Área y Volumen

Significado del área en geometría

Existen muchas fórmulas de área diferentes para determinar el área de diversas formas bidimensionales. También podemos determinar el área de una forma contando el número de cuadrados unitarios que cubren toda la superficie del objeto. Este método nos ayuda a aprender y comprender el concepto de área. Observa la imagen siguiente, que muestra el concepto de cuadrado unidad. Sin embargo, verás que las fórmulas de área son más fáciles y rápidas de utilizar. La unidad de área siempre se mide en unidades cuadradas como centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, etc.

Área de una figura 2D, splashlearn.com

Aquí tienes algunos datos sobre el área que debes tener en cuenta:

• El área y el perímetro de las figuras son cálculos diferentes y a menudo pueden confundirse entre sí.
• El área de cualquier figura se calcula principalmente a partir de términos como lado, longitud, base, altura y radio.
• El área de dos figuras congruentes (idénticas) será la misma, pero a veces dos figuras no congruentes (no idénticas) pueden tener la misma área.

Fórmulas de área para figuras planas (2D)

Echemos un vistazo a algunas de las diferentes fórmulas para el área de figuras geométricas básicas y comunes, entre las que se incluyen:

• Área del rectángulo
• Área del cuadrado
• Área del triángulo
• Área del círculo
• Área del paralelogramo

Área de un rectángulo

Podemos calcular el área de un rectángulo de anchura w y altura h del siguiente modo:

Área del rectángulo$\mathbf{=}\mathit{w}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Área del rectángulo - StudySmarter Originals

Área del cuadrado

Los cuadrados tienen cuatro lados de igual longitud. Por tanto, podemos calcular el área con la fórmula dada:

Área del cuadrado$\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

donde a es la longitud del lado

Área del cuadrado - StudySmarter Originals

Área del triángulo

Podemos calcular el área del triángulo con ayuda de su altura h y su base b.

Área del triángulo$\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Área del triángulo - StudySmarter Originals

Área del círculo

El espacio ocupado por el círculo se puede calcular a partir de su radio.

Área del círculo$\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{\times }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

donde r es el radio del círculo

Área del círculo - StudySmarter Originals

Área del paralelogramo

Un paralelogramo es una figura cuyos lados opuestos son un par de rectas paralelas.

Área del paralelogramo$\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

donde b es la base y h es la altura del paralelogramo

Área del paralelogramo - StudySmarter Originals

Significado de superficie en geometría

El término superficie se asocia a figuras y objetos tridimensionales. Sin embargo, su concepto es esencialmente el mismo que el de área, en el sentido de que mide el tamaño de la superficie utilizando unidades cuadradas como pulgadas al cuadrado (ⁱⁿ²). Las fórmulas de las áreas superficiales difieren según el tipo de objeto tridimensional.

Área de superficie - StudySmarter Originals

En otras palabras, el área ocupada por todas las caras y lados de cualquier objeto tridimensional es su área superficial. Para cualquier figura, el área superficial puede clasificarse en tres tipos:

1. Área de superficie lateral
2. Área de superficie curva
3. Superficie total

Tipos de superficie

Aquí se explican los tres tipos de superficie (lateral, curva y total).

Superficie lateral y curva

A veces, la superficie lateral y la superficie curva se refieren a la misma parte de la forma 3D. Es el caso de formas con superficies curvas como cilindros y conos, por ejemplo. Sin embargo, las formas como los cubos no tienen superficie curva, y este término no se aplica.

Superficie total

En otras palabras, incluimos todas y cada una de las superficies de un objeto al calcular el área superficial total, a diferencia del área superficial lateral. Normalmente, nos referimos a la superficie total simplemente como área superficial.

Fórmulas de superficie

Veamos algunas de las fórmulas del área superficial de figuras tridimensionales comunes.

Superficie de un cubo

Un cubo es una figura tridimensional formada por seis caras cuadradas. El área de la superficie de un cubo puede obtenerse hallando el área de las seis caras y sumándolas. Para la superficie lateral del cubo, sólo tenemos en cuenta cuatro caras, eliminando las caras superior e inferior.

Superficie del cubo - StudySmarter Originals

La fórmula de la superficie de un cubo es la siguiente

Superficie total del cubo$\mathbf{=}\mathbf{6}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

Superficie lateral del cubo$\mathbf{=}\mathbf{4}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

donde a es la longitud de todos los lados

Superficie del cuboide

Un cuboide es una figura tridimensional con las seis caras rectangulares. La superficie total y la superficie lateral del cuboide pueden calcularse del mismo modo que un cubo. Sin embargo, para un cuboide, en lugar de utilizar la misma medida para las seis caras, consideramos y medimos las distintas caras por separado. Por tanto, calculamos la superficie del cuboide en función de la longitud l, la anchura w y la altura h.

Superficie de un cuboide - StudySmarter Originals

La fórmula del área de la superficie de un cuboide es la siguiente:

Superficie total del cuboide$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{l}\mathit{w}\mathbf{+}\mathit{w}\mathit{h}\mathbf{+}\mathit{l}\mathit{h}\mathbf{)}$

Superficie lateral del cuboide$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{h}\mathbf{(}\mathit{l}\mathbf{+}\mathit{w}\mathbf{)}$

Superficie del cilindro

Un cilindro es una forma tridimensional con dos caras circulares planas, una en la parte superior y otra en la inferior, unidas en los extremos opuestos de una cara curva. Un ejemplo sencillo es una tubería con ambos extremos sellados o cerrados. La superficie de un cilindro es la suma de las superficies de ambas bases circulares y de la superficie curva. Cuando sólo se determina la superficie lateral o curva, sólo se considera la superficie curva del cilindro.

Superficie de un cilindro - StudySmarter Originals

La fórmula del área superficial de un cilindro es la siguiente:

Superficie total del cilindro$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r}\mathbf{(}\mathit{r}\mathbf{+}\mathit{h}\mathbf{)}$

Superficie lateral del cilindro$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r}\mathit{h}$

donde r es el radio de la base circular y h es la altura del cilindro

Superficie de la esfera

Una esfera es la representación tridimensional de un círculo. Como las esferas sólo tienen una superficie total y ninguna otra cara, hablar de su superficie lateral no tiene sentido, ya que sería igual que su superficie total. Por tanto, sólo calculamos el área superficial total de las esferas.

Superficie de una esfera - StudySmarter Originals

La fórmula del área superficial de un cuboide es la siguiente:

Superficie total de la esfera$\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

donde r es el radio de la esfera

Significado del volumen en geometría

Cualquier objeto tridimensional de la naturaleza ocupa espacio. Por tanto, el espacio ocupado por ese objeto se denomina su volumen .

Para medir el volumen dividimos el espacio ocupado en unidades cúbicas iguales y calculamos el total de unidades cúbicas ocupadas, La unidad de volumen puede ser en centímetro cúbico, metro cúbico, pulgadas cúbicas, etc.

Volumen de visualización de objetos 3D, tasks.illustrativemathematics.org

Fórmulas de volumen

Vamos a entender algunas de las fórmulas de volumen de objetos y formas tridimensionales conocidos.

Volumen del cubo

Como todas las caras del cubo tienen la misma longitud, podemos calcular el volumen de un cubo utilizando la fórmula que se indica a continuación:

Volumen del cubo$\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{3}}$

donde a es la longitud de los lados de todas las caras

Volumen del cubo - StudySmarter Originals

Volumen del cuboide

A diferencia de un cubo, un cuboide tiene caras de distintas medidas. Por eso, calculamos el volumen en función de la longitud l, la anchura w y la altura h. La fórmula del volumen de un cuboide es la siguiente:

Volumendel cuboide$\mathbf{=}\mathit{l}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Volumen del cuboide - StudySmarter Originals

Volumen del cilindro

Como el cilindro está formado por sus bases circulares y la distancia entre ellas, para calcular su volumen tenemos en cuenta el radio r de la base circular y la altura h del cilindro. La fórmula es la siguiente:

Volumendel cilindro$\mathbf{=}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathit{h}$

Volumen del cilindro - StudySmarter Originals

Volumen de la esfera

Como puede utilizarse en algunas aplicaciones para aproximar la forma de la Tierra, tenemos un interés especial en la esfera, la representación tridimensional de un círculo. El volumen de una esfera puede deducirse utilizando múltiples métodos, como la fórmula de Arquímedes y el principio de Cavalieri, por ejemplo. Por ahora, nos limitaremos a echar un breve vistazo a su fórmula de volumen comúnmente aceptada:

Volumen de la esfera$\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{3}}$

donde r es el radio de la esfera

Volumen de la esfera - StudySmarter Originals