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Isometría Significado
Una isometría es un tipo de transformación que conserva la forma y la distancia. Es importante tener en cuenta que todas las isometrías son transformaciones, ¡pero no todas las transformaciones son isometrías! Hay 3 tipos principales de transformaciones que entran dentro de la isometría: reflexiones, traslaciones y rotaciones. Cualquier transformación que cambie el tamaño o la forma de un objeto no es una isometría, lo que significa que las dilataciones no son isometrías.
Una isometría es una transformación realizada sobre un objeto que no cambia su forma ni su tamaño.
Propiedades de la isometría
Los tres tipos de transformación isométrica que debes recordar son las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones. Para repetirlo, una transformación isométrica es una transformación que no cambia la forma ni el tamaño de un objeto, sólo su ubicación en una cuadrícula. Si una forma se desplaza sobre una cuadrícula y la longitud de cada lado no ha cambiado, sólo su ubicación, se ha producido una transformación isométrica.
Traslaciones
Una traslación es un tipo de transformación isométrica. Al trasladar un objeto, lo único que ocurre es que los puntos de la forma se moverán de su posición original a su nueva posición, en función de lo que establezca la traslación.
¡Recuerda! ¡La distancia entre cada punto será exactamente la misma después de realizar la traslación!
Toma el pentágono ABCDE, que tiene una longitud lateral de 1 unidad, y trasládalo por (3, 2). En este caso, ya nos han dado el pentágono en un diagrama, así que sólo tenemos que trasladarlo.
Solución:
La pregunta anterior nos pide que traslademos la forma en (3, 2), lo que significa que tenemos que dibujar una nueva imagen 3 unidades a lo ancho y 2 unidades por encima de la forma actual.
Si dibujamos el primer punto, puede ayudarnos a averiguar cómo debe quedar el resto de la forma. Sabemos que una traslación es una transformación isométrica, por lo tanto los lados de la forma serán los mismos, lo único que habrá cambiado es su ubicación. A' es la esquina inferior izquierda de nuestra nueva forma, conectada directamente con el punto A original de nuestra primera forma.
Dada esta información, podemos dibujar el resto del pentágono, ya que tendrá lados de longitud 1 unidad porque una traslación es una transformación isométrica.
¡Así es como queda nuestra transformación final!
Reflejos
Una reflexión es otro tipo de transformación isométrica, en la que un objeto se refleja a través de un eje. Tanto el objeto original como el reflejado tendrán las mismas dimensiones, por lo que la reflexión es un tipo de isometría.
Tomemos el cuadrado ABCD, con una longitud de lado de 1 unidad:
Solución:
Si queremos realizar una reflexión sobre el eje y, basta con copiar la forma en su posición correspondiente. En este caso, al hacer una reflexión sobre el eje y, sabemos que las coordenadas y de la figura no deben cambiar. En cambio, sabemos que las coordenadas x de cada punto cambiarán, para ser la correspondiente coordenada x negativa. En este caso, la nueva imagen tendrá este aspecto:
El punto A se ha reflejado en el punto A', el punto B se refleja en el punto B' y así sucesivamente. Observa que la distancia al eje y no cambia entre la imagen previa y la nueva imagen reflejada. Además, la longitud de los lados de cada cuadrado es la misma.
Recuerda que A' se pronuncia "A primo".
Rotaciones
El último tipo de transformación isométrica es la rotación. Una rotación consiste en mover un objeto alrededor de un punto con un movimiento circular. De nuevo, no se produce ningún cambio de tamaño del objeto, y como tal, una rotación es una forma de transformación isométrica.
Te dan un triángulo ABC y te piden que lo gires 90o en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen.
Solución:
Arriba podemos ver que tenemos un triángulo y un punto marcado como nuestro centro de rotación. Si queremos girarlo en el sentido de las agujas del reloj, debemos girarlo hacia la derecha.
¡Ya está! En este caso, podemos ver que la rotación es una traslación isométrica, ya que cada longitud del triángulo original se mantiene igual, así como la distancia a la que se encuentra cada punto del triángulo del origen.
Se te da el cuadrilátero ABCD y se te pide que gires 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen.
Solución:
Si queremos girarlo en el sentido contrario a las agujas del reloj, debemos girarlo hacia la izquierda alrededor del origen. Para el punto A, podemos ver que está 15 unidades a lo largo del eje x y 10 unidades arriba del eje y. Por tanto, para girar 90 grados en sentido antihorario, tiene que ir 10 unidades a la izquierda del origen y 15 unidades hacia arriba. Podemos hacer lo mismo con los puntos B, C y D. Uniendo los puntos, obtenemos el paralelogramo A'B'C'D'.
En este caso, podemos ver que la rotación es una traslación isométrica, ya que cada longitud de la forma original se mantiene igual, así como la distancia a la que se encuentra cada punto del triángulo del origen.
Leyes de la Isometría
Ahora que hemos desglosado qué es la isometría, veamos otro aspecto de la isometría: las isometrías directa y opuesta. Cada transformación isométrica es una transformación isométrica directa u opuesta. Pero, ¿qué son las isometrías directa y opuesta? Pues bien, una isometría directa es un tipo de transformación que conserva la orientación, además de ser una isometría que requiere que todos los lados de una forma tengan la misma longitud. En cambio, una isometría opuesta mantiene iguales las longitudes de los lados de una forma, pero invierte el orden de cada vértice.
Isometría directa
La isometría directa conserva la longitud de los lados de una forma, así como el orden de sus vértices.
Dos transformaciones entran en el ámbito de la isometría directa: las traslaciones y las rotaciones. Esto se debe a que ambas transformaciones conservan el orden de los vértices de una forma, así como la misma longitud lateral en la imagen previa y en la nueva imagen.
Observa cómo en el diagrama anterior, el orden de las letras alrededor de la forma no cambia realmente. Ésta es la regla principal que identifica una transformación como isometría directa.
Isometría opuesta
La isometría opuesta también conserva las distancias, pero a diferencia de la isometría directa, invierte el orden de sus vértices.
Sólo hay una transformación que se ajuste a la definición de isometría opuesta, y es la reflexión. Esto se debe a que una reflexión cambia el orden en que se encuentran los vértices de una forma después de haberse realizado.
Observa cómo en el diagrama anterior, después de reflejar el triángulo, ¡el orden de los vértices ha cambiado! Esto se debe a que la reflexión es una isometría opuesta, de ahí que la forma también parezca la versión opuesta de sí misma después de haber sido reflejada.
Isometría - Puntos clave
- Una transformación isométrica es cualquier tipo de transformación que conserva las longitudes y la forma general de un objeto.
- Las tres formas principales de transformación isométrica son las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones.
- Hay dos tipos de transformación isométrica: la isometría directa y la isometría opuesta.
- Las isometrías directas son traslaciones y rotaciones, y conservan el orden de las esquinas.
- La isometría opuesta es la reflexión, ya que invierte el orden de los vértices.
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