Energía Potencial Gravitacional

Calcula el trabajo realizado para elevar un objeto de masa$5500\mathrm{g}$a una altura de$200\mathrm{cm}$en el campo gravitatorio terrestre.

Sabemos que

${\mathit{E}}_{\mathbf{pe}}=mgh=5.50\mathrm{kg}x9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}x2\mathrm{m}=\mathbf{107}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{}\mathbf{J}$

La energía potencial gravitatoria del objeto es ahora$107.8\mathrm{J}$mayor, que es también la cantidad de trabajo realizado para elevar el objeto.

Si una persona que pesa$75\mathrm{kg}$sube un tramo de escaleras para alcanzar una altura de$100\mathrm{m}$calcula entonces

(i) Su aumento de$E_{GPE}$.

(ii) El trabajo realizado por la persona para subir el tramo de escaleras.

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En primer lugar, tenemos que calcular el aumento de energía potencial gravitatoria cuando la persona sube las escaleras. Esto se puede averiguar utilizando la fórmula que hemos comentado anteriormente.

$\begin{array}{lcl}{E}_{GPE}& =& mgh\\ & =& 75\mathrm{kg}\times 100\mathrm{m}\times 9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}\\ & \mathbf{=}& \mathbf{73500}\mathbf{}\mathbf{J}\mathbf{}\mathbf{or}\mathbf{}\mathbf{735}\mathbf{}\mathbf{kJ}\end{array}$

Trabajo realizado para subir las escaleras:

Ya sabemos que el trabajo realizado es igual a la energía potencial ganada cuando la persona sube las escaleras.

$\mathrm{work}=\mathrm{force}\mathrm{x}\mathrm{distance}=E_{GPE}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{735}\mathbf{}\mathbf{kJ}$

La persona realiza$735\mathrm{kJ}$trabajo para subir la escalera.

¿Cuántas escaleras tendría que subir una persona$54\mathrm{kg}$para quemar$2000\mathrm{calories}$? La altura de cada escalón es$15\mathrm{cm}$.

Primero tenemos que convertir las unidades en las que se utilizan en la ecuación.

Conversión de unidades:

$\begin{array}{rcl}1000\mathrm{calories}& =& 4184\mathrm{J}\\ 2000\mathrm{calories}& =& 8368\mathrm{J}\\ 15\mathrm{cm}& =& 0.15\mathrm{m}\end{array}$

En primer lugar, calculamos el trabajo realizado cuando una persona sube un escalón.

$$\begin{gathered} mgh=54\mathrm{kg}\times 9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}\times 0.15\mathrm{m} \\ =\mathbf{79}\mathbf{.}\mathbf{38}\mathbf{}\mathbf{J} \end{gathered}$$

Ahora, podemos calcular el número de escalones que hay que subir para quemar$2000\mathrm{calories}$o$8368\mathrm{J}$:

$$\begin{gathered} Noofsteps=\frac{8368\mathrm{J}\times 1000}{79.38\mathrm{J}} \\ =105,416steps \end{gathered}$$

Una persona que pese$54\mathrm{kg}$tendría que subir$105,416\mathrm{steps}$para quemar$2000\mathrm{calories}$¡uf!

Si una$500\mathrm{g}$manzana se deja caer desde una altura de$100\mathrm{m}$sobre el suelo, ¿con qué velocidad chocará contra el suelo? Ignora los efectos de la resistencia del aire.

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La energía potencial gravitatoria del objeto se convierte en energía cinética a medida que cae y aumenta su velocidad. Por tanto, la energía potencial en la parte superior es igual a la energía cinética en la parte inferior en el momento del impacto.

La energía total de la manzana en todo momento viene dada por:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{total}}={\mathrm{E}}_{\mathrm{GPE}}+{\mathrm{E}}_{\mathrm{KE}}$

Cuando la manzana está a una altura de$100\mathrm{m}$la velocidad es cero, por lo que la energía$E_{KE}=0$. Entonces la energía total es :

Cuando la manzana está a punto de chocar contra el suelo, la energía potencial es cero, por lo que la energía total es ahora :

$E_{\mathrm{total}}=E_{\mathrm{KE}}$

La velocidad durante el impacto se puede hallar igualando la$E_{GPE}$a$E_{KE}$. En el momento del impacto, la energía cinética del objeto será igual a la energía potencial de la manzana cuando se dejó caer.

$\begin{array}{rcl}mgh& =& \frac{1}{2}m{v}^2\\ gh& =& \frac{1}{2}{v}^2\\ v& =& \sqrt{2gh}\\ v& =& \sqrt{2\times 9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}\times 100\mathrm{m}}\\ v& =& 44.27\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

La manzana tiene una velocidad de$44.27\mathrm{m}/\mathrm{s}$cuando golpea el suelo.

Una pequeña rana de masa$30\mathrm{g}$salta sobre una roca de altura$15\mathrm{cm}$. Calcula la variación de$E_{\mathrm{PE}}$de la rana, y la velocidad vertical a la que salta la rana para completar el salto.

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El cambio de energía de la rana al dar el salto se puede hallar de la siguiente manera:

$\begin{array}{rcl}∆\mathrm{E}& =& 0.15\mathrm{m}\mathrm{x}0.03\mathrm{kg}\mathrm{x}9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}\\ & =& 0.0066\mathrm{J}\end{array}$

Para calcular la velocidad vertical en el momento del despegue, sabemos que la energía total de la rana en todo momento viene dada por:

$E_{\mathrm{total}}=E_{\mathrm{GPE}}+E_{\mathrm{KE}}\mathbf{}\mathbf{}$

Cuando la rana está a punto de saltar, su energía potencial es cero, por lo que la energía total es ahora

$E_{\mathrm{total}}=E_{\mathrm{KE}}$

Cuando la rana está a una altura de$0.15\mathrm{m}$entonces la energía total está en la energía potencial gravitatoria de la rana:

$E_{total}=E_{GPE}$

La velocidad vertical al inicio del salto puede hallarse igualando la$E_{GPE}$a$E_{KE}$.

$$\begin{gathered} mgh=1/2m{v}^2 \\ gh=1/2v^2 \\ v=\sqrt{\left(2gh\right)} \\ v=\sqrt{(2X9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}X0.15\mathrm{m})} \\ v=1.71\mathrm{m}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

La rana salta con una velocidad vertical inicial de$1.71\mathrm{m}/\mathrm{s}$.