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La hipérbola en las matemáticas
La hipérbola es la única cónica que tiene lo que se conocen como ramas. Es decir, la hipérbola está formada por dos partes separadas entre sí tal como puedes observar en la siguiente figura.
Fig. 1. Hipérbola con dos ramas.
El hecho de que la hipérbola conste de dos ramas surge por su definición como lugar geométrico. Si no sabes lo que es un lugar geométrico, échale un vistazo a nuestro artículo sobre cónicas.
Definición de la hipérbola
La hipérbola se puede definir desde el punto de vista de un lugar geométrico:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
Si consideramos una hipérbola que está centrada en el origen de coordenadas tal como se muestra en la Fig. 1, podemos definir los siguientes elementos de la hipérbola:
Semieje real: \(a\)
Semieje imaginario: \(b\)
Distancia focal: \(\overline{F'F}\)
Semidistancia focal: \(c\)
Centro de la hipérbola: \(C(0,0)\)
Focos: \(F(c,0)\) y \(F'(-c,0)\)
Vértices: \(A(a,0)\) y \(A'(-a,0)\)
Si tenemos un punto \(P(x,y)\) que pertenece a la hipérbola, se pueden formar los radio vectores \(\overline{PF}\) y \(\overline{PF'}\).
Fig. 2. Hipérbola centrada en el origen con sus elementos representados.
Por definición, la resta de la distancia de un punto a un foco menos la distancia desde ese mismo punto al otro foco se mantiene constante para todos los puntos de la hipérbola.
Además, si te fijas en la figura anterior, podemos hacer una ampliación en la que se muestra el siguiente triángulo rectángulo:
Fig. 3. Ampliación de la hipérbola donde se aprecia un triángulo rectángulo formado por los elementos de la hipérbola.
Este triángulo tiene como lados los elementos más importantes de la hipérbola, por tanto, podemos relacionar estas distancias a través del teorema de Pitágoras:
\[c^2=a^2+b^2\]
Esta expresión se conoce como la relación fundamental de la hipérbola.
Esto se puede traducir como:
\[(semi-distancia-focal)^2= (semieje-real)^2 + (semieje-imaginario)^2\]
Asíntotas de la hipérbola
Como puedes haber observado en las figuras anteriores, la hipérbola presenta dos asíntotas oblicuas a las cuales se acerca sin nunca llegar a tocarlas. Estas rectas tienen ecuaciones:
\[y_1=\dfrac{b}{a}x\space \space\space\space y_2=-\dfrac{b}{a}x\]
Excentricidad de la hipérbola
Un parámetro muy importante de las hipérbolas es su excentricidad. Este parámetro da cuenta de lo ancha o estrecha que es la hipérbola y se calcula según la siguiente expresión:
\[e=\dfrac{c}{a}, \space\space e>1\]
Por tanto, en una hipérbola en la que \(c\) es mucho mayor que \(a\) la excentricidad será muy grande y por tanto el foco está muy alejado del vértice, mientras que en una hipérbola en la que \(c\) es casi igual que \(a\) la excentricidad se acerca a \(1\) y el foco está muy cerca del vértice.
La excentricidad es el parámetro que nos permite saber qué tipo de cónica es sin conocer su ecuación. Si nos dicen que un objeto tiene excentricidad nula, este objeto sólo puede ser una circunferencia. Si la excentricidad está comprendida en el intervalo \(e\in (0,1)\), el objeto es una elipse. Si la excentricidad es justamente \(e=1\), se trata de una parábola. Cuando la excentricidad es \(e>1\), entonces se trata de una hipérbola.
En el límite en el que la excentricidad tiende a infinito el objeto pasa a ser una recta.
Ecuación de la hipérbola
A partir de los radio vectores que hemos definido anteriormente y con la propia definición de la hipérbola, podemos calcular la distancia desde los focos a un punto genérico de la hipérbola. De este modo llegamos a una relación que es la ecuación de la hipérbola:
\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]
Esta ecuación se conoce como la ecuación reducida o canónica de la hipérbola.
En el caso en que los parámetros \(a\) y \(b\) sean iguales, la ecuación queda como:
\[x^2-y^2=k\]
A este tipo de hipérbola se la conoce como hipérbola equilátera.
Esta ecuación \(x^2-y^2=k\) se debe a que si \(a=b\), podemos llamarlos \(m\):
\[\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{m^2}=1\]\[\dfrac{1}{m^2}(x^2-y^2)=1\]
Pasando el término \(m^2\) del lado derecho:
\[x^2-y^2=m^2\]Entonces \(m^2=k\), por lo que:
\[x^2-y^2=k\]Gráfica de la hipérbola
En las figuras anteriores sólo hemos visto hipérbolas "verticales" y centradas en el origen. Pero si queremos desplazar la hipérbola del origen, sólo tenemos que añadir las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) de la hipérbola como:
\[\dfrac{(x-c_1)^2}{a^2}-\dfrac{(y-c_2)^2}{b^2}=1\]
Por ejemplo, una hipérbola que tiene centro en el \(C(1,2)\) tendría la ecuación:
\[\dfrac{(x-1)^2}{a^2}-\dfrac{(y-2)^2}{b^2}=1\]
Los parámetros \(a\) y \(b\) no cambian.
Además de las hipérbolas verticales, también podemos encontrar hipérbolas horizontales. Estas tienen la ecuación de la forma:
\[\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\]
Y además, también pueden estar fuera del centro de coordenadas. De la misma manera que con las verticales, la ecuación con otro centro sería:
\[\dfrac{(y-c_1)^2}{a^2}-\dfrac{(x-c_2)^2}{b^2}=1\]
La hipérbola como sección cónica
Hasta ahora hemos definido la hipérbola como un lugar geométrico del plano. Sin embargo, igual que el resto de cónicas, la hipérbola también se puede definir desde el punto de vista de una sección cónica.
Una sección cónica es el objeto que surge al cortar un cono doble tridimensional con un plano.
La hipérbola en este caso, es una cónica no degenerada que surge al cortar un plano con el cono de manera que el ángulo entre el plano y el eje del cono es menor que el ángulo de las generatrices, cortando así las dos hojas del cono.
Fig. 4. La hipérbola como sección cónica. Se puede apreciar la hipérbola como el corte entre el plano y el cono.
Ejercicios de la hipérbola
Vamos a hacer un par de ejercicios sobre la hipérbola para practicar con algunos de sus características.
Dada la hipérbola:
\[\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{(y-2)^2}{9}=1\]
Determina el semieje real, el semieje imaginario, la semidistancia focal, el centro y la excentricidad de la hipérbola.
Solución:
A partir de esta ecuación podemos obtener algunos de sus parámetros. El denominador en el término de la \(x\) es \(a^2\), por tanto, \(a=2\).
De la misma manera, el denominador en el término de la \(y\) es \(b^2\), por tanto, \(b=3\).
También podemos ver que el centro de la hipérbola corresponde a \(C(0,2)\).
A partir de la relación fundamental de la hipérbola, podemos calcular la semidistancia focal:
\[c^2=a^2+b^2\]
\[c^2=4+9=13\]
\[c=\sqrt{13}\]
Por último, con estos datos podemos calcular la excentricidad de la hipérbola como:
\[e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\approx 1{,}8\]
Calcula la ecuación de la hipérbola que presenta una asíntota con ecuación \(3y-4x=0\), tiene un foco en \(F(0,-5)\) y su eje mayor es paralelo al eje \(y\).
Solución:
Si un foco está en \(F(0,-5)\) esto implica que \(c=5\). A partir de la relación fundamental de la hipérbola, obtenemos:
\[25=a^2+b^2\]
Además, sabemos que la ecuación de una asíntota de una hipérbola tiene la forma:
\[y=\dfrac{b}{a}x\]
Por tanto, si despejamos la ecuación que nos dan:
\[3y-4x=0\]
\[3y=4x\]
\[y=\dfrac{4}{3}x\]
Deducimos entonces que \(\dfrac{4}{3}=\dfrac{b}{a}\).
Con las dos relaciones anteriores podemos obtener los parámetros que nos piden:
\[a=\dfrac{3}{4}b\]
Introduciendo esto en la relación fundamental:
\[25=\dfrac{9b^2}{16}+b^2\]
\[25=\dfrac{9b^2}{16}+\dfrac{16b^2}{16}\]
\[25=\dfrac{25b^2}{16}\]
\[16=b^2\]
\[b=4\]
Finalmente:
\[b=3\]
Por tanto, la ecuación de la hipérbola pedida es:
\[\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\]
Hipérbola - Puntos clave
- La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
- Los elementos de la hipérbola son:
Semieje real: \(a\)
Semieje imaginario: \(b\)
Distancia focal: \(\overline{F'F}\)
Semidistancia focal: \(c\)
Centro de la hipérbola: \(C(0,0)\)
Focos: \(F(c,0)\) y \(F'(-c,0)\)
Vértices: \(A(a,0)\) y \(A'(-a,0)\)
La relación fundamental de la hipérbola es:
\(c^2=a^2+b^2\)
Las asíntotas de la hipérbola tiene las ecuaciones:
\(y=\dfrac{b}{a}x\space \space\space\space y=-\dfrac{b}{a}x\)
La excentricidad de la hipérbola es:
\(e=\dfrac{c}{a}, \space\space e>1\)
La ecuación reducida o canónica de la hipérbola es:
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
Las hipérbolas pueden ser verticales u horizontales y tener el centro desplazado del origen de coordenadas.
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Preguntas frecuentes sobre Hipérbola
¿Qué es la hipérbola y cuáles son sus elementos?
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
Sus elementos son:
- Semieje real
- Semieje imaginartio
- Distancia focal
- Centro
- Focos
- Vértices
¿Cuál es la fórmula de la hipérbola?
La ecuación reducida o canónica de la hipérbola es:
x2/a2-y2/b2=1
¿Cuáles son los tipos de hipérbolas?
Las hipérbolas se pueden clasificar según la dirección de su eje de simetría. Si este es paralelo al eje y, se dice que son hipérbolas verticales. Si es paralelo al eje x, se dice que son hipérbolas horizontales.
¿Cómo se grafica una hipérbola?
Si una hipérbola tiene una ecuación en la que el término cuadrático negativo es el de y, entonces la hipérbola es vertical. Sin embargo, si el término cuadrático negativo es el de la x, entonces la hipérbola es horizontal.
¿Qué tipo de función es la hipérbola?
La hipérbola pertenece a las funciones denominadas cónicas. Estos objetos pueden definirse desde el punto de vista de lugares geométricos en el plano o desde el punto de vista del corte de un cono con un plano.
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