Desde la Tierra, el sol y la luna parecen tener exactamente el mismo tamaño. Aunque el sol empequeñece a la luna, ¡esto parece ocurrir porque ambas esferas son figuras semejantes!
Este artículo tratará sobre la definición de semejanza en geometría y sus aplicaciones.
Similitud en la definición de geometría
La semejanza puede definirse como un atributo que presentan dos o más figuras cuando sus formas son iguales.
Un individuo se apunta a un juego nocturno con sus amigos en el que deben vendarse los ojos y hacer una selección de un par similar entre 4 pasteles: un donut, un pan de hamburguesa, un pan de molde y una samosa. Determina la selección adecuada.
Solución:
Una samosa tiene forma triangular; una rebanada de pan tiene forma rectangular; un pan de hamburguesa tiene forma circular, y un donut tiene forma circular.
Por tanto, el par similar apropiado es el pan de hamburguesa y el donut.
Propiedades de la semejanza
Se dice que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Por tanto, las figuras semejantes tienen las siguientes propiedades
Los ángulos correspondientes son iguales.
Los lados correspondientes tienen la misma razón: esto significa que todos los lados de una figura deben multiplicarse por el mismo número para dar los lados correspondientes en la otra figura.
Para comprender en profundidad la aplicación de la semejanza en geometría, presenta los teoremas de semejanza de los triángulos.
Fórmulas de semejanza
Muchas personas (quizá tú) se emocionan cuando existe una fórmula para resolver problemas de un tema. Estas fórmulas se convierten en la identidad de estos temas y sirven para mejorar la retención en la memoria. Sin embargo, el concepto de similitud carece de este enfoque. En términos más claros, apenas hay fórmulas que se atribuyan a la resolución de los problemas de similitud.
No obstante, los problemas de similitud dependen principalmente de la comprensión y aplicación de las propiedades de la similitud que se han tratado en el apartado anterior. Y lo que es más importante, la comprensión y la aplicación de los teoremas que se exponen a continuación son mucho más que tener fórmulas que memorizar.
La similitud en los teoremas de geometría
Hay múltiples formas de determinar si dos triángulos son semejantes o no, utilizando uno de los cuatro teoremas del triángulo.
Semejanza ángulo-ángulo
Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, estos dos triángulos son semejantes.
Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque
y
Semejanza ángulo-ángulo, Originales de StudySmarter
Semejanza lado-ángulo-lado
Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo y los lados que lo forman son proporcionales, entonces estos dos triángulos son semejantes.
Lo que se entiende por proporcionalidad de los lados es que los dos lados del triángulo ABC deben multiplicarse por el mismo número para dar los lados del triángulo DEF.
Semejanza lado-ángulo-lado, Originales de StudySmarter
Los lados dados en la figura anterior tienen una razón común, es decir
y los ángulos respectivos formados por estos lados correspondientes son iguales,
Similitud lado-lado-lado
Dos triángulos pueden considerarse semejantes si sus lados AC, AB y BC, que corresponden a los lados de otro triángulo DF, DE y FE, son efectivamente proporcionales.
Teorema de semejanza lado-lado-lado (www.draw.io)
En el diagrama, todas las rectas que forman el triángulo DEF son la longitud de su respectivo lado en el triángulo ABC multiplicada por un factor constante r.
Dos triángulos son semejantes si la longitud de la hipotenusa y de otro lado de un triángulo son proporcionales a la longitud de la hipotenusa y del otro lado de otro triángulo. Es decir
Teorema de la semejanza ángulo recto-hipotenusa-lateral (www.draw.io)
Cuando utilizamos un lado en un teorema de semejanza (por ejemplo, en el teorema SAS), no queremos decir que los lados sean iguales, sino que la razón entre los lados del triángulo es constante.
Símbolo de semejanza
El símbolo que utilizamos para demostrar que dos cosas son semejantes es ∼ . Supongamos que los triángulos ABC y DEF son semejantes, entonces podríamos escribir
Δ ABC ∼ Δ DEF.
El triángulo ABC tiene los lados AB = 6 cm, AC = 4 cm y BC = 10 cm. El triángulo DEF tiene los lados DE = 3 cm, DF = 2 cm y EF = 5 cm. Demuestra que estos triángulos son semejantes.
Solución:
Como sólo nos dan los lados, queremos utilizar el teorema de semejanza SSS.
Para poder aplicar este teorema, necesitamos encontrar una razón común entre los lados del triángulo ABC y el triángulo DEF.
La razón entre los lados AB y DE es
La razón entre los lados AC y DF es
La relación entre los lados BC y EF es
Como la relación entre los lados del triángulo ABC y sus respectivos lados del triángulo DEF es constante, podemos decir que
Semejanza en polígonos
Los polígonos son formas planas que tienen tres o más lados. Esto significa que un triángulo también es un polígono. El concepto de semejanza también se da en otros polígonos distintos de los triángulos.
De hecho, la semejanza de triángulos es un caso particular de la semejanza de polígonos.
Sin embargo, para que se dé la semejanza entre polígonos, deben cumplirse dos condiciones
1. Los ángulos correspondientes del par en comparación deben ser equivalentes.
2. 2. Los lados correspondientes del par en comparación deben tener proporciones equivalentes.
Demuestra que estos dos rectángulos son semejantes.
Una ilustración sobre polígonos con semejanza, StudySmarter Original
Solución:
Ambos rectángulos tienen todos sus ángulos internos como ángulos rectos. Esto significa que se cumple el primer criterio, según el cual todos los ángulos correspondientes deben ser iguales.
A continuación, tenemos que confirmar que la razón de sus lados correspondientes es igual.
La relación entre ambas anchuras es
y la relación de ambas longitudes es
Ejemplos de semejanza en geometría
Para comprender mejor el concepto de semejanza, aquí tienes algunos ejemplos.
Determina la semejanza entre los siguientes pares,
(a)
Utilizando la regla del ángulo, StudySmarter Originals
(b)
Utilizando la regla lado-ángulo-lado, StudySmarter Originals
(c)
Utilizando la regla lado-lado-lado, StudySmarter Originals
(d)
Utilizando la regla del ángulo recto-hipopleno-lateral, StudySmarter Originals
Solución:
(a) Utilizando la regla ángulo-ángulo, podemos decir que ambos triángulos de la figura (a) son semejantes porque sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, por tanto el tercer ángulo del primer triángulo es
Esto confirma que ambos triángulos son semejantes, ya que todos los ángulos correspondientes son iguales.
(b) El par de la figura (b) no es semejante, aunque la razón entre los lados correspondientes es igual a 2:1, los ángulos correspondientes entre ellos son diferentes y, por tanto, utilizando la regla lado-ángulo-lado podemos confirmar que el par de triángulos no es semejante.
(c) El par de la figura (c) no es semejante porque la razón de los dos lados es 2:1, mientras que la razón del tercer lado es 5:3. Considerando la regla lado-lado-lado, la razón de todos los lados correspondientes debe ser equivalente, por lo que este par de triángulos no son semejantes.
(d) El par de la figura (d) es semejante porque ambos son triángulos rectángulos y la razón de las dos hipotenusas correspondientes y de los lados opuestos es 1:4. Esto cumple la regla del ángulo recto. Esto cumple la regla de semejanza ángulo recto-hipotenusa-lado.
Similitud - Puntos clave
Las figuras son semejantes si tienen la misma forma.
Hay cuatro teoremas de semejanza para los triángulos: Ángulo-ángulo, lado-ángulo-lado, lado-lado-lado y ángulo recto-hipotenusa-lado.
Si dos triángulos son semejantes, sus lados respectivos tienen longitudes proporcionales.
Para dos triángulos semejantes ABC y DEF, escribimosΔ ABC ∼ Δ DEF.
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Preguntas frecuentes sobre Similitud
¿Qué es la similitud en matemáticas?
La similitud en matemáticas se refiere a la relación entre figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, manteniendo la proporción entre sus lados.
¿Cómo se determina la similitud de dos figuras?
Para determinar la similitud, se comparan los ángulos correspondientes y las proporciones de los lados correspondientes de dos figuras.
¿Qué propiedades tienen las figuras semejantes?
Las figuras semejantes tienen ángulos iguales y los lados correspondientes proporcionales.
¿Cuál es la relación entre congruencia y similitud?
La congruencia implica que las figuras tienen el mismo tamaño y forma, mientras que la similitud solo requiere la misma forma y proporciones entre lados.
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Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Ejemplos de semejanza en geometría
Para comprender mejor el concepto de semejanza, aquí tienes algunos ejemplos.