Líneas Paralelas

Definición de líneas paralelas

Las líneas paralelas son los tipos de líneas que constan de dos o más rectas en el mismo plano.

Las rectas paralelas permanecen a la misma distancia entre sí, por mucho que se prolonguen. Pueden construirse en cualquier dirección, ya sea horizontal, vertical o diagonal. Matemáticamente, se representan con el símbolo $\parallel$ que se denomina "es paralela a".

Líneas paralelas, StudySmarter Originals

Aquí, en la figura anterior, p y q son rectas paralelas y m y n son rectas paralelas. Por tanto, se dice que$p\parallel q$y$m\parallel n.$Pero la recta a y la recta b no son paralelas entre sí, ya que al extender ambas rectas, ambas se intersecan en algún punto. Por tanto, a no es paralela a b (es decir$a\nparallel b$).

Ángulos de las rectas paralelas

Como las rectas paralelas no se cortan entre sí, no se pueden formar ángulos entre ellas. Pero cuando otra recta, aparte de las paralelas dadas, corta a ambas paralelas, se forman ángulos entre ellas.

Transversal cortando rectas paralelas, StudySmarter Originals

En la figura anterior podemos ver que la recta l corta a las dos rectas paralelas a y b. Por tanto, la recta l es la transversal. Como la transversal corta a las rectas paralelas, se observa que la transversal forma pares de ángulos con ambas rectas. Hay distintos tipos de ángulos creados por las transversales.

Ángulos correspondientes

Los ángulos correspondientes pueden identificarse fácilmente en forma de "F". Pueden formarse de cualquier manera, tanto al revés como al derecho y al revés. Los ángulos correspondientes son siempre iguales entre sí en las rectas paralelas.

Ángulos correspondientes de rectas paralelas, StudySmarter Originals

Ángulos alternos

Los ángulos alternos se pueden encontrar en forma de "Z". Pueden ser tanto ángulos interiores como exteriores. Del mismo modo que los ángulos correspondientes, los ángulos alternos pueden formarse en cualquier dirección. Los pares de ángulos alternos son siempre iguales entre sí.

Ángulos interiores alternos de rectas paralelas, StudySmarter Originals

En la figura anterior, ambos ángulos son ángulos interiores alternos.

Ángulos interiores

Los ángulos interiores se forman en forma de "U". Pueden encontrarse a ambos lados de la transversal que contiene ambas rectas paralelas. La suma de los ángulos interiores siempre será $180°.$

Ángulos interiores de rectas paralelas, StudySmarter Originals

Ángulos exteriores

Los ángulos exteriores se forman en forma de "U" pero estarán situados en la región exterior de la misma. Y la suma de los pares de ángulos exteriores será siempre$180°.$

Ángulos exteriores, StudySmarter Originals

Ángulos verticalmente opuestos

Los ángulos verticalmente opuestos se encuentran en forma de dos "V" que se tocan. Sólo contenían una cualquiera de las rectas paralelas de cada par. Los ángulos verticalmente opuestos son iguales entre sí.

Ángulos verticalmente opuestos, StudySmarter Originals

Así que podemos representar todos los pares de ángulos para todos los tipos de ángulos como se indica a continuación.

Todos los pares de ángulos en rectas paralelas, StudySmarter Originals

• Pares de ángulos correspondientes :$\angle A\&\angle E;\angle B\&\angle F;\angle C\&\angle G;\angle D\&\angle H$
• Pares de ángulos alternos : $\angle C\&\angle E;\angle D\&\angle F$
• Pares de ángulos interiores :$\angle C\&\angle F;\angle D\&\angle E$
• Pares de ángulos exteriores : $\angle A\&\angle H;\angle B\&\angle G$
• Pares de ángulos verticalmente opuestos : $\angle A\&\angle C;\angle B\&\angle D;\angle E\&\angle G;\angle F\&\angle H$

Ecuaciones de rectas paralelas

Las rectas paralelas son un tipo de recta. Por tanto, podemos representar las rectas paralelas en forma de ecuación de la recta. Sabemos que en geometría de coordenadas, la ecuación de la recta puede escribirse en forma de $y=mx+b.$ Así que también podemos representar las rectas paralelas en forma de ecuación $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{m}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{b}.$

Aquí b es la intersección y, por lo que puede ser cualquier valor. Es importante recordar que, como tenemos dos o más rectas paralelas, el valor de b para cada recta debe ser diferente entre sí. Como si son iguales entonces las ecuaciones de todas las rectas serán iguales y entonces se puede considerar como una sola recta.

Y m es el gradiente o pendiente de esa recta. Aquí, al contrario que en b, el valor de m para todas las rectas paralelas debe ser igual. Como m representa la pendiente de la recta, si m es diferente para todas las rectas paralelas, entonces se intersecarán entre sí y dejarán de considerarse paralelas.

Comprenderemos el concepto de gradiente y cómo se puede encontrar pronto en el siguiente tema.

Ecuación de rectas paralelas en gráfica, StudySmarter Originals

Gradiente de rectas paralelas

El gradiente o pendiente de las rectas paralelas es la inclinación de esa recta en la gráfica. El gradiente de las rectas paralelas se calcula respecto al eje x positivo de la gráfica y las rectas paralelas están inclinadas con el eje x positivo.

Sabemos por lo anterior que la ecuación de las rectas paralelas es $y=mx+b.$ Supongamos ahora que la ecuación de una recta $y=m_{1}x+b_1$y la ecuación de la otra recta es $y=m_{2}x+b_2.$ Aquí$b_1,b_2$ son la intersección y y m es la pendiente de las rectas paralelas. Entonces, para que ambas rectas sean paralelas, la pendiente de ambas debe ser igual. Es decir id="5235588" role="math" ${\mathit{m}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{m}}_{\mathbf{2}}.$ Esta igualdad puede deducirse considerando el ángulo entre ambas rectas.

Si ya tenemos dos puntos en cada línea de la gráfica, podemos calcular y comprobar la pendiente mediante la fórmula:

$\mathit{m}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}},$ donde$x_1,x_2,y_1,y_2$son los puntos del eje x y del eje y de la recta simple.

Ejemplos de rectas paralelas

Veamos algunos ejemplos de rectas paralelas y comprendamos cómo hallar los ángulos y la pendiente en rectas paralelas.