Probabilidad Geométrica

Se colocan 8 bolas rojas, 9 verdes y 3 amarillas dentro de una caja. Halla la probabilidad de sacar una bola verde.

Solución

Primero tienes que resolver el espacio muestral:

8 rojas + 9 verdes + 3 amarillas = 20 bolas

Así que, en realidad, la pregunta te está planteando que, de esas 20 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que elijas una bola verde?

Recuerda que hay 9 bolas verdes; por tanto, estamos viendo 9 bolas verdes de 20 bolas.

$P\left(G\right)=\frac{9}{20}$

Hay que hacer una selección entre los puntos G y F como se ve a continuación

Halla la probabilidad de que la selección caiga en

1. GH
2. HF
3. FJ
4. GH o HF

Solución

En primer lugar hay que calcular el espacio muestral entre G y F.

De G a F, la distancia $GF=3-(-5)=3+5=8.$

Por tanto, el espacio muestral es $GF=8.$

a. Para hallar la probabilidad de que la selección caiga en GH, calculamos primero la distancia GH,

$GH=-2-(-5)=3$,

Por tanto

$P\left(GH\right)=\frac{GH}{GF}=\frac{3}{8}.$

b. Para hallar la probabilidad de que la selección caiga en HF, calculamos la distancia HF

$HF=3-(-2)=3+2=5$,

Por tanto,

$P\left(HF\right)=\frac{HF}{GF}=\frac{5}{8}.$

c. Para hallar la probabilidad de que la selección caiga en FJ, y antes de calcular la distancia FJ, observemos que la región FJ no está dentro de GF, por lo que el hecho de que FJ ocurra en GF es cero, por lo tanto

$P\left(FJ\right)=\frac{0}{8}=0$.

d. Para hallar la probabilidad de que la selección caiga en GH o HF, se trata de la unión de dos sucesos. Así, tenemos

$P(GH\cup HF)=P\left(GH\right)+P\left(HF\right)-P(GH\cap HF)$

pero, $P\left(GH\right)=\frac{3}{8}$calculada en la parte a, $P\left(HF\right)=\frac{5}{8},$ calculado en la parte b.

Tenemos $P(GH\cap HF)=0$, por tanto $P(GHUHF)=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{8}{8}=1.$

El autobús Stagecoach pasa cada 15 minutos por Frimley. John tarda 10 minutos en llegar a la escuela desde la parada de autobús. Si John llega a la estación de autobuses a las siete y media y se espera que llegue al colegio a las ocho menos cuarto.

¿Cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo al colegio?

Solución

Para averiguar la probabilidad de que Juan llegue al colegio a la hora adecuada, tenemos que encontrar la mejor hora a la que puede llegar el autobús para que Juan llegue al colegio a las 7:45. Para calcularlo necesitamos saber el mayor tiempo que Juan esperaría en la parada del autobús antes de empezar a llegar tarde. Tenemos

Tiempo desde la parada del autobús hasta la escuela = 10 minutos.

John llega a la parada del autobús a las 7:30 y tiene que estar en la escuela a las 7:45. Esto significa que John aún tiene 15 minutos (es decir, 7:45 - 7:30) para llegar.

Si el autobús llegara exactamente a las 7:30, que es cuando John llega a la estación de autobuses, significaría que John llegaría a la escuela a las 7:40, lo que significa que llegaría 5 minutos antes. Por tanto, Juan sólo puede esperar hasta las 7:35 (es decir, 7:30 + 5 minutos) antes de llegar tarde a la escuela.

Por tanto, el tiempo de espera favorable de Juan es de 5 minutos, y el tiempo total máximo que podría esperar al autobús es de 15 minutos.

Por tanto,

$\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{\mathrm{favourable}\mathrm{waiting}\mathrm{time}}{\mathrm{total}\mathrm{available}\mathrm{waiting}\mathrm{time}}\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{5}{15}\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{1}{3}$$P(Johngettingtoschoolontime)=\frac{favourablewaitingduration}{Maximumwaitingduration}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

Un camino circular se ha dividido en 3 regiones, los arcos A, B y C. Halla la probabilidad de que una plántula que crece por un camino circular se encuentre en el arco B si la longitud del arco de A es de 5 cm, la longitud del arco de C es de 12 cm y el radio del camino circular es de 7 cm. Toma $\mathrm{\pi }=\frac{22}{7}$.

Solución

Para determinar la probabilidad de que la plántula crezca en B necesitamos nuestro espacio muestral. El espacio muestral es la distancia total alrededor de la trayectoria circular.

La distancia total alrededor de la trayectoria circular es igual a la circunferencia de la trayectoria. Pero

Circunferencia de la trayectoria circular$=2\mathrm{\pi r}=2\times \frac{22}{7}\times 7$,

por lo que la distancia total alrededor de la trayectoria circular es de 44 cm.

Ahora, necesitamos conocer la longitud de arco de B habiendo dado las longitudes de arco de A y C como 5 cm y 12 cm respectivamente.

Pero la distancia total alrededor de la trayectoria circular es de 44 cm, por tanto

$ArclengthofB=totaldis\tan ce-(A+C)=44-(5+12)=44-17=27cm.$

Por tanto, la probabilidad de que la plántula se encuentre en B es

$P\left(B\right)=\frac{ArclengthofB}{Arclengthofthecircularpath}=\frac{27}{44}.$

$P\left(B\right)=\frac{27}{44}$

La figura de abajo es un césped rectangular con una longitud de 15 cm y una anchura de 30 cm. Dentro del césped se ha creado una pista de arena en forma de triángulo equilátero. Si un golfista golpea un palo en el césped, ¿cuál es la probabilidad de que el palo golpee en la pista de arena?

Solución

Paso 1.

Hallamos el área del césped rectangular.

Paso 2.

Hallamos el área de la pista de arena triangular equilátera.

$Areaoftriangle=\frac{1}{2}\times base\times height=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24c{m}^2$

Paso 3.

Calculamos la probabilidad de que el golf golpee la pista de arena.

$P(golfhitsthesandycourt)=\frac{Areaoftriangularsandycourt}{Areaofrectangularlawn}=\frac{24}{450}=\frac{4}{75}.$

La figura de abajo es una diana. Si sus radios más largo y más corto son 56 cm y 7 cm respectivamente. Halla la probabilidad de que una flecha no dé en el blanco (el punto rojo). Toma $\mathrm{\pi }=\frac{22}{7}.$

Solución

Paso 1.

Hallamos el área de toda la diana. Como es un círculo, se utiliza el radio más largo para hallar su área.

$Areaoftarger=\pi r^2\mathit{=}\frac{22}{7}\times {56}^2=9856c{m}^2$

Paso 2.

Hallamos el área de la diana (región roja). Sabiendo que la diana (región roja) es el círculo más pequeño, eso significa que tiene el radio más pequeño. Por tanto;

$Areaofbull\text{'}seye=\frac{22}{7}\times 7^2=154c{m}^2.$

Paso 3.

Hallamos la probabilidad de acertar en el ojo del buey. Sea B el suceso de dar en el blanco.

$P(Hittingthebull\text{'}seye)=P\left(B\right)=\frac{Areaofbull\text{'}seye}{Areaoftarget}=\frac{154}{9856}=\frac{1}{64}$

Paso 4.

Hallamos la probabilidad de no dar en el blanco. Entonces B' es el suceso de no dar en la diana, por tanto

$P(Nothittingthebull\text{'}seye)=1-P(hittingthebull\text{'}seye)$por tanto

$P(B\text{'})=1-P\left(B\right)=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$