Existen dos conceptos que seguro conoces, pero que quizá aún no sepas cómo expresarlos matemáticamente con ecuaciones; estos son la mediatriz y la bisectriz. En este artículo te contamos su definición y características más importantes.
Explora nuestra app y descubre más de 50 millones de materiales de aprendizaje totalmente gratis.
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenExisten dos conceptos que seguro conoces, pero que quizá aún no sepas cómo expresarlos matemáticamente con ecuaciones; estos son la mediatriz y la bisectriz. En este artículo te contamos su definición y características más importantes.
En primer lugar, vamos a definir la mediatriz; pero, antes tenemos que explicar qué son las rectas perpendiculares, concepto que nos ayudará a entender las características de la mediatriz.
Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando entre ellas se forman ángulos de \(90^o\); es decir, ángulos rectos. La proyección de una sobre otra es solo un punto.
Por tanto, un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano; entre ellos se forman ángulos rectos. En la siguiente imagen se observan dos rectas perpendiculares:
Ahora que ya hemos definido lo que son dos rectas perpendiculares, es importante tener claro el concepto de mediatriz.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos \(A\) y \(B\), que son los extremos de un segmento.
También se entiende como la recta perpendicular a un segmento de extremos \(A\) y \(B\), pasando por su punto medio.
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio de ese segmento, por lo que la recta está limitada a un rango entre dos coordenadas \( (x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). Por tanto, la recta debe ser perpendicular y pasar por el punto medio del segmento.
Para encontrar este punto medio, se debe aplicar la siguiente fórmula:
\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]
Después de esto, deberás encontrar la ecuación de la recta mediatriz. Esto lo explicaremos más adelante.
Después de haber definido la mediatriz, seguro que te has acordado de los triángulos. En efecto, los lados de un triángulo se pueden tratar cada uno como un segmento y, por tanto, podemos hacer la mediatriz de cada uno.
Como puedes observar, un triángulo no tiene una mediatriz, sino tres: una por cada lado del triángulo. Si realizamos las tres mediatrices del triángulo, observamos que las tres se cortan en un punto dentro del mismo. Este punto se conoce como circuncentro.
El circuncentro es el centro de la circunferencia que contiene el triángulo que corta los vértices del mismo. Esto lo puedes observar en la siguiente imagen.
Una mediatriz se expresa como una ecuación lineal. Para crear una ecuación para la mediatriz de una línea, necesitas encontrar la pendiente de la mediatriz y el punto medio del segmento por el que pasa.
El primer paso para hallar una ecuación para la mediatriz perpendicular es encontrar la pendiente. Como las pendientes de la recta original y de la mediatriz son perpendiculares, podemos utilizar la pendiente de la recta original para calcular la pendiente de la mediatriz.
La pendiente de la mediatriz es el recíproco inverso de la pendiente de la recta original.
La pendiente de la mediatriz puede expresarse como \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente de la recta original.
La recta \(a\) tiene la ecuación \(f(x)\), que es perpendicularmente bisecada por la recta l.
¿Cuál es la pendiente de la recta a, si \(f(x)\) se da a continuación?
\[f(x)=3x+6\]
Solución:
Si no te dan la ecuación original, es posible que primero tengas que calcular la pendiente de la ecuación de la recta, utilizando dos coordenadas. La fórmula de la pendiente es: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
La recta 1 va de \((3, 3)\) a \((9, -21)\) y es perpendicularmente bisecada por la recta 2.
¿Cuál es la pendiente de la línea 2?
Solución:
El punto medio es una coordenada que muestra el punto medio de un segmento de recta. Si no te dan la ecuación de la recta original, tendrás que calcular el punto medio del segmento de recta, ya que es donde la mediatriz se cruzará con la recta original.
Un segmento de recta es una parte de una línea entre dos puntos.
Puedes encontrar el punto medio, promediando a partir de las coordenadas x y y del extremo del segmento de línea. Por ejemplo, puedes encontrar el punto medio del segmento de la recta con los puntos extremos (a, b) y (c, d) mediante la fórmula.
Un segmento de una recta tiene los puntos extremos (-1, 8) y (15, 10).
Encuentra las coordenadas del punto medio.
2. Sustituye los puntos extremos:\[(\dfrac{-1+15}{2},\dfrac{8+10}{2})=(7,9)\]
Puedes reordenar la fórmula, para utilizar el punto medio y encontrar una de las otras coordenadas.
AB es un segmento de recta cuyo punto medio es \((6, 6)\).
Encuentra \(B\), cuando \(A\) es \((10, 0)\).
Para terminar de formular la ecuación de la mediatriz, necesitas sustituir la pendiente, así como el punto medio en la ecuación de una recta.
Esta ecuación es:
\[y=mx+c\]
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
\[Ax+By=C\]
Se puede sustituir directamente en las dos primeras fórmulas, mientras que la última necesita ser reordenada en esa forma.
Un segmento de una recta está entre los puntos:
\[A=(4,10),\, B=(10,20)\]
¿Cuál es la ecuación de la mediatriz de este segmento?
Solución:
1. Halla la pendiente de la recta original:
\[\dfrac{20-10}{10-4}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\]
2. Halla la pendiente de la mediatriz:
\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-3}{5}\]
3. Halla el punto medio del segmento de recta:
\[\left(\dfrac{4+10}{2},\dfrac{10+20}{2}\right)=(7,5)\]
4. Sustituye en la ecuación de la recta:
\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]
Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:
\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]
\[5y-75=-3x+21\]
\[3x+5y-96=0\]
Un segmento de una recta está entre los puntos:
\[A=(-3,7),\,B=(6,14)\]
¿Cuál es la ecuación de la mediatriz del segmento?
Solución:
1. Encuentra la pendiente de la recta original:
\[\dfrac{14-7}{6-(-3)}=\dfrac{7}{9}\]
2. Halla la pendiente de la mediatriz:
\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-9}{7}\]
3. Halla el punto medio del segmento de recta:
\[\left(\dfrac{-3+6}{2},\dfrac{7+14}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{21}{2}\right)\]
4. Sustituye en la ecuación:
\[y-\dfrac{21}{2}=\dfrac{-9}{7}\left( x-\dfrac{21}{2}\right)\]
Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:
\[\dfrac{9}{7}x+y-24=0\]
Una propiedad de las mediatrices es que si dos rectas tienen las misma mediatriz, estas son rectas paralelas; en caso contrario, se tocan en cierto ángulo
Otra tema importante en geometría es la bisectriz de dos rectas. La recta, en este caso, es la que divide un ángulo en dos partes iguales. Esto se puede ver en la imagen inferior.
Dadas dos rectas \(r\) y \(t\), se llaman bisectrices a las rectas \(b_1\) y \(b_2\) que dividen los ángulos de las rectas \(r\) y \(t\) en dos partes iguales.
En triángulos, la bisectriz de los ángulos es importante; es parte del teorema bisector, donde el ratio de la longitud de las rectas creadas en cada lado por la división de la recta bisectriz debe ser igual. Esto se puede ver en la imagen inferior:
De este modo:
\[\dfrac{|BP|}{|CP|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\]
Para obtener esta recta, debes dividir uno de los ángulos por la mitad y, después, extender una recta desde esa posición hasta el lado opuesto del triángulo. Esta recta es conocida como la recta bisectriz de un triángulo.
\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]
La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento de extremos A y B pasando por su punto medio.
1. Primero, debes encontrar el punto medio del segmento; esto con la fórmula:
(a+c)/2=xm
(b+d)=ym
donde el primer punto tiene coordenadas (a,b) y el segundo (c,d).
2. Después, debes encontrar la pendiente de la recta, esto usando la fórmula:
m=(y2-y1)/(x2-x1)
donde los puntos son:
m=(b-d)/(a-c)
3. Ahora, debes encontrar la pendiente inversa, que será:
minv=-1/m
4. Finalmente, sustituye todos los valores que obtuviste en la fórmula: y-ym=minv(x-xm)
Para calcular la mediatriz de un triángulo, puedes seguir los siguientes pasos:
La bisectriz es la recta que corta el ángulo opuesto a un cateto de un triángulo. En este caso, se debe dividir el ángulo contrario a la mitad y trazar una recta hasta el cateto opuesto.
Si se tiene una recta y1 , para construir una recta perpendicular:
1. Se debe obtener un punto cualquiera en la recta original con coordenadas (x1, y1).
2. Se debe obtener la pendiente de la recta original y calcular la inversa, la cual será la pendiente de la recta perpendicular m= -1/m1.
3. Para finalizar, se debe construir la recta con la ecuación: y-ya=m1(x-xa)
donde los puntos (xa,ya) son los puntos de la recta original (x1,y1) y m es la pendiente calculada.
¿Qué es una recta perpendicular?
Líneas que se encuentran en un ángulo recto \((90°)\).
¿Qué es una mediatriz?
La partición de una línea en dos partes iguales.
¿Qué es la bisectriz de dos ángulos?
La recta, en este caso, es la que divide un ángulo en dos partes iguales e interseca el lado opuesto de un triángulo.
Si se tiene un ángulo de sesenta y dos grados, la recta bisectriz se divide en dos partes de....
\(40\) y \(20\) grados.
En el primer paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
Encontrar la pendiente de la recta.
En el segundo paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
Encontrar la pendiente de la recta.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Abrir en la aplicaciónLa primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
Guarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión