Área de cometas: 'Historia', 'Diseño'

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De hecho, ¡sí la hay! En este artículo, hablaremos de una fórmula que calcula el área de las cometas y observaremos varios ejemplos trabajados que emplean esta técnica.

Recapitulación. Definición de una cometa

Antes de empezar, refresquemos la memoria sobre las cometas. Una cometa es un tipo de cuadrilátero que tiene dos pares de lados adyacentes iguales. Como todos los demás cuadriláteros, tiene 4 lados, 4 ángulos y 2 diagonales.

La estructura de una cometa cumple las características de un cuadrilátero cíclico. Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero en el que sus cuatro vértices se encuentran en una circunferencia. A veces se denomina cuadrilátero inscrito. El círculo que tiene los cuatro vértices en su circunferencia se llama circunferencia o círculo circunscrito. Aquí tienes un diagrama de una cometa dentro de un círculo.

Una cometa inscrita dentro de un círculo. Un ejemplo de cuadrilátero cíclico.

Ejemplo de cuadrilátero cíclico

Propiedades de una cometa

Recordemos ahora las propiedades fundamentales de una cometa . Aquí tenemos una cometa denominada ABCD. M es el punto de intersección de las diagonales.

Una cometa se denota por ABCD y M es el punto en el que se cruzan las diagonales.

Diagrama de una cometa

La siguiente tabla es una lista de sus características.

Propiedades de una cometa	Descripción
Tiene dos pares de lados adyacentes iguales	AB = BC y AD = DC
Tiene un par de ángulos opuestos iguales que son obtusos	∠BAD = ∠BCD > ^90o
No tiene rectas paralelas
Tiene dos diagonales no iguales	AC ≠ BD
Las diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí	AC ⊥ BD y AM = MC y BM = MD

Ahora estamos preparados para aprender más sobre el área de una Cometa.

Fórmula del área de una cometa

El área de una cometa es el espacio delimitado por sus lados. Volviendo a nuestro diagrama anterior de una cometa, la fórmula del área viene dada por

\A=frac{1}{2} veces d_1 veces d_2]

donde $d_1$ y $d_2$ son las longitudes de la diagonal vertical y la diagonal horizontal, respectivamente.

$Diagrama de una cometa con dos diagonales, una horizontal llamada $d_1$ y una vertical llamada $d_2$$

Área de una cometa

Obtención del área de una cometa

Ahora tenemos una receta explícita para hallar el área de una cometa. Pero, ¿cómo se ha obtenido? En este segmento trataremos una derivación paso a paso de cómo esta fórmula satisface realmente el área de una cometa dada. De nuevo, volvamos nuestra atención a nuestra cometa anterior, mostrada a continuación.

Una cometa se denota por ABCD y M es el punto en el que se cruzan las diagonales.

Área de una cometa

Para nuestra cometa ABCD anterior, llamemos a la longitud de la diagonal más corta $AC=x$ y a la longitud de la diagonal más larga $BD=y$. Por las propiedades de una cometa, estas dos diagonales son perpendiculares (en ángulo recto) y se bisecan entre sí.

Teniendo esto en cuenta, tenemos

\[AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}\]

El área de la cometa ABCD está formada por la suma de dos áreas: el triángulo ABD y el triángulo BCD. Escribiendo esto como una expresión, tenemos

Área de la cometa ABCD = Área de ΔABD + Área de ΔBCD

Llamemos a esto Ecuación 1.

El área de un triángulo es el producto de su base y su altura multiplicado por la mitad, es decir

\[\text{Área de un triángulo}=\frac{1}{2} veces b veces h\]

donde $b$ es la base y $h$ es la altura. Utilizando esta fórmula, determinemos las áreas del triángulo ABD y del triángulo BCD.

\text[\text{Área del triángulo ABD}=\frac{1}{2} veces AM{\} veces BD{\}]

\Área del triángulo BCD = 1 veces MC veces BD].

Sustituyendo ahora AM, BD y MC por $x$ y $y$, tenemos

\text[\text{Área del triángulo ABD}=\frac{1}{2}{tiempos}{frac{x}{2}{tiempos y=\frac{xy}{4}]

\text{Área del triángulo BCD}={frac{1}{2}{tiempos}{frac{x}{2}{tiempos y={frac{xy}{4}]

Ahora, utilizando la ecuación 1, obtenemos

\text[\text{Área de la cometa ABCD}=\frac{xy}{4}+\frac{xy}{4}=\frac{xy}{2}]

Finalmente, sustituyendo los valores de $x$ y $y$, tenemos la fórmula necesaria para el área de una cometa.

\Área de una cometa = veces AC veces BD].

El área de una cometa y un rombo

Resulta que la fórmula del área de una cometa sigue la misma idea que la del área de un rombo. Recordemos la estructura de un rombo. Aquí tenemos un rombo denotado por ABCD. M es el punto de intersección de las diagonales.

Rombo ABCD con punto medio D

Diagrama de un rombo

Ya puedes ver las semejanzas con una cometa, con sólo mirar este diagrama. La tabla siguiente es una lista de sus características.

Propiedades de un rombo	Descripción
Tiene cuatro lados iguales	AB = BC = CD = DA
Tiene ángulos opuestos de medidas iguales	∠ABC = ∠CDA y ∠BCD = ∠DAB
Tiene dos pares de lados paralelos	AB // DC y AD // BC
Tiene dos diagonales no iguales	AC ≠ BD
Las diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí	AC ⊥ BD y AM = MC y BM = MD

Fórmula del área de un rombo

\[A=\frac{1}{2} veces d_1 veces d_2]

donde _d1 y _d2 son las longitudes de la diagonal vertical y la diagonal horizontal, respectivamente.

$Diagrama de un rombo con dos diagonales, una horizontal llamada $d_1$ y una vertical llamada $d_2$$

Área de un rombo

Ejemplos de área de cometas

En este apartado veremos varios ejemplos trabajados que hacen uso de esta fórmula que deduce el área de una cometa. He aquí el primer ejemplo.

Cathy tiene 3 fichas idénticas en forma de cometa con diagonales de 5 pulgadas y 17 pulgadas de longitud. Determina la suma del área de estas 3 tarjetas.

Solución

Las diagonales de cada caja vienen dadas por $d_1=5$ y $d_2=17$. Utilizando la fórmula del área de una cometa, el área de una tarjeta es

\[A=\frac{1}{2}{5}{17}=\frac{82}{2}=42,5].

Por tanto, el área de cada cometa es de 42,5 ^pulg2. Como tenemos 3 cometas idénticas, basta con multiplicar esta área por 3 para hallar su área total.

\42,5 por 3 = 127,5 pulg2].

Por tanto, el área total de las 3 tarjetas es de 127,5 ^pulg2.

Veamos otro ejemplo.

María tiene un recorte de cartón con forma de cometa. La diagonal más corta mide 3 pies, mientras que la diagonal más larga mide 14 pies. ¿Cuál es el área de este recorte?

Entonces decide dividir este recorte en 7 trozos separados de áreas iguales. ¿Cuál sería el área de cada trozo?

Solución

Las diagonales de este recorte vienen dadas por $d_1=3$ y $d_2=14$. Utilizando la fórmula del área de una cometa, el área de este recorte es

\[A=\frac{1}{2}{3}{14}=\frac{42}{2}=21\].

Por tanto, el área de este recorte es de 21 ^pies2. Como María quiere dividir este recorte en 7 segmentos idénticos, podemos dividir simplemente esta área por 7 para identificar el área de cada trozo.

\[\frac{21}{7}=3\]

Por tanto, el área de cada pieza sería de 3 ^pies2.

He aquí un último ejemplo antes de terminar este tema.

David tiene una cometa con un área de 304 pulgadas cuadradas. La diagonal más corta mide 16 pulgadas. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más larga?

Solución

En esta pregunta se nos dan las medidas del área y de una de las diagonales de esta cometa, a saber, $A=304$ y $d_1=16$. Para hallar la longitud de la diagonal más larga, $d_2$, tenemos que reordenar la fórmula dada para que \ (d_2\) sea el sujeto. Dado que la fórmula del área de una cometa es

\A=frac{1}{2} veces d_1 veces d_2].

Si reordenamos esta fórmula para que \ (d_2\) sea el sujeto, obtenemos

\[d_2=\frac{2A}{d_1}\]

Sustituyendo ahora nuestros valores conocidos para $A$ y $d_1$, tenemos

\[d_2=\frac{2\times 304}{16}=38\]

Por tanto, la longitud de la diagonal más larga es de 38 pulgadas.

Área de las cometas - Puntos clave

Unacometa es un tipo de cuadrilátero sin líneas paralelas.
Una cometa tiene dos pares de lados adyacentes iguales y un par de ángulos opuestos iguales que son obtusos.
Una cometa tiene dos diagonales no iguales.
Las diagonales de una cometa son perpendiculares y se bisecan entre sí.
El área de una cometa viene dada por \[A=\frac{1}{2}veces d_1 \veces d_2\] donde $d_1$ y $d_2$ son las longitudes de la diagonal vertical y la diagonal horizontal, respectivamente.