Mediatriz

Rectas perpendiculares

Por tanto, un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano; entre ellos se forman ángulos rectos. En la siguiente imagen se observan dos rectas perpendiculares:

Fig. 1: Dos rectas perpendiculares, donde se aprecia el ángulo recto que forman.

Ahora que ya hemos definido lo que son dos rectas perpendiculares, es importante tener claro el concepto de mediatriz.

¿Qué es una mediatriz?

Fig. 2. Mediatriz como la recta perpendicular \(AM\) que pasa por el punto medio de un segmento \(XY\).

La mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio de ese segmento, por lo que la recta está limitada a un rango entre dos coordenadas \( (x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). Por tanto, la recta debe ser perpendicular y pasar por el punto medio del segmento.

Para encontrar este punto medio, se debe aplicar la siguiente fórmula:

\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]

Después de esto, deberás encontrar la ecuación de la recta mediatriz. Esto lo explicaremos más adelante.

Mediatriz de un triángulo

Después de haber definido la mediatriz, seguro que te has acordado de los triángulos. En efecto, los lados de un triángulo se pueden tratar cada uno como un segmento y, por tanto, podemos hacer la mediatriz de cada uno.

Fig. 3. Mediatrices de un triángulo.

Como puedes observar, un triángulo no tiene una mediatriz, sino tres: una por cada lado del triángulo. Si realizamos las tres mediatrices del triángulo, observamos que las tres se cortan en un punto dentro del mismo. Este punto se conoce como circuncentro.

Fig. 4. Circunferencia circunscrita en un triángulo acutángulo con centro en el circuncentro.

Encontrar la ecuación de la mediatriz

Una mediatriz se expresa como una ecuación lineal. Para crear una ecuación para la mediatriz de una línea, necesitas encontrar la pendiente de la mediatriz y el punto medio del segmento por el que pasa.

Encontrar la pendiente de la mediatriz

• El primer paso para hallar una ecuación para la mediatriz perpendicular es encontrar la pendiente. Como las pendientes de la recta original y de la mediatriz son perpendiculares, podemos utilizar la pendiente de la recta original para calcular la pendiente de la mediatriz.

• La pendiente de la mediatriz es el recíproco inverso de la pendiente de la recta original.

• La pendiente de la mediatriz puede expresarse como \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente de la recta original.

Hallar el punto medio de un segmento de recta

El punto medio es una coordenada que muestra el punto medio de un segmento de recta. Si no te dan la ecuación de la recta original, tendrás que calcular el punto medio del segmento de recta, ya que es donde la mediatriz se cruzará con la recta original.

Puedes encontrar el punto medio, promediando a partir de las coordenadas x y y del extremo del segmento de línea. Por ejemplo, puedes encontrar el punto medio del segmento de la recta con los puntos extremos (a, b) y (c, d) mediante la fórmula.

Fig. 5. Punto medio de una recta.

Puedes reordenar la fórmula, para utilizar el punto medio y encontrar una de las otras coordenadas.

Crear la ecuación de una mediatriz

Para terminar de formular la ecuación de la mediatriz, necesitas sustituir la pendiente, así como el punto medio en la ecuación de una recta.

Esta ecuación es:

\[y=mx+c\]

\[y-y_1=m(x-x_1)\]

\[Ax+By=C\]

Rectas paralelas y la mediatriz

Una propiedad de las mediatrices es que si dos rectas tienen las misma mediatriz, estas son rectas paralelas; en caso contrario, se tocan en cierto ángulo

Definición de bisectriz

Otra tema importante en geometría es la bisectriz de dos rectas. La recta, en este caso, es la que divide un ángulo en dos partes iguales. Esto se puede ver en la imagen inferior.

Fig. 6. Recta bisectriz dividiendo el ángulo en dos partes iguales.

En triángulos, la bisectriz de los ángulos es importante; es parte del teorema bisector, donde el ratio de la longitud de las rectas creadas en cada lado por la división de la recta bisectriz debe ser igual. Esto se puede ver en la imagen inferior:

Fig. 7. Recta bisectriz en un triángulo, donde las longitudes son equivalentes.

De este modo:

\[\dfrac{|BP|}{|CP|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\]

Para obtener esta recta, debes dividir uno de los ángulos por la mitad y, después, extender una recta desde esa posición hasta el lado opuesto del triángulo. Esta recta es conocida como la recta bisectriz de un triángulo.