Rectas y planos

¿Qué es una recta?

Una recta debe poseer las siguientes características:

• No puede tener huecos; pues serían dos líneas, una tras otra.

• No puede tener curvaturas, ángulos o torceduras.

• No tiene volumen, ni superficie. Esto significa que, si tuvieses una lupa, tu recta se haría más y más pequeña, y nunca dejaría de ser simplemente una línea.

Fig. 1. Imagen de una recta, cuya ecuación de es \(y=x\), que es la forma más simple de una recta que no es constante.

Las rectas pueden cruzarse entre sí o con otros objetos. Si observamos los casos de corte de una recta con otra recta tendríamos:

• Una recta que toca a otra recta en un solo punto y que genera ángulos diferentes de noventa grados. Estas rectas se denominan secantes.

• Una recta que toca a otra recta en un solo punto y que genera ángulos de noventa grados. Esta propiedad se denomina perpendicularidad y las rectas se denominan perpendiculares.

• Una recta que nunca toca otra recta. Esto se llama paralelismo o rectas paralelas.

Fig. 2. Imagen de dos rectas paralelas, cuya ecuación es \(y=x\), \(y=x+2\). Estas rectas nunca se tocan.

La importancia de estas posibilidades radica en que la recta también puede ser perpendicular a un plano o un objeto. Además, una recta también puede ser paralela a un plano o a un plano que existe en un objeto.

Fig. 3. Imagen en tres dimensiones de una recta que pasa por el punto \(z=5\) y es paralela al plano en \(z=2\).

Una manera básica de saber si dos rectas son paralelas o perpendiculares es ver el ángulo que forman entre sí. Esto implica conocer las pendientes de las rectas. A continuación se describen las ecuaciones de la recta en el espacio bidimensional; en concreto, en el plano \(xy\).

Ecuación ordenada al origen o explícita de la recta

La ecuación más básica de la recta es conocida como la forma ordenada al origen, o explícita, la cual es:

\[y=mx+b\]

donde \(m\) es la pendiente definida como el cociente de las resta de dos puntos en la recta \(\frac{\Delta y }{\Delta x}\) y \(b\) es el punto donde la recta cruza el eje horizontal, o de abscisas.

Fig. 4. Recta en forma ordenada al origen.

Hay otras ecuaciones de la recta, estas son:

• La ecuación vectorial.

• La ecuación punto pendiente.

• La ecuación paramétrica.

¿Qué es un plano?

Seguramente, también escuchas mucho la palabra "plano" en tus clases. Esta hace referencia a una de sus características, que es plano; es decir, que no contiene ninguna deformación —justo como una calle bien asfaltada—.

El plano posee las siguientes características:

• No tiene ningún hueco; es decir, no puede poseer puntos donde no existe.

• Es finito o infinito.

• Si es finito, debe contener una superficie que debe ser mayor que \(0\); es decir, que no puede existir un plano finito de longitud o ancho \(0\).

• No puede contener rugosidades.

• No tiene volumen; es decir que, si se ampliase el plano a nivel microscópico, este sigue siendo una simple hoja con un grosor que es, básicamente, \(0\).

Al igual que las rectas, los planos se pueden cruzar entre sí, cruzarse con objetos y también con rectas. De hecho, se puede calcular la distancia entre planos y planos con rectas.

Posiciones relativas de una recta y un plano

Las rectas y los planos habitan en el espacio. Por lo tanto, si un espacio tiene un plano y una recta, estos tendrán una posición relativa al otro. Hay varias posibilidades en estas intersecciones:

• Nunca se tocan; lo que quiere decir que el plano es paralelo a la recta.

• Se tocan una sola vez; en este caso pueden ser perpendiculares, si el ángulo que forman es de 90 grados.

• Se tocan en puntos infinitos; este es un caso especial y significa que la recta está contenida en el plano.

Cuando se tienen estos casos, hay información importante que se debe extraer, como el ángulo entre ellos o la distancia entre ambos.

Fig. 5. Recta contenida en un plano.

Intersección entre rectas y planos

Cuando un plano y una recta se intersecan en un solo punto, hay dos posibilidades:

1. La recta forma un ángulo de noventa grados con el plano, lo cual significa que es perpendicular al plano.

2. La recta forma un ángulo mayor o menor de \(90^o\) con el plano.

Fig. 6. Rectas intersecando un plano a diferentes ángulos

Para poder saber si una recta y un plano se intersecan, se deben seguir los siguientes pasos:

• Obtener la forma implícita de la recta.

• Formar un sistema de ecuaciones con la ecuación del plano y la recta.

• Resolver el sistema de ecuaciones.

Aquí hay tres posibilidades:

1. El sistema de ecuaciones tiene una solución, por lo cual la recta cruza el plano en un solo punto.

2. Si el sistema no tiene soluciones, la recta es paralela al plano.

3. Si el sistema tiene soluciones infinitas, entonces la recta está contenida en el plano.

Ángulo entre recta y plano

Dado el caso en el que el sistema de ecuaciones formado por la recta en forma implícita y el plano tengan una solución, esto significa que ambos forman un ángulo entre ellos. Este ángulo puede ser de \(90^o\) —conocido como ángulo recto— o generar un ángulo interno de menos de noventa grados, lo que significa que la recta no es perpendicular al plano.

Para poder encontrar el ángulo se deben seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar que la recta y el plano se intersecan en el espacio, usando un sistema de ecuaciones lineales.

2. Si el sistema tiene una solución única, hacer una proyección ortogonal del vector sobre el plano.

3. Calcular el ángulo, usando la fórmula para el ángulo entre dos vectores:

\[\cos^{-1} \dfrac{(a \cdot b)}{ |a| |b|}\]

Donde:\( \cdot \) es el producto escalar, \(|a| |b|\) indican el producto de la norma de los vectores \(a=(x_1,y_1), b=(x_2,y_2)\).

Distancia entre recta y plano

En el caso de que la solución del sistema no sea única y tampoco haya infinitas, esto significa que la recta nunca toca el plano y, por lo tanto, son paralelos. En este caso se puede calcular la distancia entre el plano y la recta.

Para ello, se debe usar la siguiente fórmula:

\[D= \dfrac{|ax+bx+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Aquí, las coordenadas \((x, y, z)\) son las coordenadas de un punto en la recta y los coeficientes \((a, b, c, d)\) son los coeficientes de la ecuación implícita del plano.