} (x) = \frac{30}{85} v = \frac{6}{17} [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}]$ .

${Proj}_{v} (x)$ está representado por la flecha azul del diagrama siguiente.

Proyecciones de x Figura 4

Proyecciones - Puntos clave

La proyecciónescalar da la longitud en la que se encuentra un vector en una dirección determinada
Para hallar la proyección escalar, utiliza el producto punto de un vector con un vector unitario en la dirección en cuestión
La fórmula de la proyección escalar de x sobre la dirección u es $x \cdot \hat{u}$
La proyecciónvectorial proyecta la longitud de un vector en la dirección de otro
Para hallar la proyección del vector a sobre L, ${Proj}_{L} (a)$ es tal que $a - {Proj}_{L} (a)$ es ortogonal a la recta L
La proyección del vector a sobre la recta L del vector v es ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

Tarjetas en Proyecciones 1

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

La proyección escalar da la longitud en la que se encuentra un vector en una dirección determinada

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Preguntas frecuentes sobre Proyecciones

¿Qué es una proyección en matemáticas?

Una proyección en matemáticas es una transformación que mapea puntos de un espacio a un subespacio, manteniendo las propiedades geométricas esenciales.

¿Cómo se calcula una proyección ortogonal?

Para calcular una proyección ortogonal, se utiliza la fórmula de proyección del vector sobre una recta o plano, en función del producto punto y norma del vector.

¿Para qué sirve la proyección en álgebra lineal?

La proyección en álgebra lineal se usa para encontrar componentes de vectores en diferentes subespacios, especialmente en descomposición y análisis de datos.

¿Cuál es la diferencia entre una proyección ortogonal y oblicua?

La diferencia es que la proyección ortogonal es perpendicular al subespacio de destino, mientras que la oblicua no lo es, dependiendo de un ángulo diferente de 90 grados.

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