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Empecemos recordando qué es un trapezoide.
Definición de trapezoide
Un trapezoide es un cuadrilátero (figura plana de cuatro lados), que tiene exactamente un par de lados paralelos.
La siguiente figura es un trapezoide.
Fig. 1. Ilustración de un trapezoide.
En la figura anterior, los lados paralelos (en este caso, \(\sobrelínea{AD}\) y \(\sobrelínea{BC}\)) se denominan bases del trapezoide. Los lados no paral elos (\(\sobrelínea{AB}\) y \(\sobrelínea{DC}\)) se denominan catetos del trapezoide.
Un trapezoide también suele denominarse trapecio.
Definición del área de un trapecio
El área de un trapezoide se define por el espacio encerrado dentro de sus límites, tal y como está ocupado en un plano bidimensional.
El área de un trapecio se mide en unidades cuadradas como \(\text{m}^2\), \(\text{cm}^2\), \(\text{in}^2\), \(\text{ft}^2\), etc.
Fórmula del área de un trapecio
Considera el siguiente trapecio:
Fig. 2. Trapezoide con bases, \(a\) y \(b\), y altura \(h\).
El área de un trapecio viene dada por la fórmula
\[\text{Área} = \frac{1}{2} h (a + b)\]
donde
\(h \Derecha) altura del trapecio (distancia perpendicular entre las bases),
\(a, b) longitudes de las bases.
¿Cómo hemos obtenido esta fórmula, te preguntarás? Te lo mostraremos.
Recuerda que el área de un triángulo viene dada por la fórmula
\[\text{Área} = \frac{1}{2} \text{base} \cdot \text{altura}\].
Podemos dividir el trapezoide anterior en dos triángulos a lo largo de cualquiera de las diagonales. Tomemos la diagonal \(\sobrelínea{BD}\), y dividamos el trapezoide en los triángulos \(\triángulo{BAD}\) y \(\triángulo{BCD}\).
Fig. 3. Trapezoide dividido en \(\triángulo{BAD}\) y \(\triángulo{BCD}\) por la diagonal \(\sobrelínea{BD}\).
Entonces podemos decir que
\[\begin{align}\text{Área del trapecio ABCD} & = \text{Área del } \triángulo ABCD + \text{Área de} \triángulo ABCD \\& = \frac{1}{2} b \cdot h + \frac{1}{2} a \cdot h \& = \frac{1}{2} h (a + b)\end{align}\]
Piensa en un paralelogramo, en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos. Puedes aplicar la fórmula anterior para obtener también la fórmula del área de un paralelogramo.
\[\begin{align}\text{Área} & = \frac{1}{2} h (a + b) \ \& = \frac{1}{2} h (b + b) \qquad \text{Los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud} \\ \\& = \frac{1}{2} h (2b) \\ \\& = b \cdot h\end{align}\]
Ésta es la fórmula del área de un paralelogramo.
Ejemplos del área de un trapecio
Veamos ahora algunos ejemplos relacionados con el área de los Trapezoides.
Un trapezoide tiene bases de longitudes \(10,\text{cm}\) y \(15,\text{cm}\). La distancia perpendicular entre las bases es \(8,\text{cm}). Halla el área del trapecio.
Solución
Para resolver este problema, basta con sustituir los valores de las longitudes de las bases y la altura en la fórmula del área del trapecio.
\[\begin{align}\text{Área} & = \frac{1}{2} h (a + b) \& = \frac{1}{2} \cdot 8 (10 + 15) \cdot 8 (10 + 15) \cdot& = 4 \cdot 25 \cdot& = 100,\text{cm}^2\end{align}\] El área del trapecio es \( 100,\text{cm}^2 \).
Veamos ahora un ejemplo utilizando el plano de coordenadas.
Halla el área del siguiente trapecio.
Fig. 4. Trapezoide en el plano de coordenadas.
Solución
En este caso, para poder hallar el área del trapezoide anterior, necesitamos hallar la longitud de las bases y la altura del trapezoide.
Estos valores no están dados, pero podemos utilizar el plano de coordenadas para calcularlos.
Necesitamos calcular la distancia entre cada uno de los puntos, ¿cómo podemos hacerlo?
La distancia entre los puntos \(B(6, 2)\) y \(C(9, 2)\) puede calcularse hallando el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas x, utilizando \(|x_2 - x_1|\). Lo mismo ocurre con la distancia entre los puntos \(A(2, 7)\) y \(D(10, 7)\).
La distancia entre los puntos \(B(6, 2)\) y \(E(6, 7)\) puede calcularse hallando el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas y, utilizando \(|y_2 - y_1|).
\[\begin{align}a &= \overline{BC} = |x_2 - x_1| = |9 - 6| = 3 \ \b &= \overline{AD} = |x_2 - x_1| = |10 - 2| = 8 \ \h &= |overline{BE} = |y_2 - y_1| = |7 - 2| = 5 \end{align}\align}Ahora que tenemos todos los valores que necesitamos, podemos sustituirlos en la fórmula del área del trapecio.
\[\begin{align}\text{Área} & = \frac{1}{2} \cdot 5 (3 + 8) \cdot& = \frac{5}{2} \cdot (11) \& = \frac{55}{2} \\& = 27,5\,\text{units}^2\end{align}\] El área del trapecio es \( 27,5,\text{unidades}^2 \).
Un trapecio con un área de \(35\,\text{m}^2) tiene bases de longitudes, \(3\,\text{m}\) y \(4\,\text{m}\). Halla la distancia entre los lados paralelos.
Solución
La distancia entre los lados paralelos es la altura del trapecio. Así pues, sustituyamos los valores que tenemos en la fórmula del área del trapecio, y luego resolvamos para \(h\).
\[\begin{align}\text{Área} & = \frac{1}{2} h (a + b) \35 & = \frac{1}{2} \h (3 + 4) \35 & = \frac{7\cdot h}{2} \\h & = \frac {35 \cdot 2} {7} \& = \frac{70}{7} \\& = 10\,\text{m}\end{align}\]
La altura del trapecio es \(10\,\text{m}).
Área del trapecio sin altura conocida
Si te dan un trapezoide con las longitudes de todas sus bases y catetos, pero no te dan la altura, tienes que calcular primero su altura para poder hallar el área del trapezoide. Veamos un ejemplo para mostrarte qué hacer en este caso.
Halla el área del siguiente trapecio.
Fig. 5. Ejemplo de trapezoide sin altura.
Observa que los catetos del trapezoide son de igual longitud \(6, \text{m}\), por tanto, se trata de un trapezoide isósceles, y podemos calcular su altura de la siguiente forma.
Fig. 6. Altura de un trapecio mediante Pitágoras.
Observa que tenemos un triángulo rectángulo en cada lado. Las bases de cada triángulo se calcularon hallando la diferencia entre \(18\) y \(10\), y dividiendo luego el resultado por \(2\).
\[18 - 10 = \frac{8}{2} = 4\, \text{m}\].
Ahora podemos calcular la altura utilizando el Teorema de Pitágoras, que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los otros dos lados al cuadrado.
\[\begin{align}c^2 & = a^2 + b^2 \6^2 & = 4^2 + h^2 \36 & = 16 + h^2 \h^2 & = 36 - 16 \h & = \sqrt{20}\& = 4.47\, \text{m}\end{align}\]Ahora que conocemos la longitud de la altura, podemos calcular el área del trapecio.
\[\begin{align}\text{Área} & = \frac{1}{2} \cdot 4,47 (10 + 18)& = \frac{1}{2} \cdot 4,47 \cdot 28 \cdot& = 62,6, \text{m}^2\end{align}\] El área del trapecio es \(62,6, \text{m}^2).
Área de un trapecio con diagonales dadas
Otra situación interesante es cuando necesitas calcular el área de un trapezoide cuando sólo se dan las longitudes de sus diagonales y el ángulo entre ellas.
Considera un trapezoide con diagonales de longitudes \(d_1\) y \(d_2\), y un ángulo de \(\alpha\) entre ellas.
Fig. 7. Trapecio con diagonales \(d_1\) y \(d_2\).
En este caso, el área del trapecio viene dada por
\text{Área} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)\].
La longitud de las diagonales de un trapezoide \(d_1) y \(d_2) es \(6,4, \text{m}), y el ángulo \(\alfa) entre ellas mide \(77,3^{circ}\). Halla el área del trapecio.
\[\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6,4 \cdot 6,4 \cdot \sin(77,3^{circ}) = 19,98\, \text{m}^2\].
El área del trapecio es \(19,98, \text{m}^2).
Área de los trapezoides - Puntos clave
- Un trapezoide es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos.
- El área de un trapezoide se define por el espacio encerrado dentro de sus límites, tal como está ocupado en un plano bidimensional.
- El área de un trapecio viene dada por la fórmula \(\text{Área} = \frac{1}{2} h (a + b)\).
- Si te dan un trapezoide con las longitudes de todas sus bases y catetos, pero no te dan la altura, tienes que calcular primero su altura, utilizando el Teorema de Pitágoras, para poder hallar el área del trapezoide.
- Si necesitas calcular el área de un trapezoide cuando sólo se dan las longitudes de sus diagonales y el ángulo entre ellas, puedes utilizar la fórmula \(\text{Área} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)\).
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