Seguramente, cuando escuchas la palabra espacio, te hace pensar en estrellas y planetas. También, la palabra geometría te trae a la cabeza imágenes de triángulos, esferas, ángulos, rectas y cubos. Sin embargo, es muy posible que lo que no hayas considerado es que estas ideas están relacionadas entre sí. La del espacio es algo más compleja; por eso, primero introduciremos una idea sencilla, antes de decirte más formalmente qué es la geometría en el espacio.
- En primer lugar veremos qué es la geometría analítica en el espacio con algunos ejemplos.
- Después repasaremos los elementos de la geometría del espacio, donde incidiremos en la geometría euclidiana.
- A continuación, explicaremos la diferencia entre geometría plana y del espacio.
- También hablaremos de algunos objetos y operaciones en la geometría del espacio como ángulos, rectas, vectores, círculos, proyecciones y distancias.
- Por último, te mencionamos los tres problemas de geometría en el espacio más comunes.
¿Qué es la geometría analítica en el espacio, con ejemplos?
El espacio es toda aquella área o volumen donde se puede localizar un objeto.
Debido a que la geometría estudia los objetos en el espacio; entonces, la geometría en el espacio es el estudio de los objetos en un sitio donde los puedes localizar.
Ejemplo de ello es un cuarto donde hay una esfera en el centro: el cuarto es un espacio de tres dimensiones, la esfera es el objeto y la forma de localizarlo es que midas su posición en el cuarto.
Para esto último, necesitarás usar una referencia. Por ejemplo: si la esfera está en el medio del cuarto, podrías usar una esquina como el punto de origen; entonces, si el cuarto es un cubo, la esfera estaría sobre el suelo, en el medio con las coordenadas (x,y,z), como se puede ver en la imagen:
Fig. 1. Objeto en un espacio de 3 dimensiones, definido por coordenadas \(x, y, z\).
En el ejemplo anterior usaste un espacio (que es el cuarto), para localizar un objeto (que es una esfera), midiendo desde un punto de referencia (también conocido como punto de origen) y, a la posición de la esfera, le diste un número de referencia que se conoce como coordenadas.
En una definición más formal:
La geometría es el sistema de reglas y elementos que nos permite identificar, localizar y hacer operaciones con objetos que ocupan un lugar en el espacio.
Los elementos de la geometría del espacio
Sin saberlo, en el ejemplo anterior usaste elementos que son básicos para la geometría del espacio. Estos son:
Punto: un elemento infinitamente pequeño, que no posee volumen ni área. En el caso anterior usaste el origen: un punto de referencia para ubicar un objeto.
Línea: que, en el caso de la línea recta, puede ser infinita. Además no posee ninguna irregularidad; es decir, es derecha y no tiene curvas. En el ejemplo usaste líneas para ubicar la posición de la esfera.
Plano: la esfera está sobre el suelo, esa área sobre la cual se encuentra te provee de una referencia. Esa referencia es que el punto de origen y el punto donde se encuentra la esfera están en el mismo plano. El plano, por su parte, es una superficie plana y que puede ser infinita, además de no tener volumen.
Espacio: el espacio es un volumen donde se puede encontrar un objeto. En este caso, el cuarto es ese volumen y contiene: el objeto, los puntos de referencia, el plano y las líneas.
Es bastante común decir que el espacio contiene planos, el plano contiene líneas y las líneas contienen puntos.
Por supuesto, para que esto sea coherente, el espacio debe seguir ciertas reglas, como que las rectas paralelas nunca se toquen o que las rectas perpendiculares se toquen en un solo punto.
La geometría euclidiana
Mucho de lo que has estudiado en el colegio sobre planos, líneas y espacio se conoce como geometría euclidiana. Esta geometría tiene un sistema de reglas que se usa como base para definir los objetos que existen en la geometría y cómo puedes localizarlos, representarlos o hacer operaciones con ellos.
La geometría euclidiana necesita de los mismos elementos básicos que son puntos, líneas, rectas y espacio; además de un amplio número de ciertas reglas y teoremas específicos. Algunas de ellas son que dos rectas paralelas nunca llegan tocarse o que la suma de los cuadrados de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa, entre muchas otras más.
Estas reglas y teoremas permiten que existan objetos en la geometría, como:
Y nos permite saber cosas como:
Volúmenes
Áreas
Cálculo de distancias entre rectas, distancias entre puntos y rectas, distancias entre planos, distancias entre planos y puntos, etc.
Representación de vectores
Proyecciones ortogonales
etc.
La geometría euclidiana debe su nombre al filósofo griego Euclides, a pesar de que la geometría ya era un área conocida por diversas culturas como los egipcios, los babilonios y algunas de la India.
Euclides publicó un tratado llamado Elementos, donde describe varios postulados, que se asumen como ciertos porque son evidentes. Uno de estos famosos postulados es el de las líneas paralelas, que dice:
Si una línea intercepta dos líneas contiguas y la intercepción de las dos líneas produce un ángulo interno de 90 grados, estas líneas se encuentran en el infinito.
Fig. 2. Representación de dos rectas paralelas; la recta que las corta perpendicularmente (en azul turquesa) genera ángulos de \(90^o\) con ambas.
Como puedes ver, el postulado no habla de líneas paralelas. Sin embargo, se puede decir que, por contradicción, si la intersección de las dos líneas produce un ángulo interno de \(90^o\), las líneas nunca se encuentran. Esto significa que son paralelas.
Cabe decir que muchos de estos postulados e ideas eran ya conocidos antes de que él los escribiera formalmente, pero él fue el autor que los organiza en un texto sobre geometría hace cientos de años.
Una distinción importante es que la geometría del plano y del espacio, a pesar de ser el mismo sistema, se diferencian en que el espacio posee una dimensión extra: el espacio posee tres dimensiones y el plano, solo dos.
Diferencia entre geometría plana y del espacio
La geometría plana se refiere muchas veces a la geometría en dos dimensiones, ya sea en los planos siguientes:
\[(x,y)\]
\[(y,z)\]
\[(x,z)\]
La geometría del espacio, por otra parte, añade una dimensión extra; lo que convierte en una geometría en tres dimensiones, o:
\[(x,y,z)\]
La única diferencia ,en este caso, es que los elementos deben ser descritos usando un sistema de tres coordenadas. También debe decirse que un sistema de dos dimensiones se da cuando la tercera coordenada es \(0\). Por ejemplo:
\[(x,y)=(x,y,z(0))\]
Algunos objetos y operaciones en la geometría del espacio
Algunos elementos que veremos en la geometría del espacio serán:
Ángulos
Rectas
Círculos
Vectores
Mientras que algunas operaciones que veremos serán:
Ángulos
Los ángulos son definidos como las aperturas que existen entre dos líneas que se tocan en un punto. Se miden en grados o radianes y dependiendo, de las unidades ,estos pueden ser:
- \(360^0>\phi > 0^o\).
- \(2\pi > \phi > 0\).
Los ángulos están relacionados con la trigonometría y las funciones trigonométricas como el seno, coseno y tangente, además de sus inversas. Si las líneas que forman los ángulos son finitas —es decir, tienen una longitud que puede medirse—, entonces, se pueden usar estas relaciones para calcular los ángulos entre estas líneas.
Rectas
Las rectas son uno de los elementos más versátiles que existen en la geometría: pueden ser usados para formar un plano u objetos tridimensionales.
Fig. 3. Imagen de una recta: la recta \(y=x\).
Las rectas están definidas como una sucesión de puntos, que no tiene área o volumen; pero, además que no tiene ningún hueco. Esto último es obvio, seguramente, ya que si la recta tuviese un hueco, serían dos líneas.
La ecuación más básica de una recta es la forma llamada punto pendiente, que se expresa como:
\[y=mx+b\]
Donde \(m\) es la pendiente y \(b\) la ordenada al origen. Pero, también, existen otras como la forma paramétrica de una recta.
Vectores
Los vectores son cantidades que poseen una magnitud —que es un valor— y poseen una dirección. En un espacio de dos o tres dimensiones, su magnitud es mostrada como la longitud del vector; \(t\) la dirección del vector depende de un punto de origen. Debido a esto, un vector está relacionado con el espacio geométrico.
Fig. 4. Tres vectores en el espacio de dos dimensiones.
Círculos
Los círculos son un elemento bastante especial de la geometría. Son objetos cuyo borde, conocido como perímetro, está siempre a la misma distancia de su centro geométrico. Los círculos sirven como base, por ejemplo, para otras figuras geométricas como el cilindro o el cono, además de estar relacionados con las funciones trigonométricas.
La ecuación más básica de un círculo es:
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Donde \((a,b)\) es el centro del circulo y \(r\) es el radio.
Proyecciones y distancias
En el espacio es muy importante conocer distancias. ¿Recuerdas lo que mencionamos acerca del espacio que te evoca estrellas y planetas, y acerca de la geometría que se relaciona con figuras en tres dimensiones? Pues, muchas de los primeros cálculos sobre mediciones de objetos celestes se hicieron a partir de geometría básica. Entre ellos se destacan:
El tamaño de la tierra, por Eratóstenes.
La distancia entre la tierra y la luna, por Hiparco.
Las distancias entre objetos pueden ser algo complejas de calcular. Pero, en StudySmarter encontrarás cómo calcularlas en el espacio.
Otro elemento importante de la geometría son las proyecciones, que son básicamente una forma de dibujar una figura, recta o plano sobre otro objeto. Por ejemplo: si proyectamos una esfera sobre un plano, se obtendría un circulo sobre un plano. Para esto se requiere traducir cada punto de la superficie de la esfera que es proyectada, a un punto en el plano.
Si quieres aprender a resolver problemas acerca de distancias y proyecciones —además de aprender sobre rectas, vectores y círculos—, no olvides que tenemos más artículos sobre ello.
Problemas de geometría en el espacio
Hay tres problemas básicos que abordaremos en geometría del espacio, cada uno tiene su propio artículo aquí en StudySmarter. Los problemas son:
Ángulos
Proyecciones ortogonales en el espacio
Puntos simétricos en el espacio y distancias en el espacio
Para hacer esto, usaremos teoremas de distancias y también relaciones geométricas que ya conoces.
Si quieres aprender más acerca de esto, no olvides pasar a los artículos correspondientes.
Geometría en el espacio - Puntos clave
- La geometría en el espacio es el sistema de reglas y elementos que nos permite identificar, localizar y hacer operaciones con objetos que ocupan un lugar en el espacio.
- La geometría en el espacio tiene ciertos elementos básicos como: el punto, la recta, el plano y el espacio.
- Algunos objetos que pueden existir en la geometría del espacio son los vectores, círculos, rectas y ángulos.
- Los ángulos son la apertura creada por dos rectas que se tocan en un solo punto. La recta es una línea finita o infinita de puntos que es derecha y existe sin volumen o área, tampoco tiene huecos.
- El círculo es una figura geométrica en el que su perímetro está a la misma distancia que su centro geométrico.
- Los vectores son elementos que poseen una dirección y magnitud.
- La ecuación básica de una recta es: \(y=mx+b\)
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