Similitud

Similitud en la definición de geometría

Propiedades de la semejanza

Se dice que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Por tanto, las figuras semejantes tienen las siguientes propiedades

• Los ángulos correspondientes son iguales.
• Los lados correspondientes tienen la misma razón: esto significa que todos los lados de una figura deben multiplicarse por el mismo número para dar los lados correspondientes en la otra figura.

Para comprender en profundidad la aplicación de la semejanza en geometría, presenta los teoremas de semejanza de los triángulos.

Fórmulas de semejanza

Muchas personas (quizá tú) se emocionan cuando existe una fórmula para resolver problemas de un tema. Estas fórmulas se convierten en la identidad de estos temas y sirven para mejorar la retención en la memoria. Sin embargo, el concepto de similitud carece de este enfoque. En términos más claros, apenas hay fórmulas que se atribuyan a la resolución de los problemas de similitud.

No obstante, los problemas de similitud dependen principalmente de la comprensión y aplicación de las propiedades de la similitud que se han tratado en el apartado anterior. Y lo que es más importante, la comprensión y la aplicación de los teoremas que se exponen a continuación son mucho más que tener fórmulas que memorizar.

La similitud en los teoremas de geometría

Hay múltiples formas de determinar si dos triángulos son semejantes o no, utilizando uno de los cuatro teoremas del triángulo.

Semejanza ángulo-ángulo

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, estos dos triángulos son semejantes.

Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque

$\angle BCA=\angle DFE$

y

$\angle CAB=\angle FDE.$

Semejanza ángulo-ángulo, Originales de StudySmarter

Semejanza lado-ángulo-lado

Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo y los lados que lo forman son proporcionales, entonces estos dos triángulos son semejantes.

Lo que se entiende por proporcionalidad de los lados es que los dos lados del triángulo ABC deben multiplicarse por el mismo número para dar los lados del triángulo DEF.

Semejanza lado-ángulo-lado, Originales de StudySmarter

Los lados dados en la figura anterior tienen una razón común, es decir

y los ángulos respectivos formados por estos lados correspondientes son iguales,

$\angle ABC=\angle DEF.$

Similitud lado-lado-lado

Dos triángulos pueden considerarse semejantes si sus lados AC, AB y BC, que corresponden a los lados de otro triángulo DF, DE y FE, son efectivamente proporcionales.

Teorema de semejanza lado-lado-lado (www.draw.io)

En el diagrama, todas las rectas que forman el triángulo DEF son la longitud de su respectivo lado en el triángulo ABC multiplicada por un factor constante r.

Ángulo recto - Hipotenusa - Semejanza de lados

Este teorema sólo es válido para los triángulos rectángulos.

Dos triángulos son semejantes si la longitud de la hipotenusa y de otro lado de un triángulo son proporcionales a la longitud de la hipotenusa y del otro lado de otro triángulo. Es decir

$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$

Teorema de la semejanza ángulo recto-hipotenusa-lateral (www.draw.io)

Símbolo de semejanza

El símbolo que utilizamos para demostrar que dos cosas son semejantes es ∼ . Supongamos que los triángulos ABC y DEF son semejantes, entonces podríamos escribir

Δ ABC ∼ Δ DEF.

Semejanza en polígonos

Los polígonos son formas planas que tienen tres o más lados. Esto significa que un triángulo también es un polígono. El concepto de semejanza también se da en otros polígonos distintos de los triángulos.

De hecho, la semejanza de triángulos es un caso particular de la semejanza de polígonos.

Sin embargo, para que se dé la semejanza entre polígonos, deben cumplirse dos condiciones

1. Los ángulos correspondientes del par en comparación deben ser equivalentes.

2. 2. Los lados correspondientes del par en comparación deben tener proporciones equivalentes.