¿Qué se te ocurre cuando se habla de vectores en el espacio? Espero que no estemos a punto de ir al espacio exterior, ¡ya que me dan mucho miedo las alturas!
Puede que te alegre (o quizá te decepcione) saber que no tenemos que subir a una nave espacial para hablar de vectores en el espacio. El espacio, en este contexto, se refiere al espacio tridimensional, donde puedes moverte en tres direcciones diferentes —a diferencia del plano cartesiano, donde solo tienes dos—.
Aquí aprenderás sobre los vectores en el espacio tridimensional, cómo representarlos gráficamente y cómo hacer algunas operaciones con ellos.
El espacio tridimensional
Lo más probable es que hayas visto vectores en el plano, que es otra forma de referirse a un sistema de coordenadas bidimensional. Este sistema de coordenadas bidimensional está formado por dos ejes perpendiculares: el eje \(x\) y el eje \(y\), donde cada eje es una recta numérica que representa todos los números reales. Estos elementos juntos forman lo que conocemos como el plano cartesiano.
Fig. 1. El plano cartesiano bidimensional
Como es un plano formado por los ejes \(x\) e \(y\), este plano bidimensional se denomina, también, plano \(xy\).
Sin embargo, gran parte de la vida cotidiana ocurre en tres dimensiones. Por ello, se necesita una herramienta para describir los objetos tridimensionales.
Siguiendo la misma línea de pensamiento utilizada en el plano cartesiano, ahora se necesita un tercer eje para hacer un sistema de coordenadas tridimensional, naturalmente denominado eje \(z\). Este es perpendicular tanto al eje \(x\) como al eje \(y\).
Fig. 2. Sistema de coordenadas tridimensional.
Esencialmente, puedes obtener el sistema de coordenadas tridimensional añadiendo el eje \(z\) al plano \(xy\): toda una nueva dimensión para describir las cosas. Piensa en el suelo como el plano \(xy\); si consideras que allí puedes ir hacia arriba o hacia abajo, ahora puedes moverte en tres dimensiones. El eje \(z\) te da información sobre cómo de arriba o de abajo del plano \(xy\) estás.
Como hay un nuevo eje, puedes hacer dos planos más con él: el plano \(xz\) y el plano \(yz\):
Fig. 3. El plano \(xy\), el plano \(xz\) y el plano \(yz\).
Definición de los vectores en el espacio
Ahora que estás familiarizado con el espacio tridimensional, es el momento de ver cómo se definen los vectores en el espacio.
En dos dimensiones, un vector \(\vec{A}\) se da en forma de vector:
\[ \vec{A} = (2, 3)\]
o en forma de componentes, utilizando los vectores unitarios \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\):
\[\vec{A} = 2\hat{i}+3\hat{j}\]
La primera componente te da la posición relativa al eje \(x\), y la segunda componente te da la posición relativa al eje \(y\).
Fig. 4. El vector \(\vec{A}=2\hat{i}+3\hat{j}\) en el plano cartesiano.
Para los vectores en el espacio, necesitas una tercera componente. Esta componente te dará la posición con respecto al eje \(z\). Si escribes un vector \(\vec{A}\) con tres componentes, solo tienes que añadir la tercera componente después de la segunda; es decir:
\[\vec{A} = (2, 3, 5)\]
En forma de componente, se utiliza un tercer vector unitario, que se denota como \(\hat{k}\). Un vector \(\vec{A}\) en el espacio escrito en forma de componente será:
\[\vec{A} = 2\hat{i} +3\hat{j} + 5\hat{k}\]
Fig. 5. El vector \(\vec{A} = 2\hat{i} +3\hat{j} + 5\hat{k}\) en el espacio tridimensional.
Un vector en el espacio \( \vec{A} \) es un conjunto de tres números reales \(a\), \(b\), y \(c\), que puede escribirse utilizando la notación de vectores:
\[ \vec{A} = ( a, b, c)\]
o en notación de componentes:
\[\vec{A}=a\,\hat{i} + b\,\hat{j} + c\,\hat{k}\]
El conjunto de todos los vectores en el espacio se denota por \( \mathbb R^3\).
Sumar y restar vectores en el espacio
Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores en el espacio se pueden sumar y restar. Aquí puedes ver cómo.
Para sumar dos vectores, solo tienes que sumar cada componente respectivo. Por ejemplo, supongamos que tienes los vectores:
\[\vec{A} = \hat{i} + 3 \hat{j} -3 \hat{k}\]
y
\[\vec{B} = -4\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\]
Puedes encontrar la suma de los dos vectores anteriores sumando las componentes de \(\hat{i}\) con las componentes de \(\hat{i}\), las componentes de \(\hat{j}\) con las componentes de \(\hat{j}\), y las componentes de \(\hat{k}\) con las componentes de \(\hat{k}\); es decir:
\[\begin{align} \vec{A} + \vec{B} &= (\hat{i} +3\hat{j} -3\hat{k} )+( -4\hat{i} +2\hat{j} +\hat{k})= \\&= (\hat{i}-4\hat{i})+(3\hat{j}+2\hat{j})+(-3\hat{k}+\hat{k})=\\ &= (1-4)\hat{i}+(3+2)\hat{j} +(-3+1)\hat{k}= \\ &= -3\hat{i} +5\hat{j} -2\hat{k}\end{align}\]
También es posible que te resulte más fácil sumar vectores escritos en forma de vector. De esta forma puedes escribir menos y centrarte en la posición de cada componente; es decir:
\[\begin{align} \vec{A}+\vec{B} &= ( 1, 3,-3) + (-4,2,1)= \\ &= (1-4,3+2,-3+1)= \\ &= (-3, 5,-2) \end{align}\]
La representación gráfica de la suma de dos vectores en el espacio puede obtenerse dibujando el primer vector y, a continuación, dibujando el segundo vector a partir de donde terminaba el primero.
La resta de vectores en el espacio se define de forma similar. Pero, en lugar de sumar las componentes, para hallar la resta \(\vec{A}-\vec{B}\) se restan las componentes de \(\vec{B}\) de las componentes de \(\vec{A}\); es decir:
\[\begin{align} \vec{A}-\vec{B}&=(\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k})- (-4\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})= \\&=(1+4)\hat{i}+(3-2)\hat{j}+(-3-1)\hat{k}=\\&=5\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k} \end{align}\]
Prueba restar vectores en el espacio escribiéndolos en forma de vector. Si lo haces, obtendrás:
\[\begin{align} \vec{A}-\vec{B}&=(1,3,-3)-(-4,2,1)= \\ &=(1+4,3-2,-3-1)=(5,1,-4)\end{align}\]
Por último, la representación gráfica de la diferencia \( \vec{A}-\vec{B}\) puede obtenerse dibujando un vector que parte del punto final de \( \vec{B}\) y llega hasta el punto final de \(\vec{A}\).
Más cálculos con vectores en el espacio
Ahora que has visto que puedes sumar y restar vectores, quizá te preguntes si también es posible hacer más operaciones habituales. La respuesta es: sí. De hecho, la multiplicación tiene dos versiones diferentes cuando se habla de vectores: el producto escalar y el producto vectorial. Aquí puedes encontrar una breve descripción de ambos.
Producto escalar
El producto escalar, llamado así por la notación utilizada para escribirlo, es un tipo de multiplicación vectorial.
Sean \( \vec{A}\) y \( \vec{B}\) dos vectores en el espacio dados por:
\[\vec{A} = a_x \, \hat{i} + a_y \, \hat{j} + a_z \, \hat{k} \]
y
\[\vec{B} = b_x \, \hat{i} + b_y \, \hat{j} + b_z \, \hat{k} \]
El producto escalar de los vectores \( \vec{A}\) y \( \vec{B}\) se escribe como \( \vec{A}\cdot \vec{B}\), y se define como:
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]
Como ya te habrás dado cuenta, el producto escalar es un tipo de operación especial —porque multiplica dos vectores—, pero el resultado es un escalar.
Recuerda que, en este contexto, un escalar es lo mismo que un número real.
Encuentra el producto escalar de los vectores:
\[ \vec{V} = 2\hat{i} + \hat{k}\]
y
\[\vec{B} = b_x \, \hat{i} + b_y \, \hat{j} + b_z \, \hat{k} \]
Solución:
Empieza por observar que la componente \(\hat{j}\) de \(\vec{V}\), a pesar de no mostrarse explícitamente, es igual a \(0\). De este modo, tienes toda la información necesaria para hallar \( \vec{V}\cdot \vec{W}\); por lo que:
\[ \begin{align} \vec{V} \cdot \vec{W} & = (2)(-1) + (0)(3) + (1)(2) \\ \vec{V}\cdot \vec{W}&= -2+0+2 \\ &\vec{V}\cdot \vec{W}= 0 \end{align} \]
Has comprobado que el producto escalar de los vectores del ejemplo anterior es igual a \(0\). Cuando esto ocurre, se dice que los vectores son ortogonales, lo que en este contexto es otra forma de decir que son perpendiculares.
El producto escalar también puede utilizarse en dos dimensiones. En este caso, la operación se simplifica, al no tener que operar la tercera componente del vector; es decir:
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = a_x b_x + a_y b_y, \quad \text{para} \quad \vec{A},\vec{B}\in\mathbb{R}^2\]
El producto escalarp es útil para encontrar el ángulo entre dos vectores.
Ejercicios de producto escalar
Vamos a hacer algunos ejercicios con el producto escalar entre dos vectores, para que practiques.
Calcula la proyección ortogonal del vector \(\vec{u}=(2,1,0)\) sobre el vector \(\vec{v}=(3,0,-4)\).
Solución:
La proyección de un vector \(\vec{u}\) sobre el vector \(\vec{v}\) se define como:
\[\overline{\text{proy}}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{|\vec{u}·\vec{v}|}{|\vec{v}|}\]
Por tanto, en nuestro caso, la proyección ortogonal es:
\[\overline{\text{proy}}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{|2·3+1·0+0·(-4)|}{\sqrt{9+0+16}}=\dfrac{6}{5}\]
Calcula el ángulo formado por los vectores del ejemplo anterior.
Solución:
Otra aplicación del producto escalar es que está relacionado con el ángulo que forman dos vectores de la siguiente forma:
\[ \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}} )= \dfrac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \]
Por tanto, el ángulo formado por los dos vectores anteriores es:
\[(\widehat{\vec{u},\vec{v}} )= \arccos \left( \dfrac{6}{5·\sqrt{5}} \right) = 57,54º\]
Producto vectorial
A diferencia de su homólogo escalar, el producto vectorial es una operación que se puede realizar con dos vectores que dan como resultado otro vector. El producto vectorial se escribe como:
\[\vec{A} \times \vec{B}\]
Sean \( \vec{A}\) y \( \vec{B}\) dos vectores en el espacio dados por:
\[\vec{A} = a_x \, \hat{i} + a_y \, \hat{j} + a_z \, \hat{k} \]
y
\[\vec{B} = b_x \, \hat{i} + b_y \, \hat{j} + b_z \, \hat{k} \]
El producto vectorial del vector \( \vec{A}\) por el vector \( \vec{B}\) se denota como \( \vec{A} \times \vec{B}\), y se define mediante el determinante:
\[ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{vmatrix}\]
El producto vectorial tiene muchas particularidades. Una de ellas es que el vector \( \vec{A} \times \vec{B} \) es perpendicular tanto a \( \vec{A}\) como a \(\vec{B}\).
Otra propiedad especial del producto vectorial es que no es conmutativo, lo que significa que el orden en que realizas la operación importa. De hecho, el producto cruzado es anticonmutativo, que es una palabra elegante para decir que si realizas la operación en el orden contrario, también obtienes el signo contrario; es decir:
\[ \vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A})\]
Una observación importante es que el producto vectorial solo está definido en \( \mathbb{R}^3\). Esto significa que tratar de encontrar el producto vectorial de dos vectores en \( \mathbb{R}^2\) no tiene sentido.
Producto vectorial: ejercicios resueltos
Halla el producto vectorial de los vectores:
\[ \vec{V} = 2\hat{i} + \hat{k}\]
y
\[ \vec{W} = -\hat{i} + 3 \hat{j} +2 \hat{k} \]
Verifica, también, que el vector obtenido sea perpendicular tanto a \( \vec{V}\) como a \( \vec{W}\).
Solución:
Encontrar el producto vectorial puede ser un poco más complicado, porque la fórmula utilizada implica un determinante. Si la utilizas, obtendrás:
\[ \begin{align} \vec{V} \times \vec{W} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 &2\end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3\end{vmatrix} \\ &=-3\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k}\end{align} \]
Para comprobar si este vector es perpendicular a \( \vec{V}\) a \( \vec{W}\), comienza por darle un nombre, digamos:
\[ \begin{align} \vec{R} &= \vec{V} \times \vec{W} \\ &= -3\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k}. \end{align} \]
A continuación, halla su producto escalar con ambos vectores así:
\[ \begin{align} \vec{R} \cdot \vec{V} &= (-3)(2)+(-5)(0)+(6)(1) \\ &= -6+6 \\ &=0 \end{align}\]
Por tanto, \( \vec{R}\) es perpendicular a \(\vec{V}\). Ahora, prueba con \(\vec{W}\); al hacerlo obtendrás:
\[ \begin{align} \vec{R} \cdot \vec{W} &= (-3)(-1)+(-5)(3)+(6)(2) \\ &= 3-15+12 \\&= 0\end{align}\]
Esto significa que \( \vec{R}\) es perpendicular a \( \vec{W}\) también, con lo que termina tu tarea.
Determina el conjunto de vectores que son perpendiculares a los vectores \(\vec{u}=(2,1,0)\) y \(\vec{v}=(1,-1,2)\), y los que tienen por módulo \(\sqrt{116}\).
Solución:
El conjunto de vectores que son perpendiculares a los dos vectores a la vez es el resultado del producto vectorial de los mismos:
\[\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}=(2,-4,-3)\]
Por tanto, este vector y todos los vectores proporcionales a él son perpendiculares a los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y tienen la forma:
\[\vec{w}=(2a,-4a,-3a)\]
Siendo \(a\) cualquier número real distinto de cero.
Ahora, para que un vector que de este conjunto que tenga un módulo igual a \(\sqrt{116}\), tenemos que resolver la ecuación:
\[\sqrt{(2a)^2+(4a)^2+(3a)^2}=\sqrt{116}\]
\[4a^2+16a^2+9a^2=116\]
\[29a^2=116\]
\[a^2=4\]
\[a=\pm 2\]
Por tanto, los dos vectores que cumplen la condición de ser perpendiculares a los dos vectores originales, y que tienen módulo de \(\sqrt{116}\), son:
\[\vec{w}_1=(4,-8,-6)\]
\[\vec{w}_2=(-4,8,6)\]
Producto mixto
Otro tipo de operación que se puede realizar entre vectores en el espacio tridimensional es el producto mixto. Esta operación recibe su nombre de que es una mezcla entre el producto escalar y el producto vectorial.
El producto mixto implica siempre tres vectores como \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\), se denota como \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\) y se calcula como:
\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})\]
Como puedes ver, este producto se calcula como el producto escalar del vector \(\vec{u}\) por el resultado del producto vectorial \(\vec{v}\times \vec{w}\).
Como el producto vectorial es un determinante, podemos reexpresar el producto mixto como:
\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}\]
A partir de esto, podemos deducir que si el producto mixto de tres vectores resulta ser nulo, entonces esos vectores son linealmente dependientes.
Una propiedad importante del producto mixto de tres vectores es que su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo definido por dichos tres vectores en el espacio:
\[V_p= |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = \left| \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}\right|\]
Vectores en el espacio - Puntos clave
- El espacio tridimensional consta de tres ejes perpendiculares, cada uno de los cuales representa una recta numérica. Son el eje \(x\), el eje \(y\) y el eje \(z\).
- Un vector en el espacio es un conjunto de tres números reales, que puede escribirse como un vector fila, o expresarse en términos de sus componentes \( \hat{i}\), \( \hat{j}\), y \( \hat{k}\).
- Para sumar vectores en el espacio, hay que sumar cada componente respectivo. Del mismo modo, para restar un vector \( \vec{B}\) de un vector \( \vec{A}\), hay que restar cada componente de \( \vec{B}\) de la respectiva componente de \( \vec{A}\).
- Los vectores en el espacio también se pueden multiplicar. Hay dos productos diferentes que implican a los vectores en el espacio: el producto escalar y el producto vectorial.
- El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar. El producto escalar puede utilizarse para hallar el ángulo entre dos vectores.
- El producto vectorial de dos vectores te da como resultado un tercer vector perpendicular a los dos originales.
- El producto mixto es una operación entre tres vectores en el espacio que da como resultado el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.
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