Volumen de los prismas: Fórmulas, Ejemplos

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En este artículo, conocerás varios prismas y cómo determinar su volumen.

¿Qué es un prisma?

Un prisma es un sólido tridimensional que tiene dos superficies opuestas con la misma forma y dimensión. Estas superficies opuestas suelen denominarse base y cima.

Observamos que estas superficies pueden reposicionarse de modo que la parte superior y la base queden orientadas lateralmente.

Tipos de prisma

Existen varios tipos de prismas. Cada tipo depende de la forma de las bases opuestas. Si las bases opuestas son rectangulares, se denomina prisma rectangular. Cuando estas bases son triangulares, se llaman prismas triangulares, y así sucesivamente.

A continuación se indican algunos tipos de prismas y sus figuras correspondientes,

Prisma cuadrado
Prisma rectangular
Prisma triangular
Prisma trapezoidal
Prisma hexagonal

Volumen de los prismas Diagrama que muestra los tipos de prismas StudySmarter

Un diagrama que muestra los tipos de prismas, StudySmarter Originals

Fórmula y ecuación del volumen de un prisma

Para hallar el volumen de un prisma, tienes que tener en cuenta la superficie de la base del prisma y la altura. Así, el volumen de un prisma es el producto de su superficie base y su altura. Por tanto, la fórmula es

$V o l u m e_{p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times H e i g h t_{p r i s m} = A_{b} \times h_{p}$

Aplicación: ¿Cómo calcular el volumen de distintos tipos de prismas?

El volumen de los distintos tipos de prisma se calcula utilizando la regla general introducida anteriormente en el artículo. A continuación, mostramos distintas fórmulas directas para calcular los volúmenes de distintos tipos de prismas.

Volumen de un prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene una base rectangular. También se le llama cuboide.

Recordemos que el área de un rectángulo viene dada por,

$A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h_{r e c \tan g l e} \times b r e a d t h_{r e c \tan g l e} = l \times b$

Por tanto, el volumen de un prisma rectangular viene dado por,

$V o l u m e_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times H e i g h t_{p r i s m} = l \times b \times h_{p}$

La longitud y la anchura de una caja de cerillas rectangular son 12 cm y 8 cm respectivamente, si su altura es de 5 cm, halla el volumen de la caja.

Solución:

Primero escribimos los valores dados,

$l = 12 c m, b = 8 c m$ y $h_{p} = 5 c m .$

El volumen del prisma rectangular es, pues,

$V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A_{r e c \tan g l e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l \times b \times h_{p} = 12 \times 8 \times 5 = 480 c m^{3} .$

Volumen de un prisma de base triangular

Un prisma triangular tiene su parte superior y su base formadas por triángulos semejantes.

Recordemos que el área de un triángulo viene dada por,

$A r e a_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times l e n g t h_{b a s e o f t r i a n g l e} \times h e i g h t_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t}$

Por tanto, el volumen de un prisma triangular viene dado por,

$V o l u m e_{t r i a n g u l a r p r i s m} = A r e a_{t r a i n g u l a r b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t} \times h_{p}$

Un prisma de base triangular de 10 m de longitud y 9 m de altura tiene una profundidad de 6 cm. Halla el volumen del prisma triangular.

Solución:

Enumeramos primero los valores dados,

$l_{b t} = 10 c m, h_{t} = 9 c m, h_{p} = 6 c m .$

El volumen del prisma triangular viene dado por

$V_{p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A r e a_{t r i a n g l e} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t} \times h_{p} = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 \times 6 = 270 c m^{3}$ .

Volumen de un prisma de base cuadrada

Todas las caras de un prisma cuadrado son cuadrados. También se llama cubo.

Recordemos que el área de un cuadrado viene dada por ,

$A r e a_{s q u a r e} = l e n g h t_{s q u a r e} \times b r e a d t h_{s q u a r e} = {(l e n g t h_{s q u a r e})}^{2}$

El volumen de un prisma cuadrado viene dado por,

$V o l u m e_{s q u a r e p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m}$

Pero, como se trata de un prisma cuadrado, todos los lados son iguales y, por tanto, la altura del prisma es igual a los lados de cada cuadrado del prisma. Por tanto,

$h e i g h t_{p r i s m} = l e n g h t_{s q u a r e} = b r e a d t h_{s q u a r e}$

Así pues, el volumen de un prisma cuadrado o de un cubo viene dado por,

$V o l u m e_{c u b e} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l e n g t h_{s q u a r e} \times h e i g h t_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} = {(l_{s q u a r e})}^{3}$

Halla el volumen de un cubo con una de sus caras de longitud 5 cm.

Solución:

Primero escribimos los valores dados,

$l_{s q u a r e} = 5 c m$

El Volumen de un cubo viene dado por,

$V o l u m e_{c u b e} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l e n g t h_{s q u a r e} \times h e i g h t_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e}$

$= {(l_{s q u a r e})}^{3} = 5^{3} = 125 c m^{3}$

Volumen de un prisma trapezoidal

Un prisma trapezoidal tiene el mismo trapecio en la parte superior y en la base del sólido. El volumen de un prisma trapezoidal es el producto del área del trapecio por la altura del prisma.

Recordamos que son de un trapecio viene dado por,

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{1}{2} \times h e i g h t_{t r a p e z i u m} \times (t o p b r e a d t h_{t r a p e z i u m} + d o w n b r e a d t h_{t r a p e z i u m}) A_{t r a p e z i u m} = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m})$

Por tanto, el volumen de un trapecio viene dado por,

$V o l u m e_{t a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m}) \times h_{p}$

Una caja sandwich es un prisma con base de trapecio de 5 cm y 8 cm de anchura y 6 cm de altura. Si la profundidad de la caja es de 3 cm, halla el volumen del sándwich.

Solución:

Primero escribimos los valores conocidos, la longitud del ancho superior es de 5 cm, la longitud del ancho inferior es de 8 cm, la altura del trapecio es de 6 cm, y la altura del prisma es de 3 cm.

Por tanto, el volumen del prisma trapezoidal viene dado por,

$V o l u m e_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m}$

El área del trapecio puede calcularse mediante la fórmula,

$A = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m}) = \frac{1}{2} \times 6 \times (5 + 8) = 3 \times 13 = 39 c m^{2}$

Finalmente, el volumen del prisma trapezoidal es

$V o l u m e_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = 39 \times 3 = 117 c m^{3} .$

Volumen de un prisma hexagonal

Un prisma hexagonal tiene la base y la parte superior hexagonales. Su volumen es el producto del área de la base hexagonal y la altura del prisma.

Recordemos que el área de un hexágono viene dada por,

$A r e a_{h e x a g o n} = \frac{3 \sqrt{3} {l_{h e x a g o n}}^{2}}{2}$

Observamos que todos los lados de un polígono regular son iguales. Por tanto,

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = A r e a_{h e x a g o n} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{3 \sqrt{3} {l_{h e x a g o n}}^{2}}{2} \times h_{p}$ .

Un prisma hexagonal con una de sus caras de 7 cm, tiene una altura de 5 cm. Calcula el volumen del prisma.

Solución:

Primero escribimos los valores conocidos, la longitud de cada lado del hexágono es de 7 cm y la altura del prisma es de 5 cm.

Por tanto, el volumen del prisma hexagonal viene dado por,

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = {A r e a}_{h e x a g o n} \times h e i g t h_{p r i s m}$

Pero,

$A r e a_{h e x a g o n a l b a s e} = \frac{3 \sqrt{3} \times l^{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} \times 7^{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} \times 49}{2} = \frac{147 \sqrt{3}}{2} c m^{2}$

Por tanto, tenemos

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = {A r e a}_{h e x a g o n} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{3 \sqrt{3} \times l^{2}}{2} \times h_{p} = \frac{147 \sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{735 \sqrt{3}}{2} c m^{3}$

Ejemplos de volumen de prismas

Una aplicación muy útil del volumen de los prismas es la posibilidad de hallar volúmenes de formas diferentes. Lo veremos en el siguiente ejemplo.

Determina la capacidad de agua que puede contener la figura.

Solución:

La figura anterior está formada por dos prismas, un prisma rectangular en la parte superior y un prisma trapezoidal en la base. Para hallar la capacidad, necesitamos hallar el volumen de cada uno.

Primero calcularemos el volumen del prisma rectangular,

$V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{r e c \tan g l e} \times h e i g h t_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = 4 \times 5 \times 3 = 60 c m^{3}$ .

A continuación, calcularemos el volumen del prisma trapezoidal,

$V_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times 8 \times (5 + 12) \times 4 = \frac{1}{2} \times 8 \times 17 \times 4 = 272 c m^{3} .$

A continuación, podemos calcular el volumen de la figura dada,

$V o l u m e_{s o l i d} = V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} + V_{t r i a n g u l a r p r i s m} = 60 + 272 = 332 c m^{3} .$

Por tanto, para determinar la capacidad necesitamos convertir a litros.

Así pues,

$1 c m^{3} = 0.001 l i t e r s 332 \times 0.001 = 0.332 l i t e r s .$

Volumen de los prismas - Puntos clave

Un prisma es un sólido tridimensional que tiene dos de sus superficies opuestas iguales en forma y dimensión.
Los distintos tipos de prisma se basan en la forma de la base, como rectangular, cuadrada, triangular, trapezoidal y poligonal.
El volumen de un prisma regular se calcula hallando el producto del área de la base y la altura del prisma.
El volumen de diferentes formas puede calcularse realizando operaciones aritméticas sencillas con prismas regulares separados.

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Preguntas frecuentes sobre Volumen de los prismas

¿Qué es el volumen de un prisma?

El volumen de un prisma es el espacio que ocupa. Se calcula multiplicando el área de la base por la altura del prisma.

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma rectangular?

Para calcular el volumen de un prisma rectangular, multiplica el largo por el ancho y luego por la altura.

¿Cuál es la fórmula del volumen de un prisma triangular?

La fórmula del volumen de un prisma triangular es: (Área de la base triangular x altura) / 2.

¿Cuáles son las unidades de medida del volumen de un prisma?

Las unidades de medida del volumen de un prisma son unidades cúbicas, como cm³, m³, etc.

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