Triángulos Equiláteros

Triángulos equiláteros y ángulos

También podemos clasificar los triángulos equiláteros en función de sus ángulos.

Triángulo equilátero con ángulos iguales, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Corolarios sobre triángulos equiláteros

Veamos algunas afirmaciones importantes sobre los triángulos equiláteros

Corolario 1

Afirmación: Cada ángulo de un triángulo equilátero es$60°$.

Prueba: Para demostrarlo considera$∆XYZ$un triángulo equilátero.

$\therefore XY=YZ=ZX$

Ahora bien, un triángulo equilátero también se considera un triángulo isósceles. Así que podemos aplicar las propiedades del triángulo isósceles al triángulo equilátero. Aquí utilizamos el Teorema del Triángulo Isósceles.

Para ello toma

$XY=YZ$ y $YZ=ZX$

$\therefore \angle Z=\angle X$ y $\angle X=\angle Y$

$\Rightarrow \angle X=\angle Y=\angle Z$

Considera ahora una de las propiedades de un triángulo, que establece que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a$180°$:$\angle X+\angle Y+\angle Z=180°$

Como los tres ángulos son iguales, podemos considerar sólo uno de ellos en lugar de todos.

$\therefore \angle X+\angle X+\angle X=180°$

$\Rightarrow 3\angle X=180°$

$\Rightarrow \angle X=\frac{180°}{3}$

$\therefore \angle X=60°$

Entonces, $\angle X=\angle Y=\angle Z=60°$.

Por tanto, podemos decir que un triángulo equilátero es un triángulo equiángulo.

A partir de este corolario, llegamos al siguiente corolario.

Corolario 2

Enunciado: Un triángulo es equiangular si y sólo si es equilátero.

Propiedades de los triángulos equiláteros

He aquí algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros:

1. Un triángulo equilátero es un polígono regular, ya que tiene tres lados.

2. Todos los lados y ángulos de los triángulos equiláteros son congruentes.

3. Una recta perpendicular trazada desde cualquier vértice de un triángulo equilátero a su lado opuesto biseca tanto el lado como el ángulo.

4. Esta recta perpendicular (como ya se ha dicho) es la misma recta altitudinal, mediana, bisectriz de la perpendicular y bisectriz del ángulo del mismo lado.

5. Las líneas de simetría en los triángulos equiláteros son las tres líneas mencionadas de cada lado.

6. En los triángulos equiláteros, el centroide, el ortocentro, el circuncentro y el incentro están en el mismo punto.

Fórmulas del triángulo equilátero

Vamos a discutir algunas fórmulas relacionadas con los triángulos equiláteros, incluyendo su:

• Perímetro
• Área
• Altura

Perímetro de un triángulo equilátero

El perímetro es la suma de todos los lados. Y como estamos hablando de un triángulo equilátero, aquí todos los lados son iguales. Por tanto, el perímetro de un triángulo equilátero es el triple de la longitud de un lado.

Perímetro de un triángulo equilátero$\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{a}$. Aquí$a$ es la longitud del lado.

De aquí podemos deducir la fórmula del Semiperímetro. El Semiperímetro es la mitad del perímetro de un triángulo equilátero y podemos calcularlo como sigue.

Semiperímetro de un triángulo equilátero$\raisebox{1ex}{$\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{3}\mathbf{a}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathbf{2}$}\right.$

Solemos utilizar el semiperímetro para calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Área de un triángulo equilátero

El área se calcula para medir el espacio que ocupan los lados de un polígono en un plano 2D. La fórmula para hallar el área de un triángulo equilátero es la siguiente.

Área de un triángulo equilátero $\mathbf{=}\mathbf{}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{4}}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$, donde$a$ es la longitud de los lados.

También podemos calcular el área mediante la fórmula de Herón si se da un semiperímetro. La fórmula de Herón es la siguiente

Áreade un triángulo equilátero$\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{s}{\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}}$, donde a es la longitud del lado y s es el semiperímetro del triángulo.

Altura de un triángulo equilátero

La altura de un triángulo equilátero es la distancia perpendicular de un vértice de ese triángulo a su lado opuesto.

Altura de un triángulo equilátero, Mouli Javia - StudySmarter Originals

A continuación se da la fórmula para calcular la altura de un triángulo equilátero.

Altura de un triángulo equilátero$\mathbf{=}\mathbf{}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathit{a}$, donde$a$ es la longitud del lado.

Ejemplos de triángulos equiláteros

Ahora trabajaremos con algunos ejemplos basados en la teoría anterior.