Líneas Paralelas

A nuestro alrededor vemos muchas formas diferentes de línea, como el borde de la mesa, las esquinas de suelos y techos, los lados de puertas y ventanas, etc. Pero hay algunas formas de líneas rectas que van una al lado de la otra en la misma dirección sin intersección. Como los dos lados opuestos de la puerta en la misma cara. Este tipo de línea es un ejemplo de líneas paralelas.

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    En esta explicación, entenderemos el concepto de rectas paralelas y sus distintas propiedades.

    Definición de líneas paralelas

    Las líneas paralelas son los tipos de líneas que constan de dos o más rectas en el mismo plano.

    Dos o más rectas en el mismo plano que son equidistantes (tienen la misma distancia entre sí en todos los puntos) y nunca se intersecan en ningún punto se llaman rectas paralelas.

    Las rectas paralelas permanecen a la misma distancia entre sí, por mucho que se prolonguen. Pueden construirse en cualquier dirección, ya sea horizontal, vertical o diagonal. Matemáticamente, se representan con el símbolo que se denomina "es paralela a".

    Líneas paralelas, ejemplos de líneas paralelas, StudySmarterLíneas paralelas, StudySmarter Originals

    Aquí, en la figura anterior, p y q son rectas paralelas y m y n son rectas paralelas. Por tanto, se dice quepqymn.Pero la recta a y la recta b no son paralelas entre sí, ya que al extender ambas rectas, ambas se intersecan en algún punto. Por tanto, a no es paralela a b (es decirab).

    Ángulos de las rectas paralelas

    Como las rectas paralelas no se cortan entre sí, no se pueden formar ángulos entre ellas. Pero cuando otra recta, aparte de las paralelas dadas, corta a ambas paralelas, se forman ángulos entre ellas.

    Cuando una recta corta a las dos rectas paralelas en un punto del mismo plano, esa recta se denomina transversal.

    Líneas paralelas, transversales, StudySmarterTransversal cortando rectas paralelas, StudySmarter Originals

    En la figura anterior podemos ver que la recta l corta a las dos rectas paralelas a y b. Por tanto, la recta l es la transversal. Como la transversal corta a las rectas paralelas, se observa que la transversal forma pares de ángulos con ambas rectas. Hay distintos tipos de ángulos creados por las transversales.

    Ángulos correspondientes

    Los ángulos que se forman en el mismo lado de la transversal y en las esquinas coincidentes de las rectas paralelas se llaman ángulos correspondientes.

    Los ángulos correspondientes pueden identificarse fácilmente en forma de "F". Pueden formarse de cualquier manera, tanto al revés como al derecho y al revés. Los ángulos correspondientes son siempre iguales entre sí en las rectas paralelas.

    Líneas paralelas, ángulos correspondientes, StudySmarterÁngulos correspondientes de rectas paralelas, StudySmarter Originals

    Ángulos alternos

    Los ángulos que se forman en el lado opuesto de la transversal en las rectas paralelas se conocen como ángulos alternos.

    Los ángulos alternos se pueden encontrar en forma de "Z". Pueden ser tanto ángulos interiores como exteriores. Del mismo modo que los ángulos correspondientes, los ángulos alternos pueden formarse en cualquier dirección. Los pares de ángulos alternos son siempre iguales entre sí.

    Líneas paralelas, ángulos alternos, StudySmarterÁngulos interiores alternos de rectas paralelas, StudySmarter Originals

    En la figura anterior, ambos ángulos son ángulos interiores alternos.

    Ángulos interiores

    Los ángulos formados en el mismo lado de la transversal enfrentados en rectas paralelas se llaman ángulos interiores.

    Los ángulos interiores se forman en forma de "U". Pueden encontrarse a ambos lados de la transversal que contiene ambas rectas paralelas. La suma de los ángulos interiores siempre será 180°.

    Líneas paralelas, Ángulos interiores, StudySmarterÁngulos interiores de rectas paralelas, StudySmarter Originals

    Ángulos exteriores

    Los ángulos que están fuera de los lados de las rectas paralelas pero en el mismo de la transversal se llaman ángulos exteriores.

    Los ángulos exteriores se forman en forma de "U" pero estarán situados en la región exterior de la misma. Y la suma de los pares de ángulos exteriores será siempre180°.

    Líneas paralelas, ángulos exteriores, StudySmarterÁngulos exteriores, StudySmarter Originals

    Ángulos verticalmente opuestos

    Los ángulos que se forman en cualquiera de las rectas paralelas y transversales y que son opuestos entre sí se llaman ángulos verticalmente opuestos.

    Los ángulos verticalmente opuestos se encuentran en forma de dos "V" que se tocan. Sólo contenían una cualquiera de las rectas paralelas de cada par. Los ángulos verticalmente opuestos son iguales entre sí.

    Líneas paralelas, ángulos verticalmente opuestos, StudySmarterÁngulos verticalmente opuestos, StudySmarter Originals

    Así que podemos representar todos los pares de ángulos para todos los tipos de ángulos como se indica a continuación.

    Líneas paralelas, ángulos de líneas paralelas, StudySmarterTodos los pares de ángulos en rectas paralelas, StudySmarter Originals

    • Pares de ángulos correspondientes :A&E ; B&F ; C&G ; D&H
    • Pares de ángulos alternos : C&E ; D&F
    • Pares de ángulos interiores :C&F ; D&E
    • Pares de ángulos exteriores : A&H ; B&G
    • Pares de ángulos verticalmente opuestos : A&C ; B&D ; E&G ; F&H

    Ecuaciones de rectas paralelas

    Las rectas paralelas son un tipo de recta. Por tanto, podemos representar las rectas paralelas en forma de ecuación de la recta. Sabemos que en geometría de coordenadas, la ecuación de la recta puede escribirse en forma de y=mx+b. Así que también podemos representar las rectas paralelas en forma de ecuación y=mx+b.

    Aquí b es la intersección y, por lo que puede ser cualquier valor. Es importante recordar que, como tenemos dos o más rectas paralelas, el valor de b para cada recta debe ser diferente entre sí. Como si son iguales entonces las ecuaciones de todas las rectas serán iguales y entonces se puede considerar como una sola recta.

    Y m es el gradiente o pendiente de esa recta. Aquí, al contrario que en b, el valor de m para todas las rectas paralelas debe ser igual. Como m representa la pendiente de la recta, si m es diferente para todas las rectas paralelas, entonces se intersecarán entre sí y dejarán de considerarse paralelas.

    Comprenderemos el concepto de gradiente y cómo se puede encontrar pronto en el siguiente tema.

    Líneas paralelas, ecuación de las líneas paralelas, StudySmarterEcuación de rectas paralelas en gráfica, StudySmarter Originals

    Gradiente de rectas paralelas

    El gradiente o pendiente de las rectas paralelas es la inclinación de esa recta en la gráfica. El gradiente de las rectas paralelas se calcula respecto al eje x positivo de la gráfica y las rectas paralelas están inclinadas con el eje x positivo.

    Sabemos por lo anterior que la ecuación de las rectas paralelas es y=mx+b. Supongamos ahora que la ecuación de una recta y=m1x+b1y la ecuación de la otra recta es y=m2x+b2. Aquíb1,b2 son la intersección y y m es la pendiente de las rectas paralelas. Entonces, para que ambas rectas sean paralelas, la pendiente de ambas debe ser igual. Es decir id="5235588" role="math" m1=m2. Esta igualdad puede deducirse considerando el ángulo entre ambas rectas.

    Si ya tenemos dos puntos en cada línea de la gráfica, podemos calcular y comprobar la pendiente mediante la fórmula:

    m=y2-y1x2-x1, dondex1,x2,y1,y2son los puntos del eje x y del eje y de la recta simple.

    Ejemplos de rectas paralelas

    Veamos algunos ejemplos de rectas paralelas y comprendamos cómo hallar los ángulos y la pendiente en rectas paralelas.

    En la figura dada m y n son rectas paralelas y l es la transversal que corta a ambas rectas paralelas. Halla entonces el valor de x si C=x+22, F=2x-13está dado.

    Teorema de las rectas paralelas, ejemplos de rectas paralelas, StudySmarterRectas paralelas con transversal, StudySmarter Originals

    Solución:

    Ya se nos ha dado que las rectas m y n son paralelas entre sí y la recta l es transversal a m y n.

    Por tanto, en la figura podemos ver claramente queC yF son ángulos interiores, ya que forman la forma de "U".

    Como ambos ángulos son interiores, sabemos que su suma es igual a180°.

    C+F=180° (x+22)°+(2x-13)°=180° x°+2x°+22°-13°=180° 3x°+9°=180° 3x°=180°-9° 3x°=171° x=171°3° x=57°

    Halla el valor deQ, Ra partir de la cifra dada siP=64°está dado. También las rectas a, b y c son rectas paralelas cortadas por la transversal t.

    Líneas paralelas, ejemplos de líneas paralelas, StudySmarterRectas paralelas con ángulos que faltan, StudySmarter Originals

    Solución:

    Se da que las rectas a,b y c son paralelas entre sí, y la recta t actúa como transversal a estas tres rectas.

    En primer lugar, hallamos el valor deQ. Podemos ver en la figura que los ángulosPyT forman una "U". Por tanto, los ángulosP y T son ángulos interiores. Por tanto, la suma de estos dos ángulos será180°.

    P+T=180° T=180°-P T=180°-64° T=116°

    AhoraQyTson ángulos verticalmente opuestos. Por tanto, ambos ángulos serán iguales entre sí.

    T=QAs T=116°, Q=116°

    En la figura podemos ver queQ yR forman una "F", por lo que son ángulos correspondientes. Por tanto, son iguales entre sí.

    Q=R R=116°

    Por tanto, el valor de ambos ángulos es Q=R=116°.

    Comprueba si las rectas dadas son rectas paralelas o no.

    a) y=3x+7 b) y=2x-5 y=3x+4 y=5x-5

    Solución:

    a) Aquí se nos dan dos ecuaciones de rectas y=3x+7, y=3x+4. Ahora comparándolas con la ecuación general de rectas paralelasy=mx+b,obtenemos que m1=3, m2=3, b1=7, b2=4. Aquím1, m2son los gradientes de las rectas paralelas yb1, b2son los intersticios y.

    Como sabemos, para que las rectas sean paralelas, los gradientes deben ser iguales. Y podemos ver claramente en las ecuaciones anteriores que m1=m2. Observa también que los valoresb1, b2son diferentes. Por tanto, ambas rectas son paralelas.

    b) Aquí las ecuaciones de las rectas vienen dadas como y=2x-5, y=5x-5.Comparándola con la ecuación general de las rectas paralelas y=mx+b, obtenemos que m1=2, m2=5, b1=-5, b2=-5.

    Como aquí obtenemos quem1m2podemos afirmar inmediatamente que las dos rectas dadas no son paralelas entre sí.

    Líneas paralelas - Puntos clave

    • Dos o más rectas en el mismo plano que son equidistantes (tienen la misma distancia entre sí en todos los puntos) y nunca se intersecan en ningún punto se llaman rectas paralelas.
    • Los ángulos que se forman en el mismo lado de la transversal y en los ángulos coincidentes de las rectas paralelas se llaman ángulos correspondientes.
    • Los ángulos que se forman en el lado opuesto de la transversal sobre las rectas paralelas se denominan ángulos alternos.
    • Los ángulos formados en el mismo lado de la transversal enfrentados sobre rectas paralelas se llaman ángulos interiores.
    • Los ángulos que están fuera de los lados de las rectas paralelas pero en el mismo de la transversal se llaman ángulos exteriores.
    • Los ángulos que se forman sobre cualquiera de las rectas paralelas y transversales opuestas entre sí se llaman ángulos verticalmente opuestos.
    • La ecuación de la recta paralela esy=mx+b,donde la pendiente m de ambas rectas debe ser igual.
    Preguntas frecuentes sobre Líneas Paralelas
    ¿Qué son las líneas paralelas?
    Las líneas paralelas son líneas que siempre mantienen la misma distancia entre sí y nunca se cruzan.
    ¿Cómo identificar líneas paralelas?
    Para identificar líneas paralelas, verifica que tengan la misma pendiente y nunca se intersecten.
    ¿Cuál es el símbolo de líneas paralelas?
    El símbolo para indicar que dos líneas son paralelas es "||". Por ejemplo, a || b.
    ¿Qué ángulos forman las líneas paralelas?
    Las líneas paralelas formarán ángulos alternos iguales y ángulos correspondientes iguales cuando son cruzadas por una transversal.

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    ¿Las líneas paralelas pueden contener más de dos líneas?

    Las rectas perpendiculares y las rectas paralelas son iguales.

    ¿Cuál o cuáles de las siguientes son las condiciones de las rectas paralelas?

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