Propiedades de las Cuerdas

Propiedades de una cuerda en una circunferencia

Antes de discutir las propiedades de una cuerda en una circunferencia, consideremos rápidamente la definición de cuerda. Una cuerda es un segmento de recta que pasa por dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Una cuerda puede trazarse con sus dos extremos en cualquier punto del círculo.

Cuando una cuerda pasa por el centro de la circunferencia, la llamamos diámetro de la circunferencia. Un diámetro divide una circunferencia en dos semicírculos, mientras que cualquier otra cuerda divide una circunferencia en un arco mayor y un arco menor.

Fig. 1. Cuerdas del círculo.

Las propiedades básicas de una cuerda son las siguientes:

• La cuerda divide un círculo en dos segmentos: segmento mayor y segmento menor.

• Una recta perpendicular biseca la cuerda si se traza desde el centro del círculo hasta la cuerda.

• Dos cuerdas iguales tienen dos ángulos iguales subtendidos en el centro del círculo.

• Las cuerdas de igual longitud son equidistantes del centro del círculo.

Ahora vamos a profundizar y comprender mejor las propiedades de las cuerdas.

Propiedades de las cuerdas: Bisectrices perpendiculares

Supongamos que tenemos una cuerda \(AB\) sobre una circunferencia que tiene centro \(O\), como ilustra la figura siguiente. Si trazamos una recta desde el centro \(O\) hasta el punto \(P\) de la cuerda \(AB\), \(OP\) es perpendicular a \(AB\), y \(OP\) biseca a \(AB\). En otras palabras, \(OP\) es la mediatriz de \(AB\) tal que \(AP\) y \(PB\) son congruentes. Por tanto

\texto \; \overline{OP}\perp \overline{AB} \entonces \entonces] [texto].

Fig. 2. Cuerda con bisectriz perpendicular.

Determinación del diámetro mediante una mediatriz

Observa la siguiente figura. \(CD\) es la cuerda que actúa como mediatriz de la cuerda \(AB\). En este caso

\texto \; \overline{CD}\perp \overline{AB} \entonces \Si el texto \es un diámetro del círculo]].

Fig. 3. Cuerda con bisectriz perpendicular.

Propiedades de las cuerdas congruentes

Si dos cuerdas equidistan del centro de la circunferencia, sabemos que deben ser congruentes. Esta propiedad de las cuerdas se representa en la figura siguiente: las cuerdas \(AB\) y \(DE\) son equidistantes en el círculo. Observa también que \(CF\) y \(CG\) tienen la misma longitud (son congruentes). La igualdad de longitud de estos segmentos de recta \(CF\) y \(CG\) nos ayuda a confirmar que las dos cuerdas \(AB\) y \(DE\) están a igual distancia del centro de la circunferencia.

\texto \π; \overline{CF}\cong \overline{CG} \entonces \entonces][|texto].

Fig. 4. Acordes con líneas iguales desde el centro.

Supongamos ahora que nos dan la información de que \(CF\) es perpendicular a \(AB\), y \(CG\) es perpendicular a \(DE\). En este caso, podemos utilizar la propiedad de las bisectrices perpendiculares para sacar las siguientes conclusiones sobre las cuerdas: \texto \si; sobrelínea CFperp \y \y; sobrelínea CG, sobrelíneaDE. \texto y |CF} = \overline{CG} \entonces |AF} = \overline{FB} = \overline{DG} = \overline{GE}].

Fig. 5. Cuerdas perpendiculares con lados iguales.

Propiedades de las cuerdas que se intersecan

El teorema de las cuerdas que se cruzan afirma que cuando las cuerdas de una circunferencia se cruzan, los productos de las longitudes de sus segmentos son iguales. Observa la siguiente figura, en la que dos cuerdas \(RS\) y \(PQ\) se cortan en el punto \(A\), siendo \(O\) el centro de la circunferencia. Por tanto, podemos escribir el teorema de la cuerda como

\[(\sobrelínea{SA}) \cdot (\sobrelínea{AR}) = (\sobrelínea{PA}) \cdot (\sobrelínea{AQ})\].

Fig. 6. Acordes que se intersecan.

Propiedades de las cuerdas: Ángulos subtendidos

La siguiente propiedad de las cuerdas que trataremos se refiere a los ángulos subtendidos. En primer lugar, aclaremos el significado de ángulo subtendido. Cuando los dos puntos extremos de una cuerda se unen (mediante segmentos de recta) para formar un ángulo situado en un punto exterior a esa cuerda, ese ángulo se considera ángulo subtendido.

Por ejemplo, supongamos que \(AB\) es una cuerda y \(C\) es un punto situado fuera de la cuerda en una circunferencia. Entonces \(\ángulo ACB\) es el ángulo subtendido.

Fig. 7. Cuerda con ángulo subtendido.

Consideremos ahora la siguiente propiedad de las cuerdas observando la figura siguiente: en esta figura, dos cuerdas iguales subtienden ángulos en el centro de una circunferencia. En este caso, según las propiedades de las cuerdas, ambos ángulos subtendidos son iguales.

\[\ flecha derecha \ ángulo AOB =\ ángulo DOC \]

Fig. 8. Dos cuerdas iguales subtienden ángulos iguales en el centro.

Propiedades de las cuerdas: Cálculo de la longitud con fórmulas

En determinadas circunstancias, podemos calcular la longitud de una cuerda mediante fórmulas:

• Cuando se proporciona el ángulo subtendido de la cuerda en el centro del círculo.
• Cuando se da el radio y la distancia de la cuerda al centro.

Estas circunstancias se muestran en la figura siguiente. Supongamos que para la cuerda \(CB\) en la circunferencia con centro \(A\), \(r\) es el radio, \(d\) es la distancia de la cuerda al centro, y \(\theta) es el ángulo subtendido.

Fig. 9. Longitud de cuerda con radio o ángulo subtendido.

La longitud de la cuerda \(CB\) mostrada en la figura puede calcularse mediante las siguientes fórmulas:

Cuando se da el ángulo subtendido, entonces

\[\text{Cuerda}=2 \times r \times \sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )\].

Si se dan el radio y la distancia del centro a la cuerda, entonces

\text{Cuerda}=2 veces \qrt{r^{2}-d^{2}}].

Ejemplos de propiedades de las cuerdas

Ejercitemos nuestros conocimientos sobre las propiedades de las cuerdas con algunos problemas de ejemplo.