Área de Polígonos Regulares

¿Qué son los polígonos regulares?

Un polígono regular es un tipo de polígono en el que todos los lados son iguales entre sí y todos los ángulos también son iguales. Además, la medida de todos los ángulos interiores y exteriores son iguales, respectivamente.

Los polígonos regulares incluyen triángulos equiláteros (3 lados), cuadrados (4 lados), pentágonos regulares (5 lados), hexágonos regulares (6 lados), etc.

Polígonos regulares, StudySmarter Originals

Ten en cuenta que si el polígono no es un polígono regular (es decir, no tiene lados de igual longitud y ángulos iguales), entonces puede llamarse polígono irregular. Por ejemplo, un rectángulo o un cuadrilátero pueden llamarse polígonos irregulares.

Propiedades y elementos de un polígono regular

Consideremos primero las propiedades y los elementos de un polígono regular antes de iniciar la discusión sobre su área.

Cualquier polígono regular tiene distintas partes como radio, apotema, lado, circunferencia interior, circunferencia exterior y centro. Vamos a discutir el concepto de apotema.

Apotema del polígono regular, StudySmarter Originals

La apotema es la recta que va del centro a un lado y es perpendicular a ese lado, y se denota con la letra a.

Para hallar la apotema del polígono, primero tenemos que encontrar su centro. Para un polígono con un número par de lados, esto puede hacerse trazando al menos dos líneas entre ángulos opuestos y viendo dónde se cruzan. La intersección será el centro. Si el polígono tiene un número impar de lados, tendrás que trazar líneas entre una esquina y el punto medio del lado opuesto.

Diagonales y centro de un polígono regular, StudySmarter Originals

Las propiedades de un polígono regular son

• Todos los lados de un polígono regular son iguales.
• Todos los ángulos interiores y exteriores son iguales respectivamente.
• Cada ángulo de un polígono regular es igual a $\frac{\left(n-2\right)\times 180°}{n}.$
• El polígono regular existe para 3 o más lados.

Fórmula para el área de polígonos regulares

Ahora ya sabes todo lo que necesitas para utilizar la fórmula para hallar el área de un polígono regular. La fórmula del área de un polígono regular es

$Area=\frac{a\times p}{2}$

donde a es la apotema y p es el perímetro. El perímetro de un polígono regular se puede hallar multiplicando la longitud de un lado por el número total de lados.

Derivación de la fórmula del área utilizando un triángulo rectángulo

Veamos la derivación de esta fórmula para comprender de dónde procede. Podemos derivar la fórmula del área de los polígonos regulares utilizando un triángulo rectángulo para construir n triángulos de igual tamaño dentro de un polígono de n lados. A continuación, podemos sumar todas las áreas de los triángulos individuales para hallar el área del polígono entero. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro lados, por lo que puede dividirse en cuatro triángulos como se muestra a continuación.

División de un cuadrado en cuatro partes iguales, StudySmarter Originals

Aquí, x es la longitud de un lado y a es la apotema. Tal vez recuerdes que el área de un triángulo es igual a $\frac{b\times h}{2}$donde b es la base del triángulo y h es la altura.

En este caso

por lo que el área de un triángulo dentro del cuadrado puede expresarse como

$\frac{a\times x}{2}$

Como hay cuatro triángulos, tenemos que multiplicarlo por cuatro para obtener el área total del cuadrado. Esto da:

$\Rightarrow 4\times \frac{a\times x}{2}=\frac{a\times 4x}{2}$

Considera el término, 4x. Ya te habrás dado cuenta de que el perímetro del cuadrado es la suma de sus cuatro lados, igual a $4x$. Por tanto, podemos sustituir$p=4x$ en nuestra ecuación para obtener la fórmula general del área de un polígono regular:

$Area=\frac{a\times p}{2}$

Hallar el área de polígonos regulares mediante trigonometría

Es posible que en una pregunta sobre polígonos regulares no siempre se indique la longitud de la apotema o el perímetro. Sin embargo, en tales casos, podemos utilizar nuestros conocimientos de trigonometría para determinar la información que falta si conocemos la longitud del lado y la medida del ángulo. Veamos cómo se relaciona la trigonometría con los polígonos regulares con la siguiente situación de ejemplo.

Nos dan un polígono regular de n lados, con radio r y longitud lateral x.

Polígono regular de n(=5) lados, StudySmarter Originals

Sabemos que el ángulo $\theta$ será $\frac{360°}{n}.$ Consideremos una sección del polígono, como se muestra en la siguiente figura. En esta sección, trazamos un apotema desde el centro, dividiéndolo en dos triángulos rectángulos.

Una parte del polígono regular, StudySmarter Originals

Sabemos que $\angle BAC$ es $\theta ,$ entonces $\angle BAD\&\angle DAC$ será $\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$respectivamente, ya que la apotema es la mediatriz desde el centro. Ahora, calculando el área de cualquiera de los triángulos rectángulos, podemos hallar el área del polígono regular. Por tanto, el área del triángulo rectángulo es

$Area=\frac{1}{2}\times a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)$

donde, $a=r\cos \left(\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right),\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=r\sin \left(\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right).$

El área de la sección del polígono es el doble del área del triángulo rectángulo.

$$\begin{gathered} \Rightarrow Areaofonepartofpolygon=2\times areaofrighttriangle \\ =a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right) \end{gathered}$$

Ahora, considerando todas las secciones del polígono, el área de todo el polígono es n veces el área de una sección.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{g}\mathit{u}\mathit{l}\mathit{a}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{o}\mathit{l}\mathit{y}\mathit{g}\mathit{o}\mathit{n}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathit{n}\mathbf{\times }\mathit{a}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{e}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{a}\mathit{r}\mathit{t}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{o}\mathit{l}\mathit{y}\mathit{g}\mathit{o}\mathit{n} \\ \mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathit{n}\mathbf{\times }\left(a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)\right) \end{gathered}$$

Ejemplos y problemas del área de polígonos regulares

Veamos algunos ejemplos resueltos y problemas relacionados con el área de polígonos regulares.