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Mediatriz

Existen dos conceptos que seguro conoces, pero que quizá aún no sepas cómo expresarlos matemáticamente con ecuaciones; estos son la mediatriz y la bisectriz. En este artículo te contamos su definición y características más importantes.

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Mediatriz

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Existen dos conceptos que seguro conoces, pero que quizá aún no sepas cómo expresarlos matemáticamente con ecuaciones; estos son la mediatriz y la bisectriz. En este artículo te contamos su definición y características más importantes.

En primer lugar, vamos a definir la mediatriz; pero, antes tenemos que explicar qué son las rectas perpendiculares, concepto que nos ayudará a entender las características de la mediatriz.

  • A modo de introducción empezaremos explicando las rectas perpendiculares.
  • A continuación, te explicamos lo que es una mediatriz y como se aplica a segmentos y triángulos.
  • Después, te enseñaremos a encontrar la ecuación de la mediatrizsiguiendo los pasos:
    • Encontrar la pendiente de la mediatriz.
    • Hallar el punto medio de un segmento de recta.
    • Crear la ecuación de la mediatriz.
  • Por último, definiremos la bisectriz.

Rectas perpendiculares

Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando entre ellas se forman ángulos de \(90^o\); es decir, ángulos rectos. La proyección de una sobre otra es solo un punto.

Por tanto, un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano; entre ellos se forman ángulos rectos. En la siguiente imagen se observan dos rectas perpendiculares:

Mediatriz, Rectas perpendiculares, StudySmarterFig. 1: Dos rectas perpendiculares, donde se aprecia el ángulo recto que forman.

Ahora que ya hemos definido lo que son dos rectas perpendiculares, es importante tener claro el concepto de mediatriz.

¿Qué es una mediatriz?

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos \(A\) y \(B\), que son los extremos de un segmento.

También se entiende como la recta perpendicular a un segmento de extremos \(A\) y \(B\), pasando por su punto medio.

Mediatriz, mediatriz como recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento, StudySmarterFig. 2. Mediatriz como la recta perpendicular \(AM\) que pasa por el punto medio de un segmento \(XY\).

La mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio de ese segmento, por lo que la recta está limitada a un rango entre dos coordenadas \( (x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). Por tanto, la recta debe ser perpendicular y pasar por el punto medio del segmento.

Para encontrar este punto medio, se debe aplicar la siguiente fórmula:

\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]

Después de esto, deberás encontrar la ecuación de la recta mediatriz. Esto lo explicaremos más adelante.

Mediatriz de un triángulo

Después de haber definido la mediatriz, seguro que te has acordado de los triángulos. En efecto, los lados de un triángulo se pueden tratar cada uno como un segmento y, por tanto, podemos hacer la mediatriz de cada uno.

Mediatriz, mediatrices de un triángulo, Wikimedia CommonsFig. 3. Mediatrices de un triángulo.

Como puedes observar, un triángulo no tiene una mediatriz, sino tres: una por cada lado del triángulo. Si realizamos las tres mediatrices del triángulo, observamos que las tres se cortan en un punto dentro del mismo. Este punto se conoce como circuncentro.

El circuncentro es el centro de la circunferencia que contiene el triángulo que corta los vértices del mismo. Esto lo puedes observar en la siguiente imagen.

Mediatriz, circunferencia circunscrita en un triángulo acutángulo, Wikimedia CommonsFig. 4. Circunferencia circunscrita en un triángulo acutángulo con centro en el circuncentro.

Encontrar la ecuación de la mediatriz

Una mediatriz se expresa como una ecuación lineal. Para crear una ecuación para la mediatriz de una línea, necesitas encontrar la pendiente de la mediatriz y el punto medio del segmento por el que pasa.

Encontrar la pendiente de la mediatriz

  • El primer paso para hallar una ecuación para la mediatriz perpendicular es encontrar la pendiente. Como las pendientes de la recta original y de la mediatriz son perpendiculares, podemos utilizar la pendiente de la recta original para calcular la pendiente de la mediatriz.

  • La pendiente de la mediatriz es el recíproco inverso de la pendiente de la recta original.

  • La pendiente de la mediatriz puede expresarse como \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente de la recta original.

La recta \(a\) tiene la ecuación \(f(x)\), que es perpendicularmente bisecada por la recta l.

¿Cuál es la pendiente de la recta a, si \(f(x)\) se da a continuación?

\[f(x)=3x+6\]

Solución:

  1. Identifica la pendiente original: en la ecuación, \(y=mx+c\), \(m\) es la pendiente. Por tanto, la pendiente de la recta original es 3.
  2. Encuentra la pendiente de la mediatriz: sustituye la pendiente original (3) en la fórmula para encontrar el recíproco inverso, porque es perpendicular. Por tanto, la pendiente de la recta es -1/3 .

Si no te dan la ecuación original, es posible que primero tengas que calcular la pendiente de la ecuación de la recta, utilizando dos coordenadas. La fórmula de la pendiente es: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).

La recta 1 va de \((3, 3)\) a \((9, -21)\) y es perpendicularmente bisecada por la recta 2.

¿Cuál es la pendiente de la línea 2?

Solución:

  1. Identifica la pendiente original: como no tienes la ecuación de la recta 1, tendrás que calcular su pendiente. Para encontrar la pendiente de la recta 1, debes sustituir las coordenadas en la fórmula de la pendiente. Por lo tanto, se tiene -4.
  2. Encuentra la pendiente de la mediatriz: sustituye -4 en la fórmula \(-1/m\), porque las líneas son perpendiculares. Por tanto, la pendiente es -1/-4, que es igual a 1/4.

Hallar el punto medio de un segmento de recta

El punto medio es una coordenada que muestra el punto medio de un segmento de recta. Si no te dan la ecuación de la recta original, tendrás que calcular el punto medio del segmento de recta, ya que es donde la mediatriz se cruzará con la recta original.

Un segmento de recta es una parte de una línea entre dos puntos.

Puedes encontrar el punto medio, promediando a partir de las coordenadas x y y del extremo del segmento de línea. Por ejemplo, puedes encontrar el punto medio del segmento de la recta con los puntos extremos (a, b) y (c, d) mediante la fórmula.

Mediatriz Rectas perpendiculares StudySmarterFig. 5. Punto medio de una recta.

Un segmento de una recta tiene los puntos extremos (-1, 8) y (15, 10).

Encuentra las coordenadas del punto medio.

  1. Usa la siguiente expresión:\[(\dfrac{a+c}{2},\dfrac{b+d}{2})\]

2. Sustituye los puntos extremos:\[(\dfrac{-1+15}{2},\dfrac{8+10}{2})=(7,9)\]

Puedes reordenar la fórmula, para utilizar el punto medio y encontrar una de las otras coordenadas.

AB es un segmento de recta cuyo punto medio es \((6, 6)\).

Encuentra \(B\), cuando \(A\) es \((10, 0)\).

  • Puedes dividir \((\dfrac{a+c}{2},\dfrac{b+d}{2})\) en partes relativas a las coordenadas \(x\) y a la coordenada \(y\), cuando el centro es: \((m,n)\):
    • Coordenada X: \( \dfrac{a+c}{2}=m\)
    • Coordenadas Y:\(\dfrac{b+d}{2}=n\)
  • Entonces, puedes sustituir las coordenadas conocidas en estas nuevas ecuaciones:
    • Coordenadas X: \( \dfrac{10+c}{2}=6\)
    • Coordenadas Y: \(\dfrac{0+d}{2}=6\)
  • Reordenando estas ecuaciones, se obtiene:
    • \(c=2,\,d=12\)
    • Por tanto: \(B=(2,12)\)

Crear la ecuación de una mediatriz

Para terminar de formular la ecuación de la mediatriz, necesitas sustituir la pendiente, así como el punto medio en la ecuación de una recta.

Esta ecuación es:

\[y=mx+c\]

\[y-y_1=m(x-x_1)\]

\[Ax+By=C\]

Se puede sustituir directamente en las dos primeras fórmulas, mientras que la última necesita ser reordenada en esa forma.

Un segmento de una recta está entre los puntos:

\[A=(4,10),\, B=(10,20)\]

¿Cuál es la ecuación de la mediatriz de este segmento?

Solución:

1. Halla la pendiente de la recta original:

\[\dfrac{20-10}{10-4}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\]

2. Halla la pendiente de la mediatriz:

\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-3}{5}\]

3. Halla el punto medio del segmento de recta:

\[\left(\dfrac{4+10}{2},\dfrac{10+20}{2}\right)=(7,5)\]

4. Sustituye en la ecuación de la recta:

\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:

\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]

\[5y-75=-3x+21\]

\[3x+5y-96=0\]

Un segmento de una recta está entre los puntos:

\[A=(-3,7),\,B=(6,14)\]

¿Cuál es la ecuación de la mediatriz del segmento?

Solución:

1. Encuentra la pendiente de la recta original:

\[\dfrac{14-7}{6-(-3)}=\dfrac{7}{9}\]

2. Halla la pendiente de la mediatriz:

\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-9}{7}\]

3. Halla el punto medio del segmento de recta:

\[\left(\dfrac{-3+6}{2},\dfrac{7+14}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{21}{2}\right)\]

4. Sustituye en la ecuación:

\[y-\dfrac{21}{2}=\dfrac{-9}{7}\left( x-\dfrac{21}{2}\right)\]

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:

\[\dfrac{9}{7}x+y-24=0\]

Rectas paralelas y la mediatriz

Una propiedad de las mediatrices es que si dos rectas tienen las misma mediatriz, estas son rectas paralelas; en caso contrario, se tocan en cierto ángulo

Definición de bisectriz

Otra tema importante en geometría es la bisectriz de dos rectas. La recta, en este caso, es la que divide un ángulo en dos partes iguales. Esto se puede ver en la imagen inferior.

Mediatriz Mediatriz de un triángulo StudySmarterFig. 6. Recta bisectriz dividiendo el ángulo en dos partes iguales.

Dadas dos rectas \(r\) y \(t\), se llaman bisectrices a las rectas \(b_1\) y \(b_2\) que dividen los ángulos de las rectas \(r\) y \(t\) en dos partes iguales.

En triángulos, la bisectriz de los ángulos es importante; es parte del teorema bisector, donde el ratio de la longitud de las rectas creadas en cada lado por la división de la recta bisectriz debe ser igual. Esto se puede ver en la imagen inferior:

Mediatriz Mediatriz de un triángulo StudySmarterFig. 7. Recta bisectriz en un triángulo, donde las longitudes son equivalentes.

De este modo:

\[\dfrac{|BP|}{|CP|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\]

Para obtener esta recta, debes dividir uno de los ángulos por la mitad y, después, extender una recta desde esa posición hasta el lado opuesto del triángulo. Esta recta es conocida como la recta bisectriz de un triángulo.

Mediatriz - Puntos clave

  • La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento de extremos \(A\) y \(B\) pasando por su punto medio.
  • Para calcular la pendiente de una recta perpendicular, se toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta original.
  • Si no te dan una ecuación para la pendiente de la recta original, tienes que encontrar el punto medio del segmento, ya que este es el punto de bisección. Para calcular el punto medio, se sustituyen los puntos extremos de un segmento de recta en la fórmula:

\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]

  • Para crear la ecuación de la mediatriz, hay que sustituir el punto medio y la pendiente en la ecuación de una recta.

Preguntas frecuentes sobre Mediatriz

La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento de extremos A y B pasando por su punto medio.

1. Primero, debes encontrar el punto medio del segmento; esto con la fórmula:

(a+c)/2=xm

(b+d)=ym  

donde el primer punto tiene coordenadas (a,b) y el segundo (c,d).


2. Después, debes encontrar la pendiente de la recta, esto usando la fórmula:

m=(y2-y1)/(x2-x1)

donde los puntos son:

m=(b-d)/(a-c)


3. Ahora, debes encontrar la pendiente inversa, que será:

minv=-1/m


4. Finalmente, sustituye todos los valores que obtuviste en la fórmula: y-ym=minv(x-xm)

Para calcular la mediatriz de un triángulo, puedes seguir los siguientes pasos:


  1. Conociendo las coordenadas de cada vértice del triángulo.
  2. Calculando el punto medio de la recta que está definida por cada lado del triángulo.
  3. Siguiendo el mismo procedimiento que cuando se calcula la mediatriz de un segmento.

La bisectriz es la recta que corta el ángulo opuesto a un cateto de un triángulo. En este caso, se debe dividir el ángulo contrario a la mitad y trazar una recta hasta el cateto opuesto.

Si se tiene una recta y1 , para construir una recta perpendicular:
1. Se debe obtener un punto cualquiera en la recta original con coordenadas (x1, y1).

2. Se debe obtener la pendiente de la recta original y calcular la inversa, la cual será la pendiente de la recta perpendicular m= -1/m1.

3. Para finalizar, se debe construir la recta con la ecuación: y-ya=m1(x-xa)
donde los puntos (xa,ya) son los puntos de la recta original (x1,y1) y m es la pendiente calculada.

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¿Qué es una recta perpendicular?

¿Qué es una mediatriz?

¿Qué es la bisectriz de dos ángulos?

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